内蒙古自治区赤峰市中京学校2021年高一数学理期末试卷含解析

内蒙古自治区赤峰市中京学校2021年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，的夹角为120°，且||=2，||=3，则向量2+3在向量2+方向上的投影为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用求模运算得到|2+3|，向量|2+|进而得到向量向量2+3与向量2+的夹角余弦，根据投影定义可得答案．【解答】解：向量，的夹角为120°，且||=2，||=3，所以|2+3|2=42+12?+92=16+12||||cos120°+81=61，|2+3|=．又|2+|2=4+4+=16+4×3×2cos120°+9=13，所以|2+|=，则cos＜2+3，2+＞===，所以向量2+3在向量2+方向上的投影为|2+3|cos＜2+3，2+＞==，故选：A．【点评】本题考查平面向量数量积的含义及其物理意义，考查向量模的求解投影等概念，是中档题．2.的值为（

）

；

；

；

；参考答案：D略3.若，且为第四象限角，则的值等于（）A. B. C. D.参考答案：D∵sina=,且a为第四象限角,∴，则，故选：D.4.已知函数的最小正周期为，则该函数图象（

）

A．关于直线对称

B．关于点对称C．关于点对称

D．关于直线对称参考答案：B略5.两数与的等比中项是（

）

A.1 B.－1 C.±1 D.参考答案：C试题分析：设两数的等比中项为，等比中项为-1或1考点：等比中项6.在△ABC中，若，则△ABC的形状是（

）A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形参考答案：D【分析】，两种情况对应求解.【详解】所以或故答案选D【点睛】本题考查了诱导公式，漏解是容易发生的错误.7.函数的部分图象可能是（

）． A． B．C． D． 参考答案：B∵，∴，∴函数的定义域为，又，∴函数为偶函数，且图象关于轴对称，可排除、．又∵当时，，可排除．综上，故选．8.如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是(

)A、减函数且最小值是

B、增函数且最大值是C、减函数且最大值是

D、增函数且最小值是参考答案：D9.已知函数的图像如图所示，则函数的值域是(

)A．[－5,6]

B．[2,6]

C．[0,6]

D．[2,3]参考答案：C10.函数在上单调，则的取值范围是（

）A．

B．C．

D． 参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，在三角形ABC中，A=90°，则k＝

，若B＝90°，则k＝

；若C＝90°，则k＝

.参考答案：12.．函数的值域是

参考答案：略13.如图矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为

．参考答案：4.614.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为

．参考答案：因为函数在上单调递减，所以。15.不等式的解集为_________.参考答案：.分析：等价于，利用一元二次不等式的解法可得结果.详解：等价于，解得，故答案为.16.不等式的解集是

．参考答案：略17.如图，三角形ABC是直角三角形，ACB=，PA平面ABC，此图形中有____________个直角三角形.参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）已知、、为的三内角，且其对应边分别为、、，若．（1）求；（2）若，求的面积．参考答案：（1）

……………3分又，………6分，．

………8分

（2）………10分

．………14分19.某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？参考答案：【考点】函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）由于A产品的利润y与投资量x成正比例，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，故可设函数关系式，利用图象中的特殊点，可求函数解析式；（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元．利用（1）由此可建立函数，采用换元法，转化为二次函数．利用配方法求函数的最值．【解答】解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元．由题意设f（x）=k1x，．由图知，∴又g（4）=1.6，∴．从而，（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元．（0≤x≤10）令，则=当t=2时，，此时x=10﹣4=6答：当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为2.8万元．

20.（本小题满分12分）如图，在棱长为的正方体中，点是中点．(Ⅰ)求证:平面平面；(Ⅱ)求二面角的正切值．

参考答案：(Ⅰ)∵在正方体中,点是中点，又,,∴

-------------------2分

------------------5分∵平面,

∴平面平面．--------------6分（Ⅱ）由(Ⅰ)可知是二面角的平面角---------------9分则∴在中,故二面角的正切值为．---------------12分21.（14分）如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点；（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；（Ⅱ）求证：MN⊥CD．参考答案：考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题： 证明题；空间位置关系与距离．分析： （Ⅰ）取的PD中点为E，并连接NE，AE，根据中位线可知NE∥CD且，AM∥CD且，则AM∥NE且AM=NE，从而四边形AMNE为平行四边形，所以AE∥MN，又因AE?在平面PAD，MN?在平面PAD，根据线面平行的判定定理MN∥平面PAD．（Ⅱ）根据PA⊥矩形ABCD则PA⊥CD，又因四边形ABCD为矩形则AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，又因AE?在平面PAD，根据线面垂直的性质可知CD⊥AE，根据AE∥MN，可知MN⊥CD．解答： 证明：（Ⅰ）取的PD中点为E，并连接NE．AE，∵M、N分别为AB、PC的中点∴NE∥CD且，AM∥CD且，∴AM∥NE且AM=NE∴四边形AMNE为平行四边形，∴AE∥MN又∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，．∴MN∥平面PAD（4分）（Ⅱ）证明：∵PA⊥矩形ABCD∴PA⊥CD又∵四边形ABCD为矩形∴AD⊥CD∴CD⊥平面PAD又∵AE?在平面PAD∴CD⊥AE再∵AE∥MN∴MN⊥CD点评： 本小题主要考查直线与平面平行，以及空间两直线的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．22.定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界，已知函数为奇函数．（1）求实数a的值；（2）当x∈（﹣1，1）时，有g（1﹣m）+g（1﹣m2）＜0，求m的取值范围；（3）求函数g（x）在区间[，3]上的所有上界构成的集合．参考答案：见解析【考点】对数函数的图象与性质；函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用奇函数定义判断．（2）根据单调性转化为不等式组有，求解即可．（3）利用函数g（x）=log，在区间[，3]上是单调递增，得出g（3）=﹣1，g（）=﹣2，|g（x）|≤2，再根据上界判断即可．【解答】解：（1）∵函数g（x）=log为奇函数．∴g（﹣x）=﹣g（x），即log=﹣log∴=，1﹣x2=1﹣a2x2得出；a=±1，而a=1时不符合题意，故a=﹣1，（2）g（1﹣m）+g（1﹣m2）＜0，g（1﹣m）＜g（m2﹣1），g（x）为增函数，所以有，解