高中数学离散型随机变量及其分布列全章复习(题型完美版)

高中数学离散型随机变量及其分布列全章复习(题型完美版)

第十二讲随机变量及其分布列本章主要内容：1.离散型随机变量的定义；2.期望与方差；3.二项分布与超几何分布。本章教学目标：1.理解随机变量及离散型随机变量的含义；2.能够求出某些简单的离散型随机变量的分布列；3.理解二项分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用。第一节离散型随机变量及其分布列课外拓展：“超几何分布”一词来源于超几何数列，就像“几何分布”来源于几何数列。几何数列又叫等比数列，“几何分布”、'几何数列"名称的来源前面的文章已经解释过，请看一些带"几何"的数学名词来源解释。几何分布（Geometricdistribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在第n次伯努利试验，才得到第一次成功的概率。详细的说，是：n次伯努利试验，前n-1次皆失败，第n次才成功的概率。【知识与方法】一、离散型随机变量的定义1.定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示。在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量。①随机变量是一种对应关系；②实验结果必须与数字对应；③数字会随着实验结果的变化而变化。2.表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示。3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量（discreterandomvariable）。4.连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间或某几个区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量。5.注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达，如投掷一枚硬币，ξ=0表示正面向上，ξ=1表示反面向上。（2）若ξ是随机变量，η=aξ+b，a、b是常数，则η也是随机变量。离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出。二、离散型随机变量的分布列1.一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i=1,2，…，n)的概率P(X=xi)=pi，则称表：离散型随机变量X的概率分布列是指X取各个可能值的概率分布情况，通常用P(X=xi)=pi表示，其中i=1,2,…,n。此外，也可以用图像来表示离散型随机变量X的分布列。离散型随机变量的分布列具有以下性质：①pi≥0，i=1,2,…,n；②∑pi=1。离散型随机变量的分布列有其优缺点。优点在于可以清晰地反映出随机变量取各个可能值的概率大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况。缺点在于分布列不能表示随机变量X的平均水平和波动程度。两个特殊的离散型随机变量分布是两点分布和超几何分布。两点分布是指随机变量X只有发生和不发生两种情况，且X的取值只能是0和1。超几何分布是指在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品的概率分布情况。例题和变式中包括了对随机变量的定义和判断，需要注意理解随机变量的概念。【变式2】设随机变量X的分布列为P(X=i)=a*(3^i)，i=1,2,3，则a的值为（）。解析：根据离散型随机变量的概率公式，所有可能取值的概率之和为1，即a*(3^1)+a*(3^2)+a*(3^3)=1，解得a=1/1727。【变式3】若离散型随机变量X的分布列为：P(X=1)=a，P(X=2)=1-2a，P(X=3)=a，则实数a的值为_______。解析：根据离散型随机变量的概率公式，所有可能取值的概率之和为1，即a+(1-2a)+a=1，解得a=1/3。【例4】设离散型随机变量X的分布列为：X01234P0.20.12-6a0.10.3求：(1)2X+1的分布列；(2)|X-1|的分布列。解析：(1)根据线性变换的性质，2X+1的分布列为：2X+113579P0.20.12-6a0.10.3(2)根据条件概率的公式，|X-1|的分布列为：|X-1|0123P0.20.30.10.4【变式4】设随机变量X的概率分布列如下表，则P(|X-2|=1)=（）。X123P3/81/43/8解析：根据条件概率的公式，P(|X-2|=1)=P(X=1)+P(X=3)=3/8+3/8=3/4。【例1】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列。解析：当最大号码为1时，只有一种取法，概率为1/20；当最大号码为2时，有3种取法，概率为3/20；当最大号码为3时，有3种取法，概率为3/20；当最大号码为4时，有1种取法，概率为1/20。因此，X的分布列为：X1234P1/203/203/201/20【例2】设b，c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数。(1)设A=xx2-bx+2c≠0，x∈R，求A≠0的概率；(2)设随机变量ξ=|b-c|，求ξ的分布列。解析：(1)当A≠0时，即x^2-bx+2c≠0，解得b^2-8c<0或b^2-8c>4。因此，A≠0的概率为P(b^2-8c<0)+P(b^2-8c>4)。由于b和c的取值都是等概率的，因此P(b^2-8c<0)=P(b^2-8c>4)=5/9，所以A≠0的概率为10/9。(2)当b<c时，ξ=c-b；当b>c时，ξ=b-c。因为b和c的取值都是等概率的，所以P(ξ=0)=1/6，P(ξ=1)=2/6，P(ξ=2)=3/6。因此，ξ的分布列为：ξ012P1/62/63/6【例3】某小组共10人，利用假期参加义工活动。已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4。现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会。(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列。解析：(1)选出的2人中，参加义工活动次数为1的人有3个，参加义工活动次数为3的人有4个，因此事件A发生的情况只有两种：选出2个参加义工活动次数为1的人，或者选出1个参加义工活动次数为1的人和1个参加义工活动次数为3的人。因此，事件A发生的概率为(3/10)*(2/9)+(3/10)*(4/9)+(4/10)*(3/9)=2/15。(2)选出的2人中，参加义工活动次数之差的绝对值为0的情况只有选出2个参加义工活动次数相同的人，概率为(3/10)*(2/9)+(3/10)*(2/9)+(4/10)*(3/9)=1/3；参加义工活动次数之差的绝对值为1的情况有6种，概率为(3/10)*(3/9)+(3/10)*(4/9)+(3/10)*(4/9)+(3/10)*(3/9)+(4/10)*(3/9)+(4/10)*(2/9)=4/15；参加义工活动次数之差的绝对值为2的情况有2种，概率为(3/10)*(4/9)+(4/10)*(4/9)=2/15。因此，X的分布列为：X012P1/34/152/15【变式1】将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列。解析：当两次掷出的点数相同时，ξ等于这个点数；当两次掷出的点数不同时，ξ等于较大的点数。因为每个点数的取值都是等概率的，所以P(ξ=i)=1/36，i=1,2,3,4,5,6。因此，ξ的分布列为：ξ123456P1/363/365/367/369/3611/36【变式2】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）频数123595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列。解析：(1)根据试销数据，日销售量为1的频率为5/19，日销售量为2的频率为9/19，日销售量为3的频率为5/19。因此，当天商店不进货的概率为P(X≥2)=P(日销售量≥2)=14/19。(2)设第二天开始营业时该商品的件数为Y，则Y=X-1或Y=X-2。因为每天的销售量是独立的，所以Y的分布列可以表示为：Y123P5/199/195/19因此，X的分布列为：X234P5/199/195/19【例2】假设有10张奖券，其中一等奖1张，二等奖3张，其余无奖品。一位顾客从中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列。【改写】有10张奖券，其中一等奖1张，二等奖3张，其余无奖品。一位顾客从中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列。【例1】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．一位顾客从10张奖券中任意抽取2张。(1)求顾客中奖的概率；(2)设顾客获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列。【改写】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．一位顾客从10张奖券中任意抽取2张。(1)求顾客中奖的概率；(2)设顾客获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列。【例3】袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球的1分，现在从袋中随机摸出4个球，求：(1)列出所得分数X的分布列；(2)得分大于6分的概率。【改写】袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球的1分，现在从袋中随机摸出4个球，求：(1)列出所得分数X的分布列；(2)得分大于6分的概率。2.从这10天的数据中任取3天数据，记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X的分布列。设X是一个离散型随机变量，其分布列为：XP00.34310.45720.17130.0293.中装有10个红球、5个黑球。每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止。若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是()A.ξ=4B.ξ=5C.ξ=6D.ξ≤5答案：B从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是：答案：B5.随机变量X的分布列如下：XPa0.2b0.15c0.1d0.05其中a，b，c成等差数列，则P(|X|=1)等于：答案：C6.设离散型随机变量X的分布列为：XP10.120.130.340.2M0.3若随机变量Y=|X-2|，则P(Y=2)=0.4。7.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)=0.125。8.(2017·成都诊断)某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：语言表达能力逻辑思维能力优秀97良好68一般32差10由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为0.85。(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率。答案：0.633。(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列。XP00.110.42520.42530.059.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球。顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止。规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励。(3)已知第一次抽到理科题的情况下，求第二次抽到理科题的概率。【变式4】从1,2,3,4,5,6中任取2个不同的数，事件A为“取到的两个数之和为偶数”，事件B为“取到的两个数均为偶数”，则求P(B|A)。【变式5】将一枚骰子连续抛掷两次，记“第一次抛出的是合数”为事件A，记“第二次抛出的是质数”为事件B，则求P(BA)。【变式6】已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则在甲在第一个路口遇到红灯的条件下，求第二个路口遇到红灯的概率。【变式7】一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0~9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。相互独立事件的概率【例1】袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是相互独立事件。【例2】判断下列各对事件是否是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”是相互独立事件。(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”是相互独立事件。(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”是不相互独立事件。【变式1】下列事件中，A、B是相互独立事件的是：A.一枚硬币掷两次，A为“第一次为正面”，B为“第二次为反面”。B.袋中有2白、2黑的小球，不放回地摸两球，A为“第一次摸到白球”，B为“第二次摸到白球”。C.掷一枚骰子，A为“出现点数为奇数”，B为“出现点数为偶数”。D.A为“人能活到20岁”，B为“人能活到50岁”。【变式2】甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A为“甲击中目标”，事件B为“乙击中目标”，则事件A与事件B是相互独立但不互斥的。相互独立事件发生的概率面对非洲埃博拉病毒，各国医疗科研机构正致力于研究疫苗。目前已有三个独立的研究机构A、B、C在一定时期内能研制出疫苗的概率分别为pA、pB、pC。现在需要求解以下三个问题：(1)三个机构都研制出疫苗的概率；(2)三个机构都失败的概率；(3)至少有一个机构能研制出疫苗的概率。一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回。需要求解以下两个问题：(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率。例1：1.任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为()。A.3/8B.4/8C.3/4D.1/8。2.独立重复试验满足的条件是：①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生和不发生两种情况；③每次试验中发生的机会是均等的；④每次试验发生的事件是互斥的。3.已知随机变量X服从二项分布，X～B(6,p)，则P(X=2)等于p^2*(1-p)^4*C(6,2)。4.姚明比赛时罚球命中率为90%，则他在3次罚球中罚失1次的概率是C(3,1)*0.1*0.9^2。例2：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是p1和p2。假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响。需要求解以下两个问题：(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率。例3：一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是p。需要求解以下两个问题：(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列。例4：甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为p1，乙队中3人答对的概率分别为p2、p3、p4，且各人回答正确与否相互之间没有影响。用ξ表示甲队的总得分。需要求解以下两个问题：(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)。变式1：(1)恰有2次准确的概率为：C(5,2)*(0.8)^2*(0.2)^3=0.2048(2)至少有2次准确的概率为：1-C(5,1)*(0.8)^1*(0.2)^4-C(5,0)*(0.8)^0*(0.2)^5=0.99328变式2：有放回抽样，取到黑球的概率为0.2，取不到黑球的概率为0.8。X的取值范围为0,1,2,3。计算X的分布列为：P(X=0)=(0.8)^3=0.512P(X=1)=3*(0.2)*(0.8)^2=0.384P(X=2)=3*(0.2)^2*(0.8)=0.096P(X=3)=(0.2)^3=0.008变式3：(1)地点A空降1人，地点B，C各空降2人的概率为：(5!/1!2!2!)*(1/3)^1*(1/3)^2*(1/3)^2=10/81(2)X的取值范围为0,1,2,3,4,5。计算X的分布列为：P(X=0)=(2/3)^5=0.32768P(X=1)=5*(1/3)*(2/3)^4=0.4096P(X=2)=10*(1/3)^2*(2/3)^3=0.24576P(X=3)=10*(1/3)^3*(2/3)^2=0.08192P(X=4)=5*(1/3)^4*(2/3)^1=0.013824P(X=5)=(1/3)^5=0.0002431.已知X～B(6,1/3)，则P(X=2)=C(6,2)*(1/3)^2*(2/3)^4=0.311042.设事件A为首次测到正品，事件B为前两次测到次品，所以P(ξ=3)=P(BA)=P(B|A)P(A)=(2/9)*(7/10)=0.15563.已知P(B|A)=0.35，P(A)=0.25，则P(AB)=P(B|A)P(A)=0.08754.两个闹钟至少有一个准时响的概率为1-0.2*0.1=0.985.X的取值范围为0,1,2,3,4,5。计算X的分布列为：P(X=0)=(2/3)^6=0.13168P(X=1)=6*(1/3)*(2/3)^5=0.3292P(X=2)=15*(1/3)^2*(2/3)^4=0.3292P(X=3)=20*(1/3)^3*(2/3)^3=0.21946P(X=4)=15*(1/3)^4*(2/3)^2=0.0823P(X=5)=6*(1/3)^5*(2/3)^1=0.01646实际完成情况：□按计划完成；□超额完成，原因分析：_______________________________；□未完成计划内容，原因分析：_______________________________。授课及学员问题总结：无第三节离散型随机变量的期望与方差课外拓展：数学期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，它反映随机变量平均取值的大小。在概率论和统计学中，期望是最基本的数学特征之一。除了期望，方差也是描述随机变量的重要特征之一，它衡量随机变量离其期望的距离的平方的平均值。例2：一个运动员的投篮命中率为0.6。求他投篮1次和重复5次的命中次数的数学期望。(1)投篮1次的命中次数X的期望为E(X)=0.6。(2)重复5次投篮的命中次数Y的期望为E(Y)=5×0.6=3。例3：已知随机变量X的分布列如下：X-214-113151m2P1/201/35/201/101/31/101/31/51/103/201/10(1)由于所有概率之和为1，可以得到：1/20+1/3+5/20+1/10+1/3+1/10+1/3+1/5+1/10+3/20+1/10=1，因此m=0。(2)计算期望可以使用公式E(X)=Σ(xi*pi)，其中xi为随机变量X的取值，pi为对应的概率。带入上述分布列可以得到E(X)=(-2*1/20)+(1*1/3)+(4*5/20)+(-1*1/10)+(1*1/3)+(3*1/10)+(1*1/3)+(5*1/5)+(1*1/10)+(2*3/20)=1.7。(3)根据线性变换的公式E(aX+b)=aE(X)+b，可以得到E(Y)=2E(X)-3=2*1.7-3=0.4。例4：在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率和甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值。(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率可以使用排除法。首先计算所有单位的演出序号都是偶数的概率，即P=(3/6)×(2/5)×(2/4)×(1/3)×(1/2)=1/20，然后用总概率减去这个概率即可得到答案：1-1/20=19/20。(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列可以列出如下表格：ξ012345P1/154/154/154/151/151/15其中，P(ξ=0)表示甲、乙两单位的演出顺序相邻，P(ξ=1)表示它们之间隔了一个单位，以此类推。可以使用期望的公式E(X)=Σ(xi*pi)计算均值，带入上述分布列可以得到ξ的均值为E(ξ)=(0*1/15)+(1*4/15)+(2*4/15)+(3*4/15)+(4*1/15)+(5*1/15)=2。例5：随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件。已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X。(1)X的分布列如下：X621-2P126/20050/20020/2004/200(2)1件产品的平均利润(即X的数学期望)为E(X)=(6*126/200)+(2*50/200)+(1*20/200)+(-2*4/200)=2.5万元。(3)经技术革新后，一等品率提高到70%，次品率降至1%，三等品率最多是多少才能保证1件产品的平均利润不小于4.73万元？设三等品率为x，则X的新分布列如下：X621-2P140/20010/200(1-x)/200x/200其中，一等品率为0.7，二等品率为0.2，次品率为0.01，因此三等品率为(1-0.7-0.2-0.01)=0.09。根据期望的公式E(X)=Σ(xi*pi)计算可得：4.73=(6*140/200)+(2*10/200)+(1*(1-x)/200)+(-2*x/200)解得x≤0.12，因此三等品率最多为12%。变式1：已知随机变量ξ的分布列为：ξ-112m37P1/72/71/73/700若η=aξ+3，E(η)=2，则a=2/3。变式2：盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池。现在无放回地每次