高中数学双曲线经典例题复习

高中数学双曲线经典例题复习

1.已知双曲线C上的两个焦点分别为F1(-5,0)和F2(5,0)，动点P到F1、F2的距离之差为6，则双曲线的方程为(x^2/9)-(y^2/4)=1。双曲线的渐近线为y=±(2/3)x。根据双曲线的定义，离心率为c/a，其中c为焦距，a为实轴长。由F1、F2和P的位置关系可得|PF1|:|PF2|=3:2，根据向量叉积的计算公式，可以求得△PF1F2的面积为12。因此，离心率为c/a=2/3。2.图中给出了双曲线x^2/16-y^2/9=1的左支和焦点F。根据题意可知，双曲线上的点P与P7-i关于y轴对称。因此，P1F+P2F+P3F-P4F-P5F-P6F=2(P1F+P2F+P3F-F)=2(2a)=4a，其中a为双曲线的实轴长。代入a=3，可得P1F+P2F+P3F-P4F-P5F-P6F=24。3.P是双曲线x^2/4-y^2/2=1的左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c。根据双曲线的性质可知，△PF1F2的内切圆的圆心就是双曲线的中心点(0,0)。因此，内切圆的圆心的横坐标为0，选项A、B、C均不正确。根据焦距的定义可知，2c=2√2。根据内切圆的性质可知，内切圆的半径r等于双曲线的实轴长a。因此，a=√2，离心率为c/a=√2/√2=1，内切圆的半径r=√2。根据勾股定理可得，PF1^2=4+2=6，PF2^2=4+4=8。因此，|PF1|:|PF2|=√6:√8=√3:2√2。由于△PF1F2是等腰三角形，因此可以通过勾股定理求得其高，从而求得其面积为3。4.已知点M(-3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P。设圆C的方程为(x-a)^2+y^2=r^2，其中a为圆心的横坐标，r为圆的半径。根据题意可知，直线MN的斜率为0，因此圆C在B点的切线的斜率也为0，即圆C在B点的切线垂直于x轴。因此，圆C在B点的切线方程为x=1。又因为B点在圆C上，因此可得a=1，r=√10。根据勾股定理可得，BM=√10，BN=√10，MB'=NB'=√5，其中B'为圆C与x轴交点的对称点。因此，△MB'N是等腰三角形，且∠MB'N=90°。根据勾股定理可得，MN=2√10。设P点的坐标为(x,y)，则P点到直线MN的距离为|y|/√10。因为P点在圆C上，所以有(x-1)^2+y^2=10。因此，P点到圆C的距离为√[(x-1)^2+y^2]-√10。根据题意可知，P点到MN的距离等于P点到圆C的距离，因此有|y|/√10=√[(x-1)^2+y^2]-√10。整理得y^2=(x-1)^2+10-2√10|x-1|。因为P点在两条渐近线的交点处，所以P点的纵坐标应该在0和3之间。因此，P点的轨迹方程为y^2=(x-1)^2+10-2√10(x-1)，其中1≤x≤3。1.答案：C。将焦点代入，得到双曲线方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$，满足条件的是与$x^2-4y^2=4$有相同渐近线的双曲线，即选项C。2.答案：（1）$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$；（2）直线方程为$y=2x-3$。3.答案：存在，直线方程为$y=x$。双曲线的左右支分别关于$x$轴对称，因此只需考虑右支。将$y=x$代入双曲线方程，得到$x^2=\frac{1}{2}$，即$x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$，因此存在被点$(1,1)$平分的弦。4.答案：$k<\frac{1}{2}$或$k>2$。将直线方程代入双曲线方程，得到$x^2-\frac{y^2}{3}=4k^2-4k+4$，因为双曲线的左右支对称，不妨只考虑右支，即$x>0$。又因为交点$A,B$满足$OA\cdotOB>2$，所以交点在双曲线的右半部分，即$x>2$。因此$4k^2-4k+4>2$，即$k<\frac{1}{2}$或$k>2$。5.答案：（1）$-\frac{1}{3}\leqa\leq3$；（2）$a=1$；（3）不存在。解法略。请求出对称轴的方程；若不存在，请说明理由。已知双曲线方程为2x-y=2，点P(1,2)。(1)求过点P的直线l的斜率k的取值范围，使直线与双曲线有一个交点，两个交点，没有交点。首先，将双曲线方程转化为标准形式，即y=2x-2/x。然后，将直线方程y=kx+b代入双曲线方程中，得到2x-(kx+b)=2，整理后得到x=(2+b)/(2-k)，若该值存在，则直线与双曲线有交点。若k=±∞，则直线与双曲线相切，有一个交点；若0<k<2或k<-2，则直线与双曲线相交于两个点；若k=0或k=2，直线与双曲线相交于一个点；若-2<k<0，直线与双曲线没有交点。(2)过点P的直线交双曲线于A、B两点，若P为弦AB的中点，求直线AB的方程。设直线AB的方程为y=kx+b，由于P为弦AB的中点，所以A和B关于P对称，即A和B的横坐标分别为2和0.将A和B的坐标代入直线方程中，得到k=2和k=-2。又因为P在直线AB上，所以b=0。因此，直线AB的方程可以是y=2x或y=-2x。(3)是否存在直线l，使Q(1,1)为l被双曲线所截弦的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。假设直线l的方程为y=kx+b，将其代入双曲线方程中，得到2x-(kx+b)=2，整理后得到x=(2+b)/(2-k)。因为Q为弦的中点，所以Q的横坐标为x，即x=1。将x=1代入上式，得到b=3-k。因此，直线l的方程为y=kx+(3-k)。当k=2或k=-2时，直线l与双曲线相切，不存在被截弦的中点；当k≠2且k≠-2时，直线l与双曲线相交于两个点，不存在被截弦的中点。因此，不存在直线l，使Q为l被双曲线所截弦的中点。(4)双曲线是否关于x轴对称