2022-2023学年北京同文中学高一数学理联考试卷含解析

2022-2023学年北京同文中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，，若，则（）A.－4 B.－3 C.－2 D.－1参考答案：B∵，∴.∴，即，∴.故选B.【考点定位】向量的坐标运算2.函数的最小值等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C

解析：3.已知集合，则等于(

)A.

B.

C．

D．参考答案：B4.已知是上的减函数，那么的取值范围是（

）

A、

B、

C、

D、

参考答案：C5.在中，分别为角的对边，若，则的形状（

）A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形参考答案：B略6.设，则

的大小关系是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B7.如果数据的平均数是x，方差是，则的平均数和方差分别是

A.与

B.2

＋3和C.2

＋3和4

D.2＋3和4＋12S参考答案：C8.在△ABC中，，则等于（

）A

B

C

D参考答案：C略9.已知tanx=，则sin2x=（） A． B． C． D．参考答案：D【考点】二倍角的正弦；三角函数的化简求值． 【分析】tanx=，sin2x=2sinxcosx==，即可得出． 【解答】解：∵tanx=， 则sin2x=2sinxcosx====． 故选：D． 【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、“弦化切”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10.一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（）A． B． C． D．2参考答案：C【考点】斜二测法画直观图．【专题】计算题；作图题．【分析】可根据直观图和原图面积之间的关系求解，也可作出原图，直接求面积．【解答】解：由题意，直观图的面积为，因为直观图和原图面积之间的关系为，故原△ABO的面积是故选C【点评】本题考查斜二测画法及斜二测画法中原图和直观图面积之间的联系，考查作图能力和运算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数在区间[2,4]上值域为

．参考答案：因为函数在上是减函数，所以，故值域为，填.

12.设l，m，n为三条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中正确的是______．(1)若，，，则；(2)若，，，则；(3)若，，，，则；(4)若，，,则．参考答案：(1)【分析】利用线线平行的传递性、线面垂直的判定定理判定。【详解】(1)，，，则，正确(2)若，，，则，错误(3)若，则不成立，错误(4)若，，,则，错误【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理判定，考查了空间想象能力，属于中档题.13.数列{2n}和{3n+2}的公共项由小到大排列成数列{cn}，则{cn}的通项公式cn=

，前n项和Sn=

。参考答案：2?4n，(4n–1)14.已知角α和β满足0＜α＜2β≤，且2cos（α+β）cosβ=﹣1+2sin（α+β）sinβ，则角α和角β满足的关系式是

．参考答案：α+2β=【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】先根据两角和的余弦公式得到cos（α+2β）=﹣，再根据角的范围，即可求出答案．【解答】解：∵2cos（α+β）cosβ=﹣1+2sin（α+β）sinβ，∴cos（α+β）cosβ﹣sin（α+β）sinβ=﹣，∴cos（α+2β）=﹣，∵角α和β满足，∴0＜α+2β＜π，∴α+2β=，故答案为：α+2β=15.在ΔABC中，若，那么角C=____.参考答案：略16.函数的最小正周期为

参考答案：17.有下列命题：①函数是偶函数；②函数的最小正周期为；③函数在上是单调增函数；④函数的最大值为2．其中正确命题的序号是

★

；（把所有正确的序号都填上）参考答案：②③

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知是的三个内角，且满足，设的最大值为．（1）求的大小；（2）当时，求的值．参考答案：（1）由题设及正弦定理知，，即．由余弦定理知， 2分． 4分因为在上单调递减，所以的最大值为． 6分（2）解：设， ① 8分由（Ⅰ）及题设知． ②由①2+②2得，． 10分又因为，所以，即． 12分19.已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）?f（x+α），其中α是常数．（1）设f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；（3）当f（x）=|sinx|+cosx，时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1-x2|的最小值．参考答案：（1）（2）f（x）=2cosx，α=-（3）【分析】（1）求出f（x+α），代入g（x）=f（x）?f（x+α）化简得出．（2）对g（x）化简得=4cosx?cos（x-），故f（x）=2cosx，α=-．（3）求出g（x）的解析式，由题意得g（x1）为最小值，g（x2）为最大值，求出x1，x2，从而得到|x1-x2|的最小值.【详解】（1）∵f（x）=cosx+sinx，∴f（x+α）=cos（x+）+sin（x+）=cosx-sinx；∴g（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）=cos2x-sin2x=cos2x．（2）∵=4cosx?cos（x-），∴f（x）=2cosx，α=-．（3）∵f（x）=|sinx|+cosx，∴g（x）=f（x）?f（x+α）=（|sinx|+cosx）（|cosx|-sinx）=，因为存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，所以当x1=2kπ+π或时，g（x）≥g（x1）=-1当时，g（x）≤g（x2）=2所以或所以|x1-x2|的最小值是．【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图像及性质，考查分段函数的应用，属于中档题．20.（10分）如图所示，某住宅小区有一个矩形休闲广场ABCD，其中AB=40米，BC=30米，根据小区业主建议，需将其扩大成矩形区域EFGH，要求A、B、C、D四个点分别在矩形EFGH的四条边（不含顶点）上．设∠BAE=θ，EF长为y米．（1）将y表示成θ的函数；（2）求矩形区域EFGH的面积的最大值．参考答案：考点： 三角函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；三角函数中的恒等变换应用．专题： 三角函数的求值．分析： （1）由几何图形结合解直角三角形知识将y表示成θ的函数；（2）直接由矩形面积等于长乘宽列出面积关于θ的表达式，结合三角函数的化简与求值得答案．解答： （1）如图，由∠BAE=θ，∠E=90°，得∠ABE=90°﹣θ，再由∠ABC=90°，得∠CBF=θ，同理∠DCG=θ．由AB=40（米），BC=30（米），四边形ABCD为矩形，得DC=40（米），因此，EF=EB+BF=40sinθ+30cosθ（米），因此y=40sinθ+30cosθ（0°＜θ＜90°）；（2）+2500sinθcosθ=1200+1250sin2θ，（0°＜θ＜90°）．因此θ=45°时，SEFGH取到最大值，最大值为2450．因此，矩形区域EFGH的面积的最大值为2450平方米．点评： 本题考查了简单的数学建模思想方法，考查了三角函数的化简与求值，正确将y表示成θ的函数是解答该题的关键，是中档题．21.已知函数为常数）.（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）若，,求函数的值域；（Ⅲ）若函数的图像恒在直线的上方，求实数的取值范围.参考答案：解：

（1）定义域为；（2）；（3）且.

略22.已知集合A={x|ax2﹣x+1=0，a∈R，x∈R}．（1）若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素；（2）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．参考答案：解：（1）由题意，本题分为两类求解当a=0时，A中只有一个元素，这个元素为1；…（3分）当a≠0时，令，A中只有一个元素，这个元素为2．…（6分）（2）A中只有一个元素说明A中有一个元素或者没有元素，故若A中只有一个元素，由（1）可知：a=0或．…（8分）若A中没有元素，即A=?，则．…（11分）综上，a=0或．…（12分）考点： 集合关系中的参数取值问题．专题： 计算题；分类讨论；转化思想．分析： （1）集合的属性是一个关于x的方程，且二次项的系数是字母，故A中只有一个元素时要考虑二次项系数为0的情况，此题应分为两类求解，当a=0时与当a≠0时，分别转化求出求a的值；（2）A中至多有一个元素，限制词中的至多说明A中可能只有一个元素或者没有元素，故分为两类求解，由（1）知A中只有一个元素时参数的取值范围，再求出A是空集时参数的取值范围，取两部分的并集即可求出a的取值范围．解答： 解：（1）由题意，本题分为两类求解当a=0时，A中只有一个元素，这个元素为1；…（3分）当a≠0时，令，A中只有一个元素，这个元素为2．…（6分）（2）A中只有一个元素说明A中有一个元素或者没有元素，故若A