河北省唐山市友谊中学分校高二数学理上学期摸底试题含解析

河北省唐山市友谊中学分校高二数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.空间中有四点，，，，则两直线的夹角是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略2.关于的不等式（）的解集为，且：，则（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A3.已知集合，则

参考答案：C4. 已知E为不等式组，表示区域内的一点，过点E的直线l与圆M:(x-1)2+y2=9相交于A,C两点，过点E与l垂直的直线交圆M于B、D两点，当AC取最小值时，四边形ABCD的面积为（

）A.12

B.

C.

D.参考答案：A5.设z=（i为虚数单位），则|z|=（）A．2 B． C．

D．参考答案：C【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：z==，则|z|=．故选：C．6.已知不等式x2﹣ax+a﹣2＞0的解集为（﹣∞，x1）∪（x2，+∞），其中x1＜0＜x2，则的最大值为（）A． B．0 C．2 D．参考答案：B【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据不等式x2﹣ax+a﹣2＞0的解集，得出x1x2=a﹣2＜0，求出x1+x2++=（a﹣2）++4；利用基本不等式求出它的最大值即可．【解答】解：不等式x2﹣ax+a﹣2＞0的解集为（﹣∞，x1）∪（x2，+∞），其中x1＜0＜x2，∴x1x2=a﹣2＜0，∴x1+x2++=（x1+x2）+=a+=a+=a+2+=（a﹣2）++4；又a﹣2＜0，∴﹣（a﹣2）＞0，∴﹣（a+2）﹣≥2=4，当且仅当﹣（a﹣2）=﹣，即a=0时，取“=”；∴（a﹣2）++4≤﹣4+4=0，即的最大值为0．故选：B．7.在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足，若，则ac的值为A.12 B.11 C.10 D.9参考答案：A【分析】利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理可得的值，由可得的值【详解】在中，由正弦定理可得化为：即在中，，故,可得，即故选【点睛】本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理，向量的数量积的运用，考查了两角和公式，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题。8.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的中点坐标为，则的值为(

)（A）

(B)

（C）

(D)参考答案：C9.已知椭圆与双曲线有相同的焦点,则的值为

(

)A． B． C． D．参考答案：C10.两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是

(

)A.模型1的相关指数为0.98;

B.模型2的相关指数为0.80C.模型3的相关指数为0.50;

D.模型4的相关指数为0.25参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为1cm的正方形，则原图形的周长为________________cm参考答案：812.定积分的值为

.参考答案：413.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为______

参考答案：14.命题“若，则”的否命题是：__________．参考答案：若，则原命题为“若则”，否命题为“若则”．15.已知∈R，有以下命题：①若，则；②若，则；③若，则.则正确命题序号为_______________。参考答案：②③略16.所给命题：①菱形的两条对角线互相平分的逆命题；②{x|x2+1=0，x∈R}=?或{0}=?；③对于命题：“p且q”，若p假q真，则“p且q”为假；④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件．其中为真命题的序号为．参考答案：③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，原命题的逆命题是“对角线互相平分的四边形是菱形“，对角线互相平分的四边形不一定是菱形；②，{0}中有一个元素0，?中一个元素都没有；③，若p、q中只要有一个是假，则“p且q”为假；④，满足有两条边相等且有一个内角为60°的三角形一定为等边三角形，等边三角形一定满足两条边相等且有一个内角为60°．【解答】解：对于①，原命题的逆命题是“对角线互相平分的四边形是菱形”，对角线互相平分的四边形不一定是菱形，故错对于②，{0}中有一个元素0，?中一个元素都没有，故错；对于③，若p、q中只要有一个是假，则“p且q”为假，故正确；对于④，满足有两条边相等且有一个内角为60°的三角形一定为等边三角形，等边三角形一定满足两条边相等且有一个内角为60°，故正确．故答案为：③④17.点为椭圆上一点，设点到椭圆的右准线的距离为，已知点，则的最大值为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知从的展开式的所有项中任取两项的组合数是21.（1）求展开式中所有二项式系数之和；(用数字作答)；（2）若展开式中的常数项为，求a的值。参考答案：（1）64；（2）【分析】（1）由二项式的展开式，共有项，得到，解得，进而可求解展开式的二项式系数的和；（2）由，求得二项式的展开式的通项，确定出或，代入即可求解.【详解】（1）由题意可得，二项式的展开式，共有项，则，解得，所以展开式中所有二项式系数之和为.（2）由，则的通项为，其中，令或，截得或，所以展开式中的常数项为,解.【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项的应用，以及二项式系数问题，其中解答中熟记二项展开式的通项和二项展开式的系数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.已知函数f（x）=x3+，x∈[0，1]．

(1)用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；

(2)证明：f（x）＞．

参考答案：（1）证明：∵x∈[0，1]，∴x+1∈[1，2]．

要证明：f（x）≥1﹣x+x2

，

只要证明：x3（x+1）+1≥（x+1）（1﹣x+x2），

只要证明：x4≥0，

显然成立，

∴f（x）≥1﹣x+x2

（2）证明：∵1﹣x+x2=（x﹣）2+≥，当且仅当x=时取等号，

∵f（）=＞，f（x）≥1﹣x+x2

，

∴f（x）＞20.（本题满分14分）等差数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求.参考答案：21.已知，函数.（1）若函数在区间(0,2)内单调递减，求实数a的取值范围；（2）当时，求函数的最小值的最大值；（3）设函数，，求证：.参考答案：（1）函数在区间内单调递减，恒有成立，而，故对，恒有成立，而，则满足条件.所以实数的取值范围为.（2）当时，.随的变化，，的变化情况如下表：-+极小值所以的最小值..随的变化，，的变化情况如下表：+-极大值所以的最大值为.（3）因为，所以当时，.因为，所以在区间内是增函数，故.当时，，由，解得（舍去）或.又，故时，，所以在区间内是增函数，所以.综上所述，对，恒成立.22.（本小题共12分）一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽AB＝4米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．（1）建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程；（2）试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？

参考答案：（Ⅰ）如图：以抛物线的顶点为原点，中垂线为轴建立直角坐标系……1分则

……2分设抛物线的方程为将点代入得

……3分所以抛物线弧AB方程为（）

……4分（Ⅱ）解法一：设等腰梯形的腰与抛物线相切于

则过的切线的斜率为，所以切线的方程为：，即，令，得，令，得，

所以梯形面积

……10分当仅当，即时，成立此时下底边长为答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．

……12分

解法二：设等腰梯形上底（较短的边）长为米，则一腰过点，可设此腰所在直线方程为，

联立，得，