2022年北京左家庄中学高三数学文期末试卷含解析

2022年北京左家庄中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.各项互不相等的有限正项数列，集合，集合,则集合中的元素至多有（

）个.Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：A略2.已知，则=

（

）

A．2

B．

C．

D．3参考答案：C略3.为了得到函数的图像，只需将函数的图像（

）

A.向右平移个单位

B.向右平移个单位

C.向左平移个单位

D.向左平移个单位 参考答案：D4.在等比数列中，，，则=（

）A.2

B.-2

C.

D.

参考答案：D5.已知集合，，则(

)A．

B．{}

C．{}

D．{}参考答案：B略6.有两张卡片，一张的正反面分别画着老鼠和小鸡，另一张的正反面分别画着老鹰和蛇，现在有两个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上，不考虑顺序，则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】求出基本事件的所有可能性，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：将两张卡片排在一起组成两位数，则共有4个，分别为：老鼠老鹰；老鼠蛇；小鸡老鹰；小鸡蛇，所组成的图案是老鹰和小鸡的概率p=，故选：C．7.（）·（4）=（A）

（B）

（C）2

（D）4参考答案：D。8.已知集合和,则=A．

B.

C.

D.参考答案：A9.已知a是实数，则函数的图象可能是参考答案：C略10.已知表示大于的最小整数，例如．下列命题:①函数的值域是；②若是等差数列，则也是等差数列；③若是等比数列，则也是等比数列；④若，则方程有个根.

其中正确的是

A.②④

B.③④

C.①③

D.①④参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若变量x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为．参考答案：﹣3【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（0，3），化目标函数z=3x﹣y为y=3x﹣z，由图可知，当直线y=3x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣3．故答案为：﹣3．12.设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则

参考答案：013.函数（a>0，且a≠1）的图像过一个定点，则这个定点坐标是_________．参考答案：略14.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差，则=____________。参考答案：略15.已知点G是的重心，若的最小值是

。参考答案：16.正切曲线在点处的切线方程是

.参考答案：17.已知向量夹角为

，且

；则___

___.参考答案：因为向量的夹角为，所以，所以，即，所以，解得。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，设抛物线的准线与轴交于，焦点为；以、为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的交点为.(I)当时，求椭圆的方程；(II)延长交抛物线于点，是抛物线上一动点，且在与之间运动,当的边长恰好是三个连续的自然数时，求面积的最大值．参考答案：解：(I)当时，，则，.设椭圆方程为，则，又，所以.所以方程为.

(II)因为，，则，，设椭圆方程为.由得,即，得代入抛物线方程得，即.，，因为的边长恰好是三个连续的自然数，所以.此时抛物线方程为，，直线方程为.联立得，即.所以，代入抛物线方程得，即∴.设到直线的距离为则.当时，，∴面积的最大值为.略19.（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）若为函数的极值点，求的值；（Ⅱ）讨论在定义域上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意正整数，．参考答案：（１）因为，令，即，解得，经检验：此时，，，，递增；，，，递减，在处取极大值．满足题意．..….4分（２），令，得，或，又的定义域为，1

当，即时，若，，则，递增；若，，则，递减；2

当，即时，若，，则，递减；若，，则，递增；若，，则，递减；③当，即时，，在，内递减，④当，即时，若，，则，递减；若，，则，递增；若，，则，递减；

..….9分（３）由（２）知当时，在，上递减，∴，即，

∵，∴，，，，，，

∴，

∴

..….14分20.（05年全国卷Ⅰ理）（12分）设等比数列的公比为，前n项和．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）设，记的前n项和为，试比较与的大小．

参考答案：解析：（Ⅰ）因为是等比数列，当上式等价于不等式组：

①或

②解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1<q<1.综上，q的取值范围是（Ⅱ）由于是21.（13分）（2016?湖北校级模拟）已知单调递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=an?log2an，其前n项和为Sn，若（n﹣1）2≤m（Sn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】数列的求和；对数的运算性质；数列递推式．【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设出等比数列{an}的首项和公比，由已知列式求得首项和公比，则数列{an}的通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通项公式代入bn=an?log2an，利用错位相减法求得Sn，代入（n﹣1）2≤m（Sn﹣n﹣1），分离变量m，由单调性求得最值得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的{an}首项为a1，公比为q．由题意可知：，解得：或，∵数列为单调递增的等比数列，∴an=2n；（Ⅱ）bn=an?log2an=n?2n，∴Sn=b1+b2+…+bn=1?21+2?22+…+n?2n，①2Sn=1?22+2?23+3?24+…+n?2n+1，②①﹣②，得：﹣Sn=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1=﹣n?2n+1=2n+1﹣2﹣n?2n+1，∴Sn=（n﹣1）?2n+1+2，若（n﹣1）2≤m（Sn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，则（n﹣1）2≤m[（n﹣1）?2n+1+2﹣n﹣1]=m[（n﹣1）?2n+1+1﹣n]对于n≥2恒成立，即=对于n≥2恒成立，∵=，∴数列{}为递减数列，则当n=2时，的最大值为．∴m≥．则实数m得取值范围为[，+∞）．【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，训练了利用数列的单调性求最值，是中档题．22.调查表明：甲种农作物的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x+y+z的值评定这种农作物的长势等级，若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级，为了了解目前这种农作物长势情况，研究人员随机抽取10块种植地，得到如表中结果：种植地编号A1A2A3A4A5（x，y，z）（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（0，0，1）（1，2，1）种植地编号A6A7A8A9A10（x，y，z）（1，1，2）（1，1，1）（1，2，2）（1，2，1）（1，1，1）（Ⅰ）在这10块该农作物的种植地中任取两块地，求这两块地的空气湿度的指标z相同的概率；（Ⅱ）从长势等级是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为A，从长势等级不是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为B，记随机变量X=A﹣B，求X的分布列及其数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由表可知：空气湿度指标为1的有A2，A4，A5，A7，A9，A10，空气湿度指标为2的有A1，A3，A6，A8，求出这10块种植地中任取两块地，基本事件总数n，这两块地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数，然后求解概率．（Ⅱ）随机变量X=A﹣B的所有可能取值为1，2，3，4，5，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由表可知：空气湿度指标为1的有A2，A4，A5，A7，A9，A10…（1分）空气湿度指标为2的有A1，A3，A6，A8，…（2分）在这10块种植地中任取两块地，基本事件总数n=…（3分）这两块地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数…∴这两地的空气温度的指标z相同的概率…（6分）（Ⅱ）由题意得10块种植地的综合指标如下表：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10综合指标4461443543其中长势等级是一级（ω≥4）有A1，A2，A3，A5，A6，A8，A