四川省成都市陵川中学2021年高三数学理联考试题含解析

四川省成都市陵川中学2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设随机变量ξ服从正态分布N（3，σ），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），则c=（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（3，σ），得到曲线关于x=3对称，根据P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），结合曲线的对称性得到点c+1与点c﹣1关于点3对称的，从而做出常数c的值得到结果．【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（3，σ），∴曲线关于x=3对称，∵P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），∴c+1+c﹣1=6，∴c=3，故选：C．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．2.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求职”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现在有周长为的△ABC满足，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A. B. C. D.12参考答案：A因为，所以由正弦定理得：，又的周长为，所以可得，的面积为，故选A.3.设等比数列的公比，前n项和为，则（

）A．

B．

C．2

D．4参考答案：A略4.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则与平面所成的角为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A略5.设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为(

) A．2 B．3 C．4 D．9参考答案：B考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=2x+y的最小值．解答： 解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3，故选B点评：在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证，求出最优解．6.设全集,，，则（

） Ａ.Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：C略7.已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则·＝(

).

A.－12

B.

－2

C.

0

D.4参考答案：C8.函数的最小值为（

）A．

B．

C．

D．不存在参考答案：B9.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点为

n,向量=(m,n),=(3,6),则向量与共线的概率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.已知x,yR且，a,bR为常数，则(

)A、t有最大值也有最小值

B、t有最大值无最小值C、t有最小值无最大值

D、t既无最大值也无最小值参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量=（1,2），=（0,1），=（-1，m）．若（+2）∥，则实数m=

．参考答案：﹣4【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列出方程解方程即可．【解答】解：向量，则+2=（1，4），又，∴m﹣4×（﹣1）=0，解得m=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．12.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是

.参考答案：13.双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=4x的焦点．设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为．参考答案：1+【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c=1，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以，c2=a2+b2=1，解得a=﹣1，双曲线的离心率e==1+．故答案为：1+．【点评】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．14.已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右端点分别为A、B两点，点C（0，b），若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用平面几何的性质可得△ABC为等边三角形，则b=?2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由线段AC的垂直平分线过点B，结合对称性可得△ABC为等边三角形，则b=?2a，即b=a，c===a，则e==，故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用平面几何的性质，以及双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．15.设，则的最小值是__________.参考答案：16.设变量满足约束条件的取值范围是____________.参考答案：17.设实数、、、中的最大值为，最小值，设的三边长分别为，且，设的倾斜度为，设，则的取值范围是_____________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=，（e=2.71828…是自然对数的底数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=xf'（x），其中f'（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，求f（x）的单调区间；（2）g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，确定当x∈（0，+∞）时，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．当x∈（0，+∞）时，0＜＜1，即可证明结论．【解答】解：（1）求导数得f′（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），当x∈（0，1）时，h（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0．又ex＞0，所以x∈（0，1）时，f′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．因此f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．证明：（2）因为g（x）=xf′（x）．所以g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，求导得h′（x）=﹣lnx﹣2=﹣（lnx﹣lne﹣2），所以当x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（e﹣2，+∞）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减．所以当x∈（0，+∞）时，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．又当x∈（0，+∞）时，0＜＜1，所以当x∈（0，+∞）时，h（x）＜1+e﹣2，即g（x）＜1+e﹣2．综上所述，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，解题的关键是灵活利用导数工具进行运算及理解导数与要解决问题的联系，此类题运算量大，易出错，且考查了转化的思想，判断推理的能力，综合性强，是高考常考题型，学习时要严谨认真，注意总结其解题规律．19.在信息时代的今天，随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了100人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表：（注：年龄单位：岁）年龄[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）频数1030302055赞成人数825241021（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？

年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成

不赞成

合计

（2）若从年龄在[55，65），[65，75）的别调查的人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成“使用微信交流”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．参考数据：P（K2≥k0）0.0250.0100.0050.001k03.8416.6357.87910.828参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．参考答案：（1）根据频数分布，填写2×2列联表如下；

年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成135770不赞成171330合计3070100

计算观测值K2==≈14.512＞10.828，对照临界值表知，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”；（6分）（2）根据题意，X所有可能取值有0，1，2，3，P（X=0）=?=，P（X=1）=?+?=，P（X=2）=?+?=，P（X=3）=?=，所以X的分布列是X0123P

所以X的期望值是E（X）=0×+1×+2×+3×=．（12分）20.如图，在直角梯形中，已知，，，.将沿对角线折起（图），记折起后点的位置为且使平面平面.(1)求三棱锥的体积；(2)求平面与平面所成二面角的平面角的大小.参考答案：解：（1）∵平面平面，，平面，平面平面,∴平面，

（2分）

即是三棱锥的高,又∵，，，∴,∴，

（4分）,∴三棱锥的体积.

（6分）（2）方法一：

∵平面，平面，∴

又∵，，∴平面，

（8分）

∵平面，∴

∴

∵,∴

∴

∴,即

（10分）由已知可知,∵,∴平面

（11分）∵平面，∴平面平面

（12分）

所以平面与平面所成二面角的平面角的大小为.

（13分）方法二：过E作直线，交BC于G，则，如图建立空间直角坐标系，则，，

（8分）设平面的法向量为，则，即化简得令，得，所以是平面的一个法向量.

（10分）同理可得平面PCD的一个法向量为

（11分）设向量和所成角为，则

（12分）∴平面与平面所成二面角的平面角的大小为.

(13分)

略21.已知函数（），（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）已知，：关于的不等式对任意恒成立；：函数是增函数．若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围。参考答案：

解：（Ⅰ）因为函数已知函数（x∈R），当x＜﹣2时，f（x）∈（1，+∞）；当时，f（x）；当x＞时，f（x）∈所以函数的值域为[1，+∞），最小值为1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得m2+2m﹣2≤1，即m2+2m﹣3≤0，解得﹣3≤m≤1，所以命题p：﹣3≤m≤1．对于命题q，函数y=（m2﹣1）x是增函数，则m2﹣1＞1，即m2＞2，所以命题q：或由“p或q”为真，“p且q”为假可知有以下两个情形：若p真q假，则解得：，若p假q真，则解得：m＜﹣3，或m＞．故实数m的取值范围是．

略22.已知函数f（x）=1﹣﹣alnx（a∈R），g（x）=2x﹣ex（e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）判断a＞1时，f（）的符号；（Ⅲ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出f（）的解析式，根据函数的单调性判断即可；（Ⅲ）根据函数的单调性求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=2x﹣ex，∴x∈R，且g′（x）=2x﹣ex．∴当x＜ln2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞ln2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以函数g（x）的单调递增区间是（﹣∞，ln2]，单调递减区间是[ln2，+∞）．…（2分）（Ⅱ）∵f（x）=1﹣﹣alnx，∴f（）=1﹣ea+a2（a＞1）．设h（x）=