高中数学 冲刺 高考二轮 素养导向 五育并举强化训练

冲刺高考二轮素养导向五育并举强化训练（原卷+答案）导向一用数学的眼光观察世界素养1数学抽象“数学抽象”素养的考查重点是学生在各种情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系的能力，在日常生活和实践中善于一般性思考问题，把握事物的本质、以简驭繁，运用数学思想方法解决问题的思维品质．数学抽象的具体表现包括：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系．例1某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝0.038，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝1.6158，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝0.2474.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))，eq\r(1.896)≈1.377.真题互鉴1．已知Q：a1，a2，…，ak为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n∈{1，2，…，m}，在Q中存在ai，ai＋1，ai＋2，…，ai＋j(j≥0)，使得ai＋ai＋1＋ai＋2＋…＋ai＋j＝n，则称Q为m­连续可表数列．(1)判断Q：2，1，4是否为5­连续可表数列？是否为6­连续可表数列？说明理由．(2)若Q：a1，a2，…，ak为8­连续可表数列，求证：k的最小值为4.(3)若Q：a1，a2，…，ak为20­连续可表数列，且a1＋a2＋…＋ak<20，求证：k≥7.素养2直观想象“直观想象”素养的考查重点是学生运用图形和空间想象思考问题、运用数形结合解决问题的能力；通过几何直观洞察表面现象的数学结构与联系，抓住事物的本质的思维品质．直观想象素养的具体表现包括：建立形与数的联系、利用几何图形描述问题、借助几何直观理解问题、运用空间想象认识事物．例2南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(eq\r(7)≈2.65)()A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3真题互鉴2．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”．则海岛的高AB＝()A．eq\f(表高×表距,表目距的差)＋表高B．eq\f(表高×表距,表目距的差)－表高C．eq\f(表高×表距,表目距的差)＋表距D．eq\f(表高×表距,表目距的差)－表距3．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20°B．40°C．50°D．90°导向二用数学的思维分析世界素养3逻辑推理“逻辑推理”素养的考查重点是学生运用逻辑推理的基本形式，提出和论证命题、理解事物之间的关联、把握知识结构的能力；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质．逻辑推理素养涉及的行为表现包括：发现问题和提出命题、掌握推理的基本形式和规则、探索和表述论证过程、理解命题体系、有逻辑地进行表达与交流．例3.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：h)，得到茎叶图：则下列结论中错误的是()A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6真题互鉴4.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180dm2.以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么eq\i\su(k＝1,n,S)k＝________dm2.素养4数学运算“数学运算”虽然是传统的数学三大能力之一，但作为数学核心素养的数学运算不仅要考查学生的运算基本功，更重要的是考查学生有效借助运算方法解决实际问题的能力．通过运算促进数学思维发展，形成程序化思考问题的数学思维品质，其具体表现包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、形成程序化思维．例4当x＝1时，函数f(x)＝alnx＋bx取得最大值－2，则fA．－1B．－1C．12真题互鉴5.曲线y＝eq\f(2x－1,x＋2)在点(－1，－3)处的切线方程为________．6．已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝()A．eq\f(\r(5),3)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3)D．eq\f(\r(5),9)eq\a\vs4\al([说明])此两题是用数学基本知识进行运算，解决数学问题．导向三用数学的语言表达世界素养5数学建模“数学建模”的考查重点是学生用数学模型解决实际问题，其中涉及数学建模的完整过程，即在实际情境中，从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题．由于在常规的纸笔测试中较难反映数学建模的完整过程，因此，在编制考查数学建模的测试题时，通常依据数学建模的各个环节来命题．如设置一个实际情境，重点考查学生发现和提出合适的数学问题的能力，或者给定一个初步的数学模型，要求学生依据实际情况对模型进行修正等．例5图(1)是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图(2)是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为eq\f(DD1,OD1)＝0.5，eq\f(CC1,DC1)＝k1，eq\f(BB1,CB1)＝k2，eq\f(AA1,BA1)＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝()A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9真题互鉴7.卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km(轨道高度指卫星到地球表面的最短距离)，把地球看成一个球心为O，半径为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α，该卫星信号覆盖的地球表面面积S＝2πr2(1－cosα)(单位：km2)，则S占地球表面积的百分比为()A．26%B．34%C．42%D．50%8．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天素养6数据分析“数据分析”核心素养的考查重点是学生基于数据表达现实问题、运用合适的统计方法进行推断和决策的能力，形成通过数据认识事物的思维品质．其具体表现包括：收集和整理数据、理解和处理数据、获得和解释结论、概括和形成知识．例6甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，P(K2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635真题互鉴9.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间10．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得eq\i\su(i＝1,20,x)i＝60，eq\i\su(i＝1,20,y)i＝1200，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝80，eq\i\su(i＝1,20,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝9000，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))，eq\r(2)≈1.414.参考答案导向一素养1[例1]解析：（1）该林区这种树木平均一棵的根部横截面积eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(0.6,10)＝0.06（m2），平均一棵的材积量eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(3.9,10)＝0.39（m3）.（2）由题意，得eq\i\su(i＝1,10,)（xi－eq\o(x,\s\up6(－))）2＝eq\i\su(i＝1,10,)xeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(i))－10eq\o(x,\s\up6(－))2＝0.038－10×0.062＝0.002，eq\i\su(i＝1,10,)（yi－eq\o(y,\s\up6(－))）2＝eq\i\su(i＝1,10,)yeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(i))－10eq\o(y,\s\up6(－))2＝1.6158－10×0.392＝0.0948，eq\i\su(i＝1,10,)（xi－eq\o(x,\s\up6(－))）（yi－eq\o(y,\s\up6(－))）＝eq\i\su(i＝1,10,)xiyi－10eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝0.2474－10×0.06×0.39＝0.0134，所以相关系数r＝eq\f(0.0134,\r(0.002×0.0948))＝eq\f(0.0134,\r(1.896×0.0001))≈eq\f(0.0134,0.01377)≈0.97.（3）因为树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以比例系数k＝eq\f(\o(y,\s\up6(－)),\o(x,\s\up6(－)))＝eq\f(0.39,0.06)＝6.5，所以该林区这种树木的总材积量的估计值为186×6.5＝1209（m3）.真题互鉴1．解析：（1）若m＝5，则对于任意的n∈{1，2，3，4，5}，a2＝1＝1，a1＝2＝2，a1＋a2＝2＋1＝3，a3＝4＝4，a2＋a3＝1＋4＝5，所以Q是5­连续可表数列．由于不存在任意连续若干项之和相加为6，所以Q不是6­连续可表数列．（2）反证法：假设k的值为3，则a1，a2，a3最多能表示a1，a2，a3，a1＋a2，a2＋a3，a1＋a2＋a3，共6个数字，与Q为8­连续可表数列矛盾，故k≥4.现构造Q：4，2，1，5，可以表达出1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，即存在k＝4满足题意，故k的最小值为4.（3）先证明k≥6.从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，所以对任意给定的5个整数，最多可以表示5＋4＋3＋2＋1＝15个正整数，不能表示20个正整数，即k≥6.若k＝6，最多可以表示6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个正整数，由于Q为20­连续可表数列，且a1＋a2＋…＋ak<20，所以至少有一项为负数，既然任意5个正整数都不可能为20­连续可表数列，那么中间若插入一个负数项，更不能连续表示1～20的正整数．所以至少要有6个正整数才能连续表示1～20的正整数．所以Q中至少包含6个正整数和一个负数，故k≥7.素养2[例2]解析：由棱台的体积公式，得增加的水量约为eq\f(1,3)×（157.5－148.5）×（140×106＋180×106＋eq\r(140×106×180×106)）＝3×106×（140＋180＋60eq\r(7)）≈3×106×（140＋180＋60×2.65）≈1.4×109（m3）.故选C.答案：C真题互鉴2．解析：因为FG∥AB，所以eq\f(FG,AB)＝eq\f(GC,CA)，所以GC＝eq\f(FG,AB)·CA.因为DE∥AB，所以eq\f(DE,AB)＝eq\f(EH,AH)，所以EH＝eq\f(DE,AB)·AH.又因为DE＝FG，所以GC－EH＝eq\f(DE,AB)（CA－AH）＝eq\f(DE,AB)×HC＝eq\f(DE,AB)×（HG＋GC）＝eq\f(DE,AB)×（EG－EH＋GC）.由题设中信息可得，表目距的差为GC－EH，表高为DE，表距为EG，则上式可化为，表目距的差＝eq\f(表高,AB)×（表距＋表目距的差），所以AB＝eq\f(表高,表目距的差)×（表距＋表目距的差）＝eq\f(表高×表距,表目距的差)＋表高，故选A.答案：A3．解析：过球心O、点A以及晷针的轴截面如图所示，其中CD为晷面，GF为晷针所在直线，EF为点A处的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB＝40°，∠OAE＝∠OAF＝90°，所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°.故选B.答案：B导向二素养3[例3]解析：对于A选项，将甲同学周课外体育运动时长的样本从小到大排列，其样本容量为16，中间两个样本为7.3和7.5，所以中位数为eq\f(7.3＋7.5,2)＝7.4，所以A不符合题意．对于B选项，（方法一）乙同学周课外体育运动时长的样本平均数为eq\f(1,16)×（6.3＋7.4＋7.6＋8.1＋8.2＋8.2＋8.5＋8.6＋8.6＋8.6＋8.6＋9.0＋9.2＋9.3＋9.8＋10.1）≈8.5，所以B不符合题意．（方法二）由乙的样本可知，小于8的样本有6.3，7.4，7.6，其他样本均大于8.又因为eq\f(10.1＋6.3,2)>8，eq\f(9.8＋7.4,2)>8，eq\f(9.3＋7.6,2)>8，所以乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8，所以B正确．对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的样本有8.1，8.2，8.4，8.6，9.2，9.4，共6个，则甲同学周课外运动时长大于8的概率的估计值为eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)<0.4，所以C符合题意．对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的样本有13个，则乙同学周课外运动时长大于8的概率的估计值为eq\f(13,16)>0.6，所以D不符合题意．故选C.答案：C真题互鉴4．解析：（1）由对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，所以对折三次的结果有：eq\f(5,2)×12，5×6，10×3，20×eq\f(3,2)，共4种不同规格（单位dm2）；故对折4次可得到如下规格：eq\f(5,4)×12，eq\f(5,2)×6，5×3，10×eq\f(3,2)，20×eq\f(3,4)，共5种不同规格；（2）由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公比为eq\f(1,2)的等比数列，首项为120eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(dm2))，第n次对折后的图形面积为120×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，对于第n次对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为n＋1种（证明从略），故得猜想Sn＝eq\f(120（n＋1）,2n－1)，设S＝eq\i\su(k＝1,n,S)k＝eq\f(120×2,20)＋eq\f(120×3,21)＋eq\f(120×4,22)＋…＋eq\f(120\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1)),2n－1)，则eq\f(1,2)S＝eq\f(120×2,21)＋eq\f(120×3,22)＋…＋eq\f(120n,2n－1)＋eq\f(120（n＋1）,2n)，两式作差得：eq\f(1,2)S＝240＋120eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋…＋\f(1,2n－1)))－eq\f(120\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1)),2n)＝240＋eq\f(60\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1))),1－\f(1,2))－eq\f(120\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1)),2n)＝360－eq\f(120,2n－1)－eq\f(120\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1)),2n)＝360－eq\f(120\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋3)),2n)，因此，S＝720－eq\f(240\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋3)),2n)＝720－eq\f(15\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋3)),2n－4).答案：5720－eq\f(15\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋3)),2n－4)素养4[例4]解析：由题意，得f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝eq\f(a,x)－eq\f(b,x2)＝eq\f(ax－b,x2).又当x＝1时，f（x）取得最大值－2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0，,f′（1）＝0，,f（1）＝－2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0，,a－b＝0，,b＝－2，))所以a＝b＝－2，则f′（x）＝eq\f(－2x＋2,x2)，所以f′（2）＝eq\f(－2×2＋2,22)＝－eq\f(1,2).故选B.答案：B真题互鉴5．解析：因为y＝eq\f(2x－1,x＋2)，所以y′＝eq\f(2（x＋2）－（2x－1）,（x＋2）2)＝eq\f(5,（x＋2）2).当x＝－1时，y＝－3，y′＝5，所以所求切线方程为y＋3＝5（x＋1），即5x－y＋2＝0.答案：5x－y＋2＝06．解析：由3cos2α－8cosα＝5，得3cos2α－4cosα－4＝0，所以cosα＝－eq\f(2,3)或cosα＝2（舍去），因为α∈（0，π），所以sinα＝eq\f(\r(5),3)，故选A.答案：A导向三素养5[例5]解析：设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3.由题意，得k3＝k1＋0.2，k3＝k2＋0.1，且eq\f(DD1＋CC1＋BB1＋AA1,OD1＋DC1＋CB1＋BA1)＝0.725，即eq\f(3k3＋0.2,4)＝0.725，解得k3＝0.9.故选D.答案：D真题互鉴7．解析：如图，作出过地球静止同步轨道卫星轨道左右端点的竖直截面，则OB＝36000＋6400＝42400，cosα＝eq\f(6400,42400)＝eq\f(8,53)，S占地球表面积的百分比为eq\f(2πr2（1－cosα）,4πr2)＝eq\f(45,106)≈42%.答案：C8．解析：∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(I（t1）＝e0.38t1，,I（t2）＝e0.38t2，,I（t2）＝2I（t1），))则e0.38（t2－t1）＝2，0.38（t2－t1）＝ln2≈0.69，t2－t1≈1.8，选B.答案：B素养6[例6]解析：（1）A公司一共调查了260