2021年黑龙江省哈尔滨市松江电机厂子弟一校高三数学理联考试题含解析

2021年黑龙江省哈尔滨市松江电机厂子弟一校高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数a、b满足，则使的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C由题意，可知表示半径为2的圆,周长为4π，又点(2,2)到直线的距离为，所以直线被圆所截的弧所对的圆心角为90°,由几何概型的概率公式可得使的概率为，故选C.

2.已知集合，，若，则等于（

）A．1

B．1或2

C．1或

D．2参考答案：B3.已知集合M={x|y=ln（x2﹣3x﹣4）}，N={y|y=2x﹣1}，则M∩N等于（）A．{x|x＞4} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＞4或x＜﹣1}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中x2﹣3x﹣4＞0，即M={x|x＞4或x＜﹣1}，N={y|y=2x﹣1}={y|y＞0}，则M∩N={x|x＞4}，故选：A．4.已知sin(α+)+sinα=-,则cos(α+)的值为 A.- B. C.- D.参考答案：B 本题主要考查三角恒等变换.解答本题时要注意根据两角和的三角公式以及诱导公式,结合角与角之间的关系灵活处理. 因为sin(α+)+sinα=-,所以sin(α+)+sinα=sinα+cosα=sin(α+)=-,所以sin(α+ )=-.因为(α+)-(α+)=,所以cos(α+)=cos(+α+)=-sin(α+)=.故选B. 5.在中，，，点满足，则的值为______参考答案：

法一：由知：点在线段上，且，又，所以中，，，∴.法二：由知：点在线段上，∴，而即为在方向上的投影即为，∴.6.已知，其中i为虚数单位，则a等于

（

）

A．1

B．-1

C．2

D．0参考答案：A略7.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（

）A.丙被录用了

B.乙被录用了

C.甲被录用了

D.无法确定谁被录用了参考答案：C8.若沿△ABC三条边的中位线折起能拼成一个三棱锥，则△ABCA．一定是等边三角形

B．一定是锐角三角形C．可以是直角三角形

D．可以是钝角三角形参考答案：B略9.已知函数y=f′（x），y=g′（x）的导函数的图象如右图所示，那么y=f（x），y=g（x）的图象可能是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】由图象可得f（x）与g（x）导函数值均为负数，且|f′（x）|越来越大，即表示f（x）的单调递减的程度越来越大，而|g′（x）|越来越小，即表示g（x）的单调递减的程度越来越小，从四个选项中判断，可以得知答案．【解答】解：由图象可得f（x）与g（x）导函数值均为负数，所以f（x）与g（x）均单调递减，从图象中可以看出|f′（x）|越来越大，即表示f（x）的单调递减的程度越来越大，即下凸；而|g′（x）|越来越小，即表示g（x）的单调递减的程度越来越小，即上凸．从四个选项中判断，可以得知，选择：D．故选：D．【点评】本题间接利用导数研究函数的单调性，考查导函数的图象问题，有一定的代表性．10.已知集合，集合，则A∪B=A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A码头从受到台风影响到影响结束，将持续多少小时．参考答案：2.5小时考点：解三角形的实际应用．专题：应用题．分析：将台风中心视为点B，进而可知AB的长度，过B作BC垂直正东线于点C，进而可知BC=200，AC=200，在BC线上取点D使得AD=350千米进而根据勾股定理求得DC，进而乘以2，再除以速度即是A码头从受到台风影响的时间．解答：解：在距港口的A码头南偏东60°的400千米的海面将台风中心视为点B，则AB=400过B作BC垂直正东线于点C，则BC=200，AC=200台风中心350千米的范围都会受到台风影响所以在BC线上取点D使得AD=350千米因为AC=200千米，AD=350千米∠DCA是直角根据勾股定理DC==50千米因为350千米的范围内都会受到台风影响所以影响距离是50×2=100千米T=0=2.5（小时）故答案为2.5小时．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考生运用所学知识解决实际问题的能力．12.2014年10月四川省天府新区成为国家级新区。其中包括高新区的中和、桂溪和石羊三个街道，现在三个街道共引进A、B、C、D四个项目，每个街道至少引进一个项目，共有

种不同的引进方法参考答案：36

略13.若,且,则值为

.参考答案：14.在等差数列中，，则数列的前5项和=______

.参考答案：90

略15.已知函数定义域为R，满足，当时，则______．参考答案：【分析】由题可得函数为周期函数，根据函数周期的性质以及分段函数的解析式，即可求解。【详解】函数定义域为，满足，则为周期函数，由，可得：，，故答案为。【点睛】本题主要考查周期函数以及分段函数的函数值的计算，着重考查运算与求解能力，属于基础题。16.若等差数列的前项和为，，，则数列的通项公式为

.参考答案：（）在等差数列中，设公差为，则由，得，，即，解得，所以。17.已知函数f（x）＝lnx－ax的图象在x＝1处的切线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数a的值为___________.参考答案：3试题分析：因为在处的导数值为在处切线的斜率，又因为，所以考点：利用导数求切线.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力，按视力情况分成8组，得到如图所示的频率分布直方图，但不慎将部分数据丢失，只知道前6组的频数从左到右依次是等比数列{)的前六项，后3组的频数从左到右依次是等差数列{}的前三项． (I)求数列{)和{)的通项公式； （Ⅱ）设数列，求数列{的前n项和Sn.参考答案：略19.已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值．参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【知识点】平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．G5G11（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD………………2分又ABCD为菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC………………4分从而平面PBD⊥平面PAC．

……………6分（Ⅱ）方法1．过O作OH⊥PM交PM于H，连HD因为DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD为O-PM-D的平面角………………8分又，且………………10分从而………………11分所以，即．

………12分法二：如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，则,,…………8分从而………………9分因为BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为．……10分

设平面PMD的法向量为,由得取，即……………11分设与的夹角为，则二面角大小与相等从而，得从而，即．

……………12分【思路点拨】（Ⅰ）根据线面垂直的判定，证明BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，证明平面PBD⊥平面PAC;（Ⅱ）过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，则∠OHD为A﹣PM﹣D的平面角，利用二面角O﹣PM﹣D的正切值为，即可求a：b的值．20.．（本小题满分12分）若方程（其中的两实根为α、β，数列1，，（，……的所有项的和为2－，试求θ的值。参考答案：解：、是方程的两实根

（1）

……4分由已知而

……8分

满足（2）

不满足（1）故

……12分21.(本小题满分13分)设的内角所对的边长分别为，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值．参考答案：（Ⅰ）在中，由正弦定理及可得即，则=4.

--------6分（Ⅱ）由(Ⅰ)得当且仅当时，等号成立，故当时，的最大值为.

--------13分22.(本小题满分12分)某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为，只选修甲和乙的概率是，至少选修一门的概率是，用表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．（Ⅰ）求学生小张选修甲的概率；（Ⅱ）记“