2023年数学中考-用几何画板探究中点对称模型

用几何画板探究中点对称模型

模型制作

1.打开几何画板，单击“自定义工具”，从弹出的菜单中选择“三角形”，从弹出

的子菜单中单击“任意三角形"，按住“shift”键不放在绘图区单击两次松开,

再在上方单击一次，作出△ABC,如图1所示.

2.选择线段AC,依次单击“构造”、“中点”，作出线段AC的中点0.

“点工具”，在线段上任意作出一点D,选中点。、0,依次单击''构造”、“线

段”，作出线段。。.选中线段。。修改颜色为黑色.如图2所示.

D、。，依次单击“变换”、“标记向量”，选中线段。。和点。，依次单击“变换”、

“平移”，如图3所示，从弹出的对话框中单击“平移”.如图4所示.点。平移

到点E的位置.

CD、AE,选中线段OE、AE,修改线型为“细线/虚线”，如图5所示.

图4图5

C、0、。，依次单击“构造”、”三角形的内部”，选中△CODZ\AOE的内部，颜

色为粉红色.如图6所示.选中点D,修改点的颜色为浅蓝色.经此一步，完成作

图.

图6图7

模型探索

在图6中,拖动点始终有△C。。且△AOE(SAS)成立.如图7所示，连结

CE,由作图可知:。4=OC,,

所以四边形AOCE

动点。(不与点A重合)的过程中，四

边形ADCE保持平行四边形的形状不

变.

像这样，在三角形中遇有一边的中图8

点时，我们可以倍长中线或倍长经过中点的线段的方法来构造全等三角形或平

行四边形.这种模型就叫做中点对称模型.

模型应用

例1.如图9（1）,在正方形A3CD中,E为对角线8。上一点，过点E作友'J.BO

交于点F,连结DF,G为OF的中点，连结EG、CG.

（1）求证:EG=CG;

（2）将图（1）中的绕点8逆时针旋转45。,如图（2）所示，取。尸的中

点G,连结EG、CG,问（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明;若不成

立,请说明理由；

（3）将图（1）则的△8炉绕点B逆时针旋转任意的角度，如图（3）所示，再连

结相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论？

（不需要证明）

工！________________

区-D

BC

(1)(2)(3)

图9

（1）证明:：EF±BD

...△OEE是直角三角形

在RtADEF中,；G为。尸的中点

EG=-DF

2

同理可证:CG=’。/

2

:.EG=CG;

ADH

（2）成立.

理由如下:延长EG,交AD的延长线于E

点H,连结CE、C”.如右图所示.

?.AH//EF,EG=-EHB07c

，/GEF=NGHD

•..点G为。尸的中点

ADH

，DG=FG07

在AEFG和△HDG中

E

ZGEF=ZGHD

'：<ZEGF=ZHGD

B

FG=DG

:.△EFGQ4HDG(AAS)

，GE=GH,EF=HD

'：EF1AB,ZEBF=45°

：.EF=EB=HD

在△BCE和△0C”中

BC=DC

,：<NEBC=NHDC

EB=HD

:.ABCE经ADCH(SAS)

:.CE=CH,N1=N2

'：Z1+NDCE=ABCD=90°

，Z2+NDCE=ZECH=90°

*：GE=GH

：.CG^-EH

2

，EG=CG;

(3)成立.H

理由如下：如右图所示

延长EG至点“，使EG=”G,连结

DH、CH、CE.

证明:△ERG之

:.EF=HD=EB

易证:EE〃MH

证明△BCEgAOCH时，证明NEBC=NHDC是难点.

在四边形3CDM中

VZM+ZBCD=180°

二ZEBC+ZGDM=180°

:ZHDC+ZCDM=180°

二/EBC=ZHDC.

接下来的证明略.

例2.如图10,在△ABC中,4?>AC,E为边的中点AD为NBAC的平分线,

过E作AO的平行线，交CA的延长线于G.

求证:5E=CG.

G

证明:延长FE至点H,使庄=/72连结C”,如图11所示.

•.•点E是BC的中点

:.BE=CE

在△3EF和△CE”中

BE=CE

,：<NBEF=NCEH

EF=EH

：./\BEF^/\CEH(SAS)

:.BF=CH,/BFE=ACHE

；AO平分NBAC,ADIIGE

，N1=N2=NG=ZBFE

，ZG=NCHE

：.CH=CG

，BF=CG.

例3.如图12（1）,在正方形48。。和正方形。6£〜（。6>8。）中,点8、C、

G在同一直线上，点M是AE的中点.

（1）探究线段MD、MF的位置关系和数量关系，并证明；

（2）若将图（1）中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使。、C、G三点在一

条直线上，如图（2），其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化?

写出你的猜想并加以证明；

（3）将图（1）中的正方形CGEb绕点。顺时针旋转，使正方形CGE尸的对角

线CE恰好与正方形ABC。的边在同一条直线上，如图（3），其他条件不变,

则（1）中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.

图12

解：（1）MD^MF,MD±MF.

理由如下:延长DM交EF于点、N,如图所示.

*/点M是AE的中点,AM=EM

■:AD//BG//EF

：.ZMAD=AMEN

在△AMD和AEMN中

NMAO=AMEN

NAMD=NEMN

：.4AMDQ4EMN(ASA)

，MD=MN,AD=EN

•.•△。硒是直角三角形

，MF=-DN=MD

2

,:AD=CD,AD=EN

：.CD=EN

■:CF=EF

，CF-CD=EF-EN

:.FD=FN

'：FD=FN,FM平分DN

，MF工MD;

(2)不变.

理由如下:延长DM,交GE于点N,

连结ED、FN,如图所示.

,:ADUBFIIGE

Z1=Z2

•.•点M是AE的中点

AM=EM

在△AMO和△EMN中

Zl=Z2

*/i.AM=EM

NAMD=NEMN

.•.△AMZ注△EMN(ASA)

，MD=MN,AD=EN

'：AD=CD

:.CD=EN

易知:/DCF=ZNEF=90°,CF=EF

在△OCT和△NEF中

CD=EN

V<NDCF=ZNEF

CF=EF

:.△DCF44NEF(SAS)

/.FD=FNq=44

,：Z4+ZCFN=ZEFC=90°

，Z3+ZCFN=ADFN=90°

在RtADFN中

•:MD=MN

：.MF=MD=-DN

2

,:FD=FN,MD=MN

：.MF工MD

，(1)中的两个结论不变；

(3)不变.

理由如下:延长DM交BE于点N,

连结ED、FN,如图所示.

■:AD//BE

：.ZMAD=AMEN

•.•点M是AE的中点

，AM=EM

在△AMO和AEMN中

NMAD=NMEN

"：IAMEM

ZAMD^ZEMN

：.(ASA)

MD=MN,AD=EN

'：AD^CD

：.CD=EN

易知：NDCF=ZNEF=45°,CF=EF

在△OCF和/中

CD=EN

VZDCF=ZNEF

CF=EF

:ADCF义XNEF(SAS)

FD=FN2=〃

'：Z2+NCFN=NEFC=90°

Z1+NCFN=ADFN=90°

在Rt/\DFN中

,:MD=MN

：.MF=MD=、DN

2

,:FD=FN,MD=MN

：.MFVMD

A(1)中的两个结论不变.

例4.如图13,已知两个共一个顶点的等腰RtA43C、RtACEF,ZABC=ZCEF

=90。,连结4户,用是47;'的中点,连结皿8、ME.

(1)如图(1)，当CB与CE在同一直线上时,求证:MB〃C尸;

(2)如图(1)，若。8=。,。£=24,求8加、ME的长；

(3)如图(2)，当ZBCE=45。时，求证:3M=ME.

图13

(1)证明:延长交于点G,如图14所示.

■:ZABC^ZABE=NCEF=90°

，ABHEF

，Z1=Z2

•.•点M是AR的中点

:.AM=FM

在aAMB和△FMG中

Zl=2

图

ZAMB=ZFMG14

:.AAMB名AFMG(ASA)

:.AB=FG=BC

'：EC=EF

，EB=EG

.•.△BEG是等腰直角三角形

:.NEBG=NECF=45。

：.MB//CF-,

(2)解:由(1)可知：EB=EG=2a-a=a,BM=GM

：.BG=41a,BM=EM=-BG=—a-,

22

(3)证明:延长8M交C尸于点G,连结BE、GE,如图16所示.

同一可知:△AMB之△FMG

:.AB=FG=CB,BM=GM

在△BCE和aGFE中

BC=GF

NBCE=ZGFE

EC=EF

:.ABCEqAGFE（SAS）

:.EB=EG,N1=N2

•/N2+NCEG=90°

，Z1+NCEG=ABEG=90°

.•.△BEG是等腰直角三角形

,:BM=GM

：.BM=ME=-BG.

2

点评本题中，△ABC、△C"都是等腰直角三角形，且其直角开口方向相反，点

。为两个锐角的公共顶点,属于共点相似模型的第二种情形.

例5【问题情境】如图17,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是

8边的中点,AE平分ZDAM.

【探究展示】

（1）证明:=

（2）=是否成立?若成立，请给出证明;若不成立,请说明理由.

【拓展延伸】

（3）若四边形ABCZ）是长与宽不相等的矩形,其他条件不变，如图18,探究展示（1）

（2）中的结论是否成立?请分别作出判断,不需要证明.

图17图18

解：（1）证明:延长AE交BC的延长线于点尸,如图所示.

■:AD//BF

：.Zl=NF

•.•AE平分NZXM

，Z1=Z2A,

：.Z2=ZF

:.AM=FM

•.•点E是CD的中点

，DE=CE

在△AOE和△FCE中

Zl=NF

,：lxAED=ZFEC

DE=CE

：.AADE^AFCE(AAS)

:.AD=FC

,:FM=FC+MC

：.AM=A