2023年人教版数学中考压轴题：最短路径综合

中考压轴题：最短路径综合

♦最短路径基本题型（作对称）

1.（2021♦如皋市二模）如图，ZXABC中，AD=BC=2,AD±BC,垂足为D,P为直线BC上方的一个动点，过点P作

PE±BC,垂足为E,若PE=去C,则PB+PC的最小值为（）

C.3D.2位

2.（2021•南通一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，连接对角线AC,将△ADC沿射线CA的方向平移得到

D'C',分别连接BC',AD',BD',贝！）BC'+BD'的最小值为（）

C.4位D.2V5

3.（2022•如东县一模）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m,m+2）,点Q（n,0）,点M（1,1）,则PQ+QM最小

值为.

4.（2022•如皋市二模）如图,正方形ABCD的边长为5,E为AD的中点,P为CE上一动点,则AP+BP的最小值为

♦最短路径与瓜豆定理

5.（2022秋•如东县期末）如图，边长为a的等边aABC中，BF是AC上中线且BF=b,点D在BF上，连接AD,在

AD的右侧作等边△ADE,连接EF,则aAEF周长的最小值是（）

B

12113

A.-+-B.二+C.D.-a

23272

6.（2021•南通模拟）如图，菱形ABCD的边长为4,ZA=60°,E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段

EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG,连接BG、CG,则BG+CG的最小值为（）

A.3V5B.27?C.46D.2+2/

7.（2020秋•江岸区校级月考）如图，直线1为线段AB的垂直平分线，1交AB于点D,C为1上一动点，连接BC,

以BC为边作等边aBCE,连接DE,当4BDE周长最小时，则NAED=.

8.（2019•江都区一模）在平面直角坐标系中，已知x轴上一点A（2V5,0）,B为y轴上的一动点，连接AB,以

AB为边作等边aABC如图所示，已知点C随着点B的运动形成的图形是一条直线，连接0C,则AC+OC的最小值

9.（2021•海安市模拟）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,ZABC=60°,BC=2V5,Q为AC上的动点，P为Rt

△ABC内一动点，且满足NAPB=120°,若D为BC的中点，则PQ+DQ的最小值是（）

A.病-4B.<43C.4D.V77+4

10.（2020•如皋市一模）如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=3.E,F分别是AD,CD上的动点，EF=2.Q是EF的中

点，P为BC上的动点，连接AP,PQ.则AP+PQ的最小值等于（）

11.（2019•如皋市一模）如图，正方形ABCD的边长是4,点E是AD边上一动点，连接BE,过点A作AFLBE于点

F,点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为（）

A.5B.2m—2C.6D.2^5+2

12.（2020•崇川区校级三模）如图，正方形ABCD中，AB=2,动点E从点A出发沿A-D-C运动，同时动点F从点

D出发沿D-C-B运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE

相交于点P,M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为.

13.（2021•诸城市一模）如图，正方形ABCD边长为2,点G在以AB为直径的半圆上的一个动点，点F是边CD上

的一个动点，点E是AD的中点，则EF+FG的最小值为.

♦最短路径与构造平行四边形

14.（2021•如东县一模）如图，Z\ABC中，NACB=90°,ZA=30°,BC=2,若D,E是边AB上的两个动点，F

是边AC上的一个动点，DE=y[3,则CD+EF的最小值为（）

C.1+VJD.3

15.（2021•海安市模拟）在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,E为BC中点，H,G分别是边AB,CD上的动点，且始终

保持GH_LAE,则EH+AG最小值为

16.（2021•海安市二模）如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E在边BC上运动，M、N在对角线BD上运动，且MN=

y[5,连接CM、EN,则CM+EN的最小值为.

17.（2021秋•管城区校级期中）如图，等边△ABC的边长为6,点D在边AC上，AD=1,线段PQ在边BA上运动,

PQ=1,则四边形PCDQ周长的最小值为.

18.（2021•河南模拟）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=3,NB=30°,点M,N为BC上两个动点，且MN=2,

连接AM,AN,则aAMN周长的最小值为.

♦最短路径与构造全等三角形

19.（2021•港南区一模）如图，已知正方形ABCD的边长为2,点E,F分别是BC,CD边上的动点，满足BE=CF.则

AE+AF的最小值为（）

A.V5B.2/2C.2+2/2D.2>[5

20.（2021•张湾区模拟）如图，正方形ABCD的边长为2,点E,点F分别是边BC,边CD上的动点，且BE=CF,AE

与BF相交于点P.若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于

、D

BC

21.（2021•崇川区二模）如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,ADLBC于点D,点E、F分别是线段AB、AD上的

动点，且BE=AF,则BF+CE的最小值为.

22.（2020•南通）如图，在△ABC中，AB=2,NABC=60°,NACB=45°,D是BC的中点，直线1经过点D,AE

J_l,BF±1,垂足分别为E,F,则AE+BF的最大值为（）

C.2V5D.3位

23.（2021•通州区二模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在对角线AC上，连接DM,DN.若

AM=CN,则（DM+DN）?的最小值为.

24.（2022秋•华容区期末）如图，等边4ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM=CN,连

BM、BN,当BM+BN最小时，ZMBN=度.

中考压轴题：最短路径综合（解析）

♦最短路径基本题型（作对称）

1.（2021♦如皋市二模）如图，ZXABC中，AD=BC=2,AD±BC,垂足为D,P为直线BC上方的一个动点，过点P作

PE±BC,垂足为E,若PE=去C,则PB+PC的最小值为（）

A.4B.2VJC.3D.2©

【解答】解：如图，•.•PEJ_BC,PE=3C=1,

.•.点P的运动轨迹是直线1（直线1到直线BC的距离为1）,

作点C关于直线1的对称点T,连接BT,PT.

直线1,直线1〃BC,

.•.CT±CB,

ZBCT=90°,

.,.BT=V0工=J=242,

VPT=PC,

.\PB+PC=PB+PT,

VPB+PT^BT,

.,.PB+PC，2V^,

.♦.PB+PC的最小值为2历

2.（2021•南通一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，连接对角线AC,将△ADC沿射线CA的方向平移得到

D'C',分别连接BC',AD',BD',则BC'+BD'的最小值为（）

C.MlD.2V5

【解答】解：如图，连接DD'当等腰Rt^ADC在直线上运动时，点D运动轨迹为直线1,

•；AB〃C'D',且AB=C'D',

...四边形ABC'D'为平行四边形，

.♦.BD'+BC'=D'B+D'A,

将点B关于直线1对称到点B，,

.♦.BD'+BC,=D'B+D'A=AB',

构造RtaAA"B',根据勾股定理，得

AB，=7—7―力=，，+-=2倔

故选：D.

3.(2022•如东县一模)平面直角坐标系xOy中，已知点P(m,m+2),点Q(n,0),点M(1,1),则PQ+QM最小

值为__2V2_.

【解答】解：如图所示，由题意可知，点P(m,m+2)在一次函数y=.x+2的图像上移动，一次函数分别交x

轴、y轴于点B,A,作M关于x轴的对称点M,过点M作MPJ_AB于点P,交x轴于点Q,连接AM',BM',QM',

.*.PQ+QM=PQ+QM，2MP,即PQ+OM得最小值为PM的长.

VM(1,1),

AM'(1,-1),

VA(0,2),B(-2,0),

.,.M'A=M'B=/TO,

，AP=BP,

AP(-1,-1),

AM'P==242,

即PQ+QM得最小值为2位，

故答案为：2位.

4.(2022•如皋市二模)如图，正方形ABCD的边长为5,E为AD的中点，P为CE上一动点，则AP+BP的最小值为

465.

【解答】解：作B点关于EC的对称点F,连接AF交EC于点P,连接BP,过F点作FG_LBC交BC的延长线于点

G,

BF交EC于点H,

.\BP=FP,

...AP+BP=AP+PF2AF,

当A、F、P三点共线时，AP+BP有最小值，最小值为AF,

•••E点是AD的中点，

.♦.ED=翔，

•••正方形ABCD的边长为5,

/.ED=J

•*.tanZECD=4

VBH±EC,

ZBHC=90°,

VZBCD=90°,

/.ZHBC=ZECD,

/.tanZHBC=$

.*.2HC=BH,

在RtZkBCH中,BC=5,

.\BH=2V5,

.,.BF=2BH=4V5,

在Rt^BGF中，BG=2FG,

.\GF=4,BG=8,

过点F作FM±AB交于M,

.•.MF=8,AM=1,

在RtZiAFM中，AF=候，

/.AP+BP的最小值为夜

故答案为：＜65.

♦最短路径与瓜豆定理

5.（2022秋•如东县期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF=b,点D在BF上，连接AD,在

AD的右侧作等边△ADE,连接EF,则4AEF周长的最小值是（）

E

D

BC

121i3

A.-4--B.-+C,a+小D.-a

23272

【解答】解：如图，,•,△ABC,ZXADE都是等边三角形，

AAB=AC=a,AD=AE,ZBAC=ZDAE=ZABC=60°,

AZBAD=ZCAE,

/.△BAD^ACAE(SAS),

AZABD=ZACE,

VAF=CF=-^a,BF=b,

...NABD=NCBD=NACE=30°,BF±AC,

.•.点E在射线CE上运动(NACE=30°),

作点A关于直线CE的对称点M,连接FM交CE于E',此时AE'+FE'的值最小,

VCA=CM,ZACM=60°,

...△ACM是等边三角形，

.*.AM=AC,

VBF±AC,

：•FM=BF=b,

.♦.△AEF周长的最小值=AF+FE'+AE，=AF+FM=3+b,

故选：B.

6.（2021•南通模拟）如图，菱形ABCD的边长为4,NA=60°,E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段

EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG,连接BG、CG,则BG+CG的最小值为（）

A.3VJB.2。C.4V5D.2+2V5

【解答】解：如图，取AB的中点N.连接EN,EC,GN,作EHLCD交CD的延长线于H.

B

•.•四边形ABCD是菱形

，AD=AB,

VZA=60",

.•.△ADB是等边三角形，

.♦.AD=BD,

VAE=ED,AN=NB,

.*.AE=AN,

VZA=60",

...△AEN是等边三角形，

...NAEN=NFEG=60°,

.*.ZAEF=ZNEG,

VEA=EN,EF=EG,

/.△AEF^ANEG(SAS),

...NENG=NA=60°,

VZANE=60",

,,.ZGNB=180°-60°-60°=60°,

点G的运动轨迹是射线NG,

易知B,E关于射线NG对称，

.♦.GB=GE,

.,.GB+GC=GE+GC》EC,

在Rt4DEH中，VZH=90°,DE=2,ZEDH=60°,

.,.DH=」E=1,EH=V5,

在Rtz^ECH中，EC=yj可5=2/7,

.•.GB+GC22V7；

.\GB+GC的最小值为2”.

故选：B.

7.（2020秋•江岸区校级月考）如图，直线1为线段AB的垂直平分线，1交AB于点D,C为1上一动点，连接BC,

以BC为边作等边aBCE,连接DE,当4BDE周长最小时，则NAED=60°.

【解答】解：如图，以AB为底边构造等边△ABT,等边aABW,连接EW.

VAABT,Z\BCE都是等边三角形，

.♦.NABT=NCBE=60°,BA=BT,BC=BE,

.*.ZABE=ZTBC,

在4ABE和aTBC中，

AAABE^ATBC(SAS),

.,.ZBAE=ZBTC,

VTD±AB,

:.ZBTC=ZATD=幺ATB=30°,

AZBAE=30°,

VZBAW=60°,

.,.ZBAE=ZWAE,

AB,W关于AE对称，

；.EB=EW,

.\ED+EB=DE+EW,

VDE+EW^DW,

...当D,E,W共线时，DE+EB的值最小，最小值为线段DW的长，此时NAED=60°,

故答案为：60°.

8.(2019•江都区一模)在平面直角坐标系中，已知x轴上一点A(2V5,0),B为y轴上的一动点，连接AB,以

AB为边作等边△ABC如图所示，已知点C随着点B的运动形成的图形是一条直线，连接0C,则AC+OC的最小值

是6•

【解答】解：如图所示，在第四象限以0A为边长作等边AAOD,

连接0D,并作直线CD,延长AD交y轴于点A'.

丁等边△ABC、等边AAOD

AAB=AC,AO=AD,ZBAC=Z0AD=60°

:.ZBAC-Z0AC=Z0AD-ZOAC

AZBAO=ZCAD

在ABAO和ACAD中

k==，

/.△BAO^ACAD(SAS)

/.ZAOB=ZADC

VZA0B=90°

AZADC=90°

/.CD±AD

点C随着点B的运动形成的图形是直线CD

VZAOA)=90°,Z0AD=60°

...NAA'0=30°

/.0A=

/.AD=OA=匆

.•.点D是AA'的中点

VCD±AD

.•.CD是AA'的中垂线

.*.AC=A'C

/.AC+OC=A，C+OC

又•••点C在直线CD上运动，所以点0、C、A'三点共线时，A'C+OC的值最小，最小值为0A'的长.

在RtaAOA'中，ZA0A'=90°,Z0AD=60°,0A=2V5

0A'=V30A=6

AAC+OC的最小值为6.

故答案为6.

♦最短路径与隐圆

9.（2021•海安市模拟）如图，在RtZkABC中，NACB=90°,ZABC=60°,BC=2，j,Q为AC上的动点，P为Rt

△ABC内一动点，且满足NAPB=120°,若D为BC的中点，则PQ+DQ的最小值是（）

A.俯一4B.y/43C.4D.V^+4

【解答】解：如图以AB为边，向左边作等边△ABE,作AABE的外接圆。0,连接0B,则点P在。0上.

在RtaABC中，,.•NACB=90°,ZABC=60°,BC=2V5,

/.AB=4VJ,

则易知0B=4,OB±BC,

作点D关于AC的对称点D',连接0D',OP,PD，,PD'交AC于Q,贝!|PQ4D=PQ4D'，PD',

VPDZ-OP,0P=0B=4,06=J/+{3y[3）2=y[43,

.,.PD7>

APQ+DQ的最小值为俯-4,

故选：A.

10.（2020•如皋市一模）如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=3.E,F分别是AD,CD上的动点，EF=2.Q是EF的中

点，P为BC上的动点，连接AP,PQ.则AP+PQ的最小值等于（）

【解答】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接A'P,DQ,

则AP=A'P,DQ=4F=L

.,.AP+PQ=A'P+PQ,

...当A',P,Q,D在同一直线上时，AP+PQ的最小值等于A'D-DQ的长,

在RtAAA'D中，A'D=77T+=7/+^=5,

AA*D-DQ=5-1=4,

...AP+PQ的最小值等于4,

A'

11.（2019•如皋市一模）如图，正方形ABCD的边长是4,点E是AD边上一动点，连接BE,过点A作AF_LBE于点

F,点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为（）

A.5B.2/75-2C.6D.2<5+2

【解答】解：如图：

取点C关于直线DA的对称点C'.以AB中点0为圆心，0A为半径画半圆.

连接OC'交DA于点P,交半圆0于点F,连AF.连BF并延长交DA于点E.

由以上作图可知，AFLEB于F.

PC+PF=PC''+EF=C,F

由两点之间线段最短可知，此时PC+PF最小.

VCB'=4,OB'=6

-,.C0="+)=2^13,

.♦.C'F=2V75—2,

APC+PF的最小值为2，万-2,

故选：B.

12.（2020•崇川区校级三模）如图，正方形ABCD中，AB=2,动点E从点A出发沿A-D->C运动，同时动点F从点

D出发沿D-C-B运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE

相交于点P,M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为

【解答】解：如图作点D关于BC的对称点D',连接PD',

由轴对称的性质可知：MD=D'M,CD=CD'=2,

设AB的中点为0,

易证AFJ_BE,故可知P的轨迹为以AB为直径的半圆弧上，

连接0D'交。。于P,交BC于M,

则此时，MD+MP的值最小且等于PD',

过0作OG_LCD于G,

/.CG=OB=1,

0G=AD=2,

.,DG=3,

.,.ODZ="+/=V75,

.*.PDZ=V7J-1,

AMD+MP的最小值为，2-1,

13.（2021•诸城市一模）如图，正方形ABCD边长为2,点G在以AB为直径的半圆上的一个动点，点F是边CD上

的一个动点，点E是AD的中点，则EF+FG的最小值为_旧-1_.

【解答】解：作E点关于CD的对称点E',连接E'O,交CD于F,交半圆0于G,此时EF+FG的值最小,

VEF=E，F,

.•.EF+FG=E'F+FG,

/.EF+FG的最小值为E'0-GO,

•.•正方形边长为2,

/•AO=GO=11

•.•E是AD的中点，

.*.DE=DE，=1,

.'.EE'=2,

在RtAAE"0中，E'0=7—7―万=J-+/=y/Jo,

.,.E'O-GO=\/70-1,

/.EF+FG的最小值为5-1,

故答案为：yTlO—l.

E'

♦最短路径与构造平行四边形

14.（2021•如东县一模）如图，△ABC中，ZACB=90°,NA=30°,BC=2,若D,E是边AB上的两个动点，F

是边AC上的一个动点，DE=V3,则CD+EF的最小值为（）

3431J3r.

A.----B.3—«C.1+V5D.3

22%

【解答】解：如图，过C作AB的对称点C”连接CQ,交AB于N；过Ci作C£2〃AB,且C©=，j,过G作GF

J_AC于F,交AB于E,GF的长度即为所求最小值，

VC1C2/7DE,C1C2=DE,

・•・四边形GDEC2是平行四边形，

**•C]D=C2E,

又•“、Cl关于AB对称，

ACD=CiD,

ACD+EF=C2F,

VZA=30°,ZACB=90°,

.\AC=V3BC=2V5,

/.CN=V5,AN=3,

过C2作CzMIAB,贝I」C2M=QN=CN=\[3,

.♦.C2M〃CIN,CG〃MN,

/•MN=C1C2—•y/-3)

O

VZMEC2=ZAEF,ZAFE=ZC2ME=90,

/.ZMC2E=ZA=30°,

在RtaCzME中，ME=1,C2M=VJ,C2E=2,

/.AE=AN-MN-ME=3-V5—1=2—6,

•"•EF=1—

故选：B.

15.（2021•海安市模拟）在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,E为BC中点，H,G分别是边AB,CD上的动点，且始终

y[85

保持GH±AE,则EH+AG最小值为—=

VGH±AE,

AZANG=ZAFG=90°,

AZBAE=ZNGH,

AAABE^AGNH,

•*.____=_____•

,.,RtZ\ABE中，AE=/2+2=yJ76Tl=",

777_4

A一=?

.,.GH=q,

如图所示，以AG,AE为邻边作平行四边形AEMG,则AG=ME,GM=AE=y[17,NHGM=NAFG=90°,

，AG+HE=ME+HE,

当H,E,M在同一直线上时，AG+HE的最小值等于HM的长，

入“J85

此时，RtZiGHM中，HM=V2+"+彳=2,

y/85

AEH+AG的最小值为一丁,

故答案为-y.

16.（2021•海安市二模）如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E在边BC上运动，M、N在对角线BD上运动，且MN=

V5,连接CM、EN,则CM+EN的最小值为4.

—5-

【解答】解：先作C点关于BD的对称点F,然后再把F左移2个单位，下移1个单位，得到Q,再过Q作QEJ_

BC于E,交BD于N,连接BF,过F作FP_LBC于P,以B为原点建立平面直角坐标系，如图所示，

VAB=2=CD,BC=4,

AC(4,0),BF=BC=4,

由勾股定理得：BD=V可5=7/+^=2V5,

由三角形面积公式得：=xCRXBD=，xBCXCD,

24

4x24/5

即CR=——-=砺二丁'

即CF=2CR=攀

由勾股定理得：BF2-BP^CF2-CP2,

.,.42-BP2=(第)2-(4-BP)2,

解得：BP=苧,

用=心-（等=冬

”­,1216、

，F的坐标是（7，-）,

D5

.*.Q的坐标是q9，

即CM+EN的最小值为二，

故答案为：3

b

17.（2021秋•管城区校级期中）如图，等边△ABC的边长为6,点D在边AC上，AD=L线段PQ在边BA上运动,

PQ=1,则四边形PCDQ周长的最小值为—而+匚.

【解答】解：如图所示，作点D关于AB的对称点D',连接D'Q,以D'Q、PQ为边作平行四边形PQD'M,则DQ=

D'Q=MP,DD'=2XADXsin60°=V5,D'M=PQ=1,

过C作CHJ_AB,交D'M的延长线于N,则NN=90°,CH=BCXsin60°=3y[3,NH=州=

11Q

.,.MN=AH-D,M-ADXcos60°=ACXcos30°-1-^=3-1-^=^,

CN=NH+CH=知+3y[3=^y[3,

当M,P,C在同一直线上时，MP+CP的最小值等于CM的长，即DQ+CP的最小值等于CM的长，

此时，RtZ\MNC中，CM=V耳」=J（1）2+（知）2=腐

又；PQ=LCD=6-1=5,

...四边形PCDQ周长的最小值为底+6.

故答案为：底+6.

18.（2021•河南模拟）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=3,NB=30°,点M,N为BC上两个动点，且MN=2,

连接AM,AN,则aAMN周长的最小值为」+旧_.

【解答】解：过点A作AD〃BC,且AD=MN,连接MD,

则四边形ADMN是平行四边形，

.,.MD=AN,

作点A关于BC的对称点A',连接AA'交BC于点0,连接A'M,

则AM=A*M,

/.AM+AN=A'M+DM,

...三点D、M、A'共线时，A'M+DM最小为A'D的长,

VAD/7BC,A0J_BC,

,,.ZDAA)=90°,

VZB=30°,AB=3,

.•.A0=如=%

.♦.AA'=3,

在RtZ\ADA'中，由勾股定理得：

A,D=J=J/+，=yfJ3,

.♦.△AMN周长的最小值=A'D+MN=V75+2.

故答案为：413+2.

♦最短路径与构造全等三角形

19.（2021•港南区一模）如图，已知正方形ABCD的边长为2,点E,F分别是BC,CD边上的动点，满足BE=CF.则

AE+AF的最小值为（）

A.V5B.2\[2C.2+2\[2D.2y[5

【解答】解：连接DE,

根据正方形的性质及BE=CF,

/.△DCE^AADF(SAS),

/.DE=AF,

/.AE+AF=AE+DE,

作点A关于BC的对称点A',连接BA'、EA',

则AE=A'E,

即AE+AF=AE+DE=A'E+DE,

当D、E、A'在同一直线时，AE+AF最小，

AA'=2AB=4,

此时，在RtZ\ADA'中，DAZ=y/22+42=2^,

故AE+AF的最小值为力

故选：D.

20.（2021•张湾区模拟）如图，正方形ABCD的边长为2,点E,点F分别是边BC,边CD上的动点，且BE=CF,AE

与BF相交于点P.若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于

【解答】解：作M关于CD的对称点Q,取AB的中点H,连接PQ与CD交于点N',连接PH,HQ,则MN'=QN',

•.•四边形ABCD是正方形，

.*.AB=BC,AB//CD,ZABC=ZBCD=90°,

在aABE和ABCF中，

，

AAABE^ABCF(SAS),

二NAEB=ZBFC,

VAB/7CD,

.•.NABP=NBFC=NAEB,

VZBAE+ZAEB=90°,

：.ZBAE+ZABP=90°,

AZAPB=90°,

APH=j=1,

点是BC的中点，

.,.BM=MC=CQ=：=1,

YPH+PQ2HQ,

...当H、P、Q三点共线时，PH+PQ=HQ=V可5=J/+夕渊值最小,

APQ的最小值为，/一1,

此时，若N与N'重合时，MN+PN=MN'+PN'=QN'+PN'=PQ=切-1的值最小，

故答案为方-1.

21.（2021•崇川区二模）如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD_LBC于点D,点E、F分别是线段AB、AD上的

动点，且BE=AF,则BF+CE的最小值为_屈_.

【解答】解：过B作BGLBC,且BG=BA,连接GE,

VAD±BC,

.♦.GB〃AD,

/.ZGBA=ZBAD,

VGB=AB,BE=AF,

/.△GBE^ABAF(SAS),

...GE=BF,

...BF+CE=GE+CE》GC,

...当G、E、C三点共线时，BF+CE=GC最小，

：AB=AC=5,BC=6,

在RtaBCG中，G