高等数学试题及答案

高等数学试题及答案

高等数学试题一、单项选择题1.设$f(x)=\lnx$，且函数$\varphi(x)$的反函数$\varphi^{-1}(x)=\frac{x+2x^{-2}}{2(x+1)}$，则$f[\varphi(x)]=$A.$\ln(x-1)$B.$\ln(x-2x^2+2)$C.$\ln\frac{2-x}{t}$D.$\lnx$2.$\lim\limits_{x\to+\infty}\int_{0}^{x}\frac{e^{-t}-2}{1-\cosx}\mathrm{d}t=$A.$\infty$B.$1$C.$-1$D.$0$3.设$\Deltay=f(x+\Deltax)-f(x)$且函数$f(x)$在$x=x$处可导，则必有（）A.$\lim\limits_{\Deltax\to0}\Deltay=$B.$\Deltay=$C.$\mathrm{d}y=$D.$\Deltay=\mathrm{d}y$4.设函数$f(x)=\begin{cases}2x^2,&x\leq1\\3x-1,&x>1\end{cases}$，则$f(x)$在点$x=1$处（）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D.可导5.设$\intxf(x)\mathrm{d}x=e^{-x}+C$，则$f(x)=$A.$xe^{-x}$B.$-xe^{-x}$C.$2e^{-x}$D.$-2e^{-x}$二、填空题6.设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上有定义，则函数$f(x+\frac{2}{3})$的定义域是$\underline{\qquad\qquad}$。7.$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{a+aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1}}{11}\right)+f(x-)$的定义域是$\underline{\qquad\qquad}$。8.$\lim\limits_{x\to\infty}\arctanx=$$\underline{\qquad\qquad}$。9.已知某产品产量为$g$时，总成本是$C(g)=9+800g^{-1}+10g$，则生产$100$件产品时的边际成本$MC_{g=100}=$$\underline{\qquad\qquad}$。10.函数$f(x)=x^3+2x$在区间$[0,1]$上满足拉格朗日中值定理的点$\xi$是$\underline{\qquad\qquad}$。11.函数$y=2x^3-9x^2+12x-9$的单调减少区间是$\underline{\qquad\qquad}$。12.微分方程$xy'-y=1+x$的通解是$\underline{\qquad\qquad}$。13.设$y=\frac{3}{e-1}\cos2x$，则$\mathrm{d}y=$$\underline{\qquad\qquad}$。14.设$z=\tan\frac{y}{2}$，则$\mathrm{d}z=$$\underline{\qquad\qquad}$。15.设$D=\{(x,y)|0\leqx\leq1,0\leqy\leq1\}$，则$\iint_{D}xe^{-2y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$$\underline{\qquad\qquad}$。三、计算题（一）16.设$y=\frac{1}{x}$，求$\mathrm{d}y$。17.求极限$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln\frac{\cotx}{\lnx}$。18.求不定积分$\int\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}x$。5x+1az1ln(5x+1)dx.19.计算定积分I=2a2-x2dx.20.设方程xy-2xz+e=1确定隐函数z=z(x,y)，求z'x,z'y。四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）21.要做一个容积为v的圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r和高h分别为多少时，所用材料最省？22.计算定积分xsin2xdx23.将二次积分I=∫dx∫sin(x/y^2)dy化为先对x积分的二次积分并计算其值。五、应用题（本题9分）24.已知曲线y=x，求（1）曲线上当x=1时的切线方程；（2）求曲线y=x与此切线及x轴所围成的平面图形的面积，以及其绕x轴旋转而成的旋转体的体积Vx.六、证明题（本题5分）25.证明：当x>0时，xln(x+1+x^2)>1+x^2-1/225.证明：我们需要证明当$x>0$时，$f(x)$单调递增，即$f'(x)>0$。首先求出$f'(x)$：$$f'(x)=\frac{2x^3+x^2+2x-1}{(x^2+x+1)^2}$$我们需要证明$f'(x)>0$，即：$$2x^3+x^2+2x-1>0$$化简得：$$(x-1)^2(2x+1)>0$$因为$x>0$，所以$2x+1>0$，即$(x-1)^2(2x+1)>0$，所以$f'(x)>0$，即$f(x)$单调递增。因此，$f(x)>f(0)$，即：$$x\ln(x+1+x^2)-1+x^2+1>f(0)=0$$经过简化得