二次函数常考题型及易错点全梳理课件

一、二次函数概念与基本性质回顾一、二次函数概念与基本性质回顾在初中数学中，二次函数占据了很大的比重。二次函数既是难点又是重点。学习过程中的难点是对二次函数概念理解的不透彻；另外解题过程中出现的各种问题也会影响学习的积极性。针对以上出现这些问题，本节课对二次函数的概念进行了重新回顾和梳理。二次函数的概念二次函数的概念一次函数的概念：一般地，形如

（k、b是常数，

）的函数，叫做一次函数。其中，

是自变量，

叫做比例系数。当

时，

即，,所以说正比例函数是特殊的一次函数。反比例函数的概念：一般地，形如

（k是常数，

）的函数，叫做反比例函数。其中，

是自变量，

是函数。自变量

的取值范围是不等于0的一切实数。一次函数、反比例函数的概念一次函数的概念：一般地，形如（k二次函数的概念：一般地，形如

（a、b、c是常数，

）的函数，

叫做二次函数。

其中，

是自变量，

a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。一般式：顶点式：交点式：二次函数的概念二次函数的概念：一般地，形如考点①一般式：关于x的整式.二次项.二次项系数.一次项.一次项系数.常数项.x的最高次数是2.考点②考点③考点①一般式：关于x的整式.二次项.二次项系数.一次项.一例题1：下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数？紧扣二次函数概念看化简后的形式一次函数：二次函数：(1)(2)(3)(5)(7)(8)(6)例题1：下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数？紧扣二次函例题2：若函数

是二次函数，求m的取值范围。∵是二次函数∴∴解：变式1：若函数

是二次函数，求m的取值范围。∵是二次函数∴∴解：∴二次项系数不等于0x的最高次数为2例题2：若函数是二次函数变式2：若函数

是二次函数，求m的取值范围。∵是二次函数∴∴解：∴二次项系数不等于0x的最高次数为2变式3：若函数

是二次函数，求m的取值范围。变式4：若函数

是二次函数，求不等式

最大整数解。∵∴∴不等式最大整数解为-3变式2：若函数例题2：若函数

是二次函数，求m的取值范围。变式4：若函数

是二次函数，求不等式

最大整数解。二次项系数不为0X最高次数为2变式2：变式1：变式3：例题2：若函数是二次函数例题3：写出一个图象开口向上，过点(0，0)的二次函数的表达式__________.变式1：写出一个对称轴为x=3的二次函数的表达式__________.审清楚题意答案要相对简单......结论开放例题3：写出一个图象开口向上，过点(0，0)的二次函数的表达例题4：已知抛物线经过了点A(2,-1)，B(0,3)，C(-1,8)，求二次函数解析式.∵抛物线经过了点A(2,-1)，B(0,3)，C(-1,8)∴∴二次函数的解析式为解：设二次函数解析式为解得：已知任意三个点的坐标：一般式例题4：已知抛物线经过了点A(2,-1)，B(0,3)，C(变式1：已知抛物线经过了点A(1,0)，B(3,0)，C(-1,8)，求二次函数解析式.∵抛物线经过了点A(1,0)，B(3,0)∴∴二次函数的解析式为设二次函数解析式为解：∵抛物线经过了点C(-1,8)∴已知与x轴交点坐标：交点式变式1：已知抛物线经过了点A(1,0)，B(3,0)，C(-变式2：已知抛物线顶点P(2,-1)，经过点C(-1,8)，求二次函数解析式.∵抛物线顶点P(2,-1)∴∴二次函数的解析式为设二次函数解析式为解：∵抛物线经过了点C(-1,8)∴已知顶点坐标顶点式变式3：已知抛物线经过点C(-1,8)，并且当x=2时，y有最小值-1，求二次函数解析式.变式2：已知抛物线顶点P(2,-1)，经过点C(-1,8)，变式4：如图所示，求这个抛物线的解析式.∴∴二次函数的解析式为设二次函数解析式为解：∵抛物线经过了点(3,0)、(0,3)∴由图象可知，抛物线对称轴x=2经过点(3,0)、(0,3)变式4：如图所示，求这个抛物线的解析式.∴∴二次函数的解析变式4：如图所示，求这个抛物线的解析式.∴∴二次函数的解析式为解：由图象可知，抛物线对称轴x=2经过点(3,0)、(0,3)根据图像提供信息求解析式：识图能力设二次函数解析式为解得：变式4：如图所示，求这个抛物线的解析式.∴∴二次函数的解析通过上面的学习，请同学们思考：1、利用二次函数定义解决问题时，要注意哪些细节？2、用待定系数法求二次函数解析式，要关注哪些条件？请思考通过上面的学习，请同学们思考：请思考二次函数作为最基本的初等函数，既简单又具有丰富的内涵和外延。在学习它的时候要充分掌握函数的图象和性质，实现数形的自然结合，这是学习二次函数知识的一种重要思想方法。要学习好二次函数的知识，必须掌握好二次函数的图象以及性质。本节课重点对二次函数的性质进行了梳理，同时讲解了二次函数性质的简单应用。二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质k>0y随x增大而增大b>0经过一二三象限b=0经过一、三象限b<0经过一三四象限k<0y随x增大而减小b>0经过一二四象限b=0经过二、四象限b<0经过二三四象限一次函数的性质图像：一条直线解析式：与y轴交点：(0,b)自变量范围：全体实数b>0时，直线y=kx向上平移的个单位长度。b<0时，直线y=kx向上平移的个单位长度。k>0y随x增大而增大k<0y随x增大而减小一次函数k>0在每一个象限内y随x增大而减小反比例函数的性质图像：双曲线解析式：与坐标轴无交点自变量范围：k<0在每一个象限内y随x增大而增大当x=-1时，y=-3当x=1时，y=3（-1,-3）（1,3）既是中心对称图形,又是轴对称图形k>0反比例函数的性质图像：双曲线解析式：与坐标轴无交点二次函数的性质图像：抛物线解析式：与y轴交点：(0,c)自变量范围：全体实数a>0

开口向上有最小值对称轴左侧y随x增大而减小对称轴右侧y随x增大而增大a<0

开口向下有最大值对称轴左侧y随x增大而增大对称轴右侧y随x增大而减小二次函数的性质图像：抛物线解析式：与y轴交点：(0,c)自变例题5：二次函数

向上平移2个单位长度得到的解析式为________.∵抛物线向上平移2个单位长度∴解：抛物线上、下平移上加下减变式1：二次函数

向下平移2个单位长度得到的解析式为________.∵抛物线向下平移2个单位长度∴解：例题5：二次函数向上平移变式2：二次函数

向左平移2个单位长度得到的解析式为________.∵抛物线向左平移2个单位长度∴解法1：变式3：二次函数

向右平移2个单位长度得到的解析式为________.∵抛物线向右平移2个单位长度∴解法1：抛物线左、右平移左加右减变式2：二次函数向左平移变式2：二次函数

向左平移2个单位长度得到的解析式为________.∵抛物线向左平移2个单位长度∴解法2：变式3：二次函数

向右平移2个单位长度得到的解析式为________.∵抛物线向右平移2个单位长度∴解法2：抛物线左、右平移左加右减变式2：二次函数向左平移例题6：二次函数

的最小值为________.∴二次函数最小值为-1解法1：解法2：-1例题6：二次函数的最小值变式1：当时，二次函数

的最小值为____；最大值为____.解：当x=1时，y=0当x=5时，y=8顶点纵坐标变式2：当时，二次函数

的最小值为____；最大值为____.解：当x=4时，y=3当x=5时，y=8顶点纵坐标8-183变式1：当时，二次函数变式3：当时，二次函数

的最小值为____；最大值为____.解：当x=-1时，y=8当x=0时，y=3顶点纵坐标自变量有范围求最值考虑对称轴的位置83变式3：当时，二次函数例题7：二次函数

的对称轴为________.如何抛物线对称轴？利用公式或轴对称性变式1：二次函数

的对称轴为________.变式2：二次函数

的对称轴为________.变式3：二次函数图像上两个点的坐标为

的对称轴是__________．变式4：二次函数

的对称轴为________.例题7：二次函数的对称轴变式5：下表是二次函数

的部分x，y的对应值：回答下列问题：(1).顶点坐标是________;(2).m的值为________.(3).二次函数的开口方向______;图表中获取信息能力对性质的理解是前提上(1,-2)2变式5：下表是二次函数二次函数也是高中的重点知识，贯穿于整个高中阶段，它和初中数学之间存在着很多的衔接点，特别是二次函数图象与性质。所以，初中阶段一定要从本质上理解二次函数，为高中打下一个良好的基础。二次函数的概念及性质二次函数的概念及性质请作答1、已知抛物线，当时，函数值y的取值范围是______.2、写出一个开口向下，顶点坐标是(1,-2)的二次函数解析式______.3、下表是二次函数

的部分x，y的对应值：回答下列问题：(1)m的值为

；(2)抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为

；(3)这个二次函数的解析式为

；(4)当0＜x＜3时，则y的取值范围为

．请作答1、已知抛物线，当二、二次函数系数变化对函数图象影响二、二次函数系数变化对函数图象影响二次函数解析式常见的基本形式及图象特征二次函数解析式常见的基本形式及图象特征32

顶点坐标为（0，0）

顶点坐标为（0，0）

顶点坐标为（0，0）

顶点坐标为（0，0）

顶点坐标为（0，0）

顶点坐标为（0，0）

顶点坐标为（0，0）

顶点坐标为（0，0）

顶点坐标为（0，0）

顶点坐标为（0，0）

顶点坐标为（0，0）

顶点坐标为（0，0）

顶点坐标为（0，0）

顶点坐标为（0，0）

——顶点式

——顶点式

——一般式

转化配方

——一般式

转化配方

——一般式

转化配方

——一般式

转化配方

——一般式

转化配方

——一般式

转化配方

——一般式

转化配方

——一般式

转化配方

——一般式

抛物线开口

——一般式

抛物线

——一般式

抛物线开口

——一般式

抛物线

——一般式

抛物线开口

——一般式

抛物线

抛物线开口向下，

抛物线开口向下，

抛物线开口向下，

抛物线开口向下，

……

……

解：（1）

解：（1）

解：（2）

解：（2）

思考

思考

问题举例：

④；⑤；⑥……

问题举例：

④；⑤；⑥……

依题意，抛物线开口向下，且开口比过原点时大，

依题意，抛物线开口向下，且开口比过原点时大，

二次函数的系数变化对函数图象的影响二次函数的系数变化对函数图象的影响69函数系数的变化图象的变化上下平移开口方向、大小不变，

顶点和对称轴改变对称轴、顶点不变，开口方向、大小改变左右平移上下平移

a，b定，c变

a，c定，b变

h，k定，a变a，k定，h变a，h定，k变函数系数的变化图象的变化上下平移开口方向、大小不变，

顶点和例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(6，4).

分析：例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(6，4).

分析：

例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(6，4).

分析：

例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(6，4).

分析：

当抛物线过点B时，

例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(6，4).

分析：

当抛物线过点B时，

当抛物线过点A时，

例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(6，4).

分析：

当抛物线过点B时，

当抛物线过点A时，

例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(6，4).

分析：当抛物线的顶点在线段AB上时，

此时抛物线与线段AB只有一个公共点.例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(6，4).

分析：

例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(6，4).

分析：

例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(6，4).

分析：

例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(6，4).

分析：

例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(6，4).

分析：

抛物线过点B时，将B(6，4)代入解析式，

例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(6，4).

分析：

抛物线过点A时，将A(1，4)代入解析式，

抛物线顶点在线段AB上时，将(2，4)代入解析式，

例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(6，4).

分析：

例4在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(1，4)，B(课堂小结二次函数解析式常见的基本形式及图象特征

图象解析式平移转化

顶点为（0，0）

课堂小结二次函数解析式常见的基本形式及图象特征

图象解课堂小结二次函数的系数变化对函数图象的影响

变化中的不变是解题的关键关注系数变化与图象的关系课堂小结二次函数的系数变化对函数图象的影响

变化中的不变关课后作业

解答以上问题.

课后作业

解答以上问题.

三、二次函数与二次方程的关系三、二次函数与二次方程的关系二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)一、二次函数与二次方程的关系：1.从定义看：一般特殊y可以取0,常数m，kx+b,某些特殊的关于x的2次式二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)二次函数y=ax2+b2.从研究方法看：二次函数二次方程数形？2.从研究方法看：二次函数二次方程数形？解一元二次方程ax2+bx+c=m(a≠0)数ax2+bx+c=m的根形求抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m交点.特别的，当y=m=0时，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=m的根.交点个数根的情况交点横坐标根的值比如：解一元二次方程ax2+bx+c=m(a≠0)数ax2+bx+解一元二次方程ax2+bx+c=mx+n(a≠0)数ax2+bx+c=mx+n的根形抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n交点.交点个数根的情况交点横坐标根的值再比如：解一元二次方程ax2+bx+c=mx+n(a≠0)数ax2+二、利用二次函数的数形结合研究二次方程的根：例1.简单应用：例2.变形应用：例3和例4.构造应用(下)：二、利用二次函数的数形结合研究二次方程的根：例1.简单应用：例1(1)若抛物线y=x2+6x+m与x轴只有一个交点,则方程x2+6x+m=0根的情况是____________.(直接应用)形数y=x2+6x+m与x轴交点x2+6x+m=0根交点个数根的情况两相等实数根例1(1)若抛物线y=x2+6x+m与x轴只有一个交点,则方例1(2)二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=mx+n的图象如图所示,则关于x的方程ax2+(b-m)x+c-n=0的解为________.y1=ax2+bx+c与y2=mx+n的交点ax2+bx+c=mx+n的根交点的横坐标根的值ax2+(b-m)x+c-n=0x1=-3,x2=0形数(简单应用)例1(2)二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y1=ax例1(3)一次函数y1=kx+m(k≠0)和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的部分自变量和对应的函数值如下表：关于x的方程ax2+(b-k)x+c-m=0的解为__________.x…-2-1012…y1…01234…y2…0-1038…ax2+bx+c=kx+my=ax2+bx+c与y=kx+m的交点x1=-2,x2=1(简单应用)例1(3)一次函数y1=kx+m(k≠0)和二次函数y2=例2(1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：根据以上列表，直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=t的根为__________.x…-2-1012…y=ax2+bx+c…tm-2-2n…ax2+bx+c=t的根数形y=ax2+bx+c与y=t的交点坐标x1=-2,x2=33t(稍综合应用)例2(1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与(2)抛物线y=-x2+2x+3,在-2<x<2之间部分图象如图所示,若方程-x2+2x+3=m有实根,求m的取值范围．ABC-x2+2x+3=m有实根数形y=-x2+2x+3与y=m有交点.过A(-2,-5)的直线y=-5与已知图象无交点；过B(2,3)的直线y=3与已知图象有一交点；过C(1,4)的直线y=4与已知图象有一交点；-5<m≤4(变形应用)例2(2)抛物线y=-x2+2x+3,在-2<x<2之间部分图象(2)抛物线y=-x2+2x+3,在-2<x<2之间部分图象如图所示,若方程-x2+2x+3=m有两不等实根,求m的取值范围．ABC.3<m<4(2)抛物线y=-x2+2x+3,在-2<x<2之间部分图象

方法1:根据两点(1,0)、(-4,0),可求出a,b,再解方程即可;方法2:y=ax2+bx+4y=ax2+bxax2+bx=0的根.下移4个单位与x轴交点的横坐标x1=-3,x2=0例2(变形应用)

方法1:根据两点(1,0)、(-4,0),可求出a,b,再

方法3:y=ax2+bx+4与y=4的交点坐标ax2+bx=0的根.x1=-3,x2=0

方法3:y=ax2+bx+4与ax2+bx=0的根.x1=已知m＞0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2(x1＜x2),则下列结论正确的是(

)A.x1＜-1＜2＜x2

B.-1＜x1＜2＜x2

C.-1＜x1＜x2＜2

D.x1＜-1＜x2＜2思考：已知m＞0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0已知m＞0,关于x的一元二次方程(x+