2023年贵州省遵义市第十八中学高二数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则，.设一批白炽灯的寿命（单位：小时）服从均值为1000，方差为400的正态分布，随机从这批白炽灯中选取一只，则（）A．这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.8186B．这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.8186C．这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.9545D．这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.95452．复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设等比数列满足，，则的最大值为A．32 B．128 C．64 D．2564．复数的虚部为（）A． B． C． D．5．设函数，若的值域为，则实数的取值范围是()A． B．C． D．6．已知向量，，若∥，则A． B． C． D．7．若随机变量服从正态分布，且，（）A． B． C． D．8．年平昌冬奥会期间，名运动员从左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为（）A． B． C． D．9．如果随机变量，则等于（）（注：）A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.021510．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．11．从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派议程种数是（）A．70 B．140 C．420 D．84012．下列说法错误的是A．回归直线过样本点的中心B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C．在回归直线方程中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加个单位D．对分类变量X与Y，随机变量的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知正项数列{an}满足，若a1＝2，则数列{an}的前n项和为________．14．设过抛物线上任意一点（异于原点）的直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线的另一个交点为，则__________．15．从集合随机取一个为,从集合随机取一个为,则方程可以表示___个不同的双曲线.16．由曲线与所围成的封闭图形的面积为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）传说《西游记》中孙悟空的“如意金箍棒”原本是东海海底的一枚“定海神针”.作为兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孙悟空能让其大小随意变化。假定孙悟空在使用“如意金箍棒”与各路妖怪打斗时，都将其变化为底面半径为4至10之间的圆柱体。现假定孙悟空刚与一妖怪打斗完毕，并降伏了此妖怪，此时“如意金箍棒”的底面半径为10，长度为.在此基础上，孙悟空使“如意金箍棒”的底面半径以每秒1匀速缩短，同时长度以每秒40匀速增长，且在这一变化过程中，当“如意金箍棒”的底面半径为8时，其体积最大.（1）求在这一变化过程中，“如意金箍棒”的体积随时间（秒）变化的解析式，并求出其定义域；（2）假设在这一变化过程中，孙悟空在“如意金箍棒”体积最小时，将其定型，准备迎战下一个妖怪。求此时“如意金箍棒”的底面半径。18．（12分）已知等比数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，，求数列的前项和.19．（12分）已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）当时，判断函数在区间上零点的个数.20．（12分）已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明：．21．（12分）已知正整数,.(1)若的展开式中,各项系数之和比二项式系数之和大992,求的值；(2)若,且是中的最大值,求的值.22．（10分）用数学归纳法证明：当时，能被7整除．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

先求出，，再求出和，即得这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率.【详解】∵，，∴，，所以，，∴.故选：A【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质，考查指定区间的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2、B【解析】，故对应的点在第二象限.3、C【解析】

先求出通项公式公式，再根据指数幂的运算性质和等差数列的求和公式，可得，令，根据复合函数的单调性即可求出．【详解】由，，可得，解得，，，，令，当或时，有最小值，即，的最大值为，故选C．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式等差数列的求和公式，指数幂的运算性质和复合函数的单调性，属于中档题4、C【解析】

利用复数除法运算求得，根据虚部定义得到结果.【详解】的虚部为：本题正确选项：【点睛】本题考查复数虚部的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.5、B【解析】很明显，且应满足当时，类指数函数的函数值不大于一次函数的函数值，即，解得：，即实数的取值范围是.本题选择B选项.点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．6、D【解析】

根据∥得到，解方程即得x的值.【详解】根据∥得到.故答案为D【点睛】(1)本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)如果=,=，则||的充要条件是.7、B【解析】设，则，根据对称性，，则，即，故故选：B．8、C【解析】分析：根据题意，分两种情况讨论：①最左边排甲；②最左边排乙，分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类计数原理计算即可得到答案.详解：根据题意，最左端只能排甲或乙，则分两种情况讨论：①最左边排甲，则剩下4人进行全排列，有种安排方法；②最左边排乙，则先在剩下的除最右边的3个位置选一个安排甲，有3种情况，再将剩下的3人全排列，有种情况，此时有种安排方法，则不同的排法种数为种.故选：C.点睛：解决排列类应用题的策略(1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．(2)分排问题直排法处理．(3)“小集团”排列问题中先集中后局部的处理方法．9、B【解析】

根据正态分布列的对称性可得：，进而得出．【详解】1．故选：．【点睛】本题考查了正态分布列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10、A【解析】

由的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．【详解】解：∵函数的定义域是∴，∵是函数的唯一一个极值点∴是导函数的唯一根，∴在无变号零点，即在上无变号零点，令，因为，所以在上单调递减，在上单调递增所以的最小值为，所以必须，故选：A．【点睛】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．11、C【解析】

试题分析：先分组：“个男个女”或“个女个男”，第一种方法数有，第二种方法数有.然后派到西部不同的地区，方法数有种.考点：排列组合.12、D【解析】

分析：A.两个变量是线性相关的，则回归直线过样本点的中心B.两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；C.在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位D.正确.详解：A.两个变量是线性相关的，则回归直线过样本点的中心；B.两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；C.在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位D.错误，随机变量的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大故选：D.点睛：本题考查了两个变量的线性相关关系的意义，线性回归方程，相关系数，以及独立性检验等，是概念辨析问题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解析】

先化简得到数列{an}是一个等比数列和其公比，再求数列{an}的前n项和.【详解】因为，所以，因为数列各项是正项，所以，所以数列是等比数列，且其公比为3，所以数列{an}的前n项和为.故答案为：【点睛】（1）本题主要考查等比数列性质的判定，考查等比数列的前n项和，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)解答本题的关键是得到.14、【解析】分析：画出图形，将三角形的面积比转化为线段的长度比，之后转化为坐标比，设出点的坐标，写出直线的方程，联立方程组，求得交点的坐标，最后将坐标代入，求得比值,详解：画出对应的图就可以发现，设，则直线，即，与联立，可求得，从而得到面积比为，故答案是3.点睛：解决该题的关键不是求三角形的面积，而是应用面积公式将面积比转化为线段的长度比，之后将长度比转化为坐标比，从而将问题简化，求得结果.15、8【解析】

根据双曲线方程的特点,结合分类和分步计数原理直接求解即可.【详解】因为方程表示双曲线,所以.因此可以分成两类：第一类：从集合中取一个正数,从集合取一个负数,有种不同的取法；第二类：从集合中取一个负数,从集合取一个正数,有种不同的取法.所以一共有种不同的方法.故答案为：8【点睛】本题考查了双曲线方程的特点,考查了分类和分步计数原理,考查了数学运算能力.16、【解析】分析：由题得曲线与所围成的封闭图形的面积为，再计算得解.详解：因为，所以.联立所以曲线与所围成的封闭图形的面积为，所以.故答案为：点睛：（1）本题主要考查定积分求面积和微积分基本原理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)）图中阴影部分的面积S=三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)，定义域为；(2)4【解析】

（1）根据时间，写出“如意金箍棒”的底面半径和长度，由此计算出体积的解析式，并根据半径的范围求得的取值范围，也即定义域.利用导数求得的单调区间和极大值，根据此时“如意金箍棒”的底面半径列方程，解方程求得的值，进而求得解析式.（2）由（1）中求得的单调区间，求得的最小值，并求得此时“如意金箍棒”的底面半径.【详解】解：（1）“如意金箍棒”在变化到秒时，其底面半径为，长度为则有，得：时，（秒），由知，当时，取得极大值所以，解得（）所以，定义域为（2）由（1）得：所以当时，，当时，所以在区间上为增函数，在区间上为减函数则的最小值或；又所以当（秒）时，“如意金箍棒”体积最小，此时，“如意金箍棒”的底面半径为（）【点睛】本小题主要考查圆柱的体积公式，考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查中国古代文化，考查运算求解能力，考查函数应用问题，属于中档题.18、（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意求得首项和公比，据此可得数列的通项公式为；(2)错位相减可得数列的前项和.试题解析：（1）设数列的公比为，∵，，∴，∵，∴，∴，∴或，∵，∴，，∴；（2），，，，∴，∴.19、(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】

试题分析：（1）求导数得，又，所以，由此可得函数的单调性，进而可求得极值；（2）由，得．因此分和两种情况判断函数的单调性，然后根据零点存在定理判断函数零点的个数．试题解析：（1）∵，∴，因为，所以，当x变化时，的变化情况如下表：100递增极大值递减极小值递增由表可得当时，有极大值，且极大值为，当时，有极小值，且极小值为.（2）由（1）得．∵，∴.①当时，在上单调递增，在上递减又因为所以在（0,1）和（1,2）上各有一个零点，所以上有两个零点．②当，即时，在上单调递增，在上递减，在上递增，又因为所以在上有且只有一个零点，在上没有零点，所以在上有且只有只有一个零点.综上：当时，在上有两个零点；当时，在上有且只有一个零点．点睛：利用导数研究方程根（函数零点）的方法研究方程根（函数零点）的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．20、（1）；（2）见解析【解析】

(1)根据前n项和与通项间的关系得到，，，两式做差即可得到数列，数列为常数列，，即；（2）根据第一问得到，裂项求和即可.【详解】（1）当时，，即，当时，①，②，得，即，所以，且，所以数列为常数列，，即．（2）由（1）得，所以，所以，．【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．21、(1)；(2)或.【解析】

(1)令求出的展开式中各项系数和,结合二项式系数和公式,可由题意列出方程,解方程即可求出的值(2)根据数列最大项的定义,可以列出不等式组,解这个不等式组即可求出的值.【详解】(1)令,所以的展开式中各项系数和为：,二项式系数和为：,由题意可知：或(舍去),所以；(2)二项式