上海市求真中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析

上海市求真中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若为等差数列,是其前项和,且S15=,则tan的值为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.（多选题）下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递增的是（

）A. B.C. D.参考答案：BC【分析】易知A,B,C,D四个选项中的函数的定义域均为,先利用与的关系判断奇偶性,再判断单调性,即可得到结果.【详解】由题,易知A,B,C,D四个选项中的函数的定义域均为,对于选项A,,则为奇函数,故A不符合题意；对于选项B,,即为偶函数,当时,设,则,由对勾函数性质可得,当时是增函数,又单调递增,所以在上单调递增,故B符合题意；对于选项C,,即为偶函数,由二次函数性质可知对称轴为,则在上单调递增,故C符合题意；对于选项D,由余弦函数的性质可知是偶函数,但在不恒增,故D不符合题意；故选:BC【点睛】本题考查由解析式判断函数的奇偶性和单调性,熟练掌握各函数的基本性质是解题关键.3.已知t∈R，i为虚数单位，复数z1=3+4i，z2=t+i，且z1?z2是实数，则t等于(

)A． B． C．﹣ D．﹣参考答案：D【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的乘法运算法则，复数是实数，虚部为0求解即可．【解答】解：t∈R，i为虚数单位，复数z1=3+4i，z2=t+i，且z1?z2是实数，可得（3+4i）（t+i）=3t﹣4+（4t+3）i，4t+3=0则t=．故选：D．【点评】本题考查复数的基本知识，复数的概念的应用，考查计算能力．4.若关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x+1）2+（y﹣）2=1相切，则此双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．参考答案：A【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】求出圆的圆心与半径，双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆（x+1）2+（y﹣）2=1相切，列出方程求解即可．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线bx+ay=0，圆（x+1）2+（y﹣）2=1的圆心（﹣1，）在的二象限，因为双曲线的渐近线与圆相切，可得：，可得a=，即a2=3b2=3c2﹣3a2可得，=．故选：A．6.命题：若，则是的充分不必要条件；命题：函数的定义域是，则

(

)A．“或”为真B．“且”为真C．真假

D．假假参考答案：A7.已知等差数列的前项和为，且，，则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略8.己知函数，则下列结论中正确的是

(A)若是的极值点，则在区间内是增函数

(B)若是的极值点，则在区间内是减函数

(C)，且

(D)，在上是增函数参考答案：D略9.设f（x）﹣x2=g（x），x∈R，若函数f（x）为偶函数，则g（x）的解析式可以为（）A．x3 B．cosx C．1+x D．xex参考答案：B【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．【分析】根据偶函数与偶函数的和为偶函数，只要g（x）为偶函数即可．【解答】解：由题意，只要g（x）为偶函数即可，由选项可知，只有选项B的函数为偶函数；故选：B．10.若实数x，y满足，则z=|x－y|的最大值是（

）A．0

B．1

C.

D．参考答案：B作可行域如图，则,所以直线过点A(0,1)时取最大值1，选B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.方程的解为_____________.参考答案：12.若函数在［－2，1］上的最大值为4，最小值为m，则m的值是______.参考答案：略13.在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_________.参考答案：（-1，）14.若向量，，，则

．参考答案：试题分析：由向量，，，则，根据几何意义得，故填.考点：1、平面向量的模；2、平面向量数量积；3、平面向量的几何意义.【方法点睛】本题主要考查平面向量的模、平面向量数量积、平面向量的几何意义，属于中档题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答．15.在等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，d为数列{an}的公差，若对任意n∈N*，都有Sn＞0，且a2a4=9，则d的取值范围为．参考答案：【考点】等差数列的通项公式．【分析】对任意n∈N*，都有Sn＞0，可得：a1＞0，d≥0．由于a2a4=9，化为3d2+4a1d+﹣9=0，△＞0，而且两根之和=﹣4d＜0，而必须至少有一个正实数根．可得3d2﹣9≤0，d≥0，解出即可得出．【解答】解：对任意n∈N*，都有Sn＞0，∴a1＞0，d≥0．∵a2a4=9，∴（a1+d）（a1+3d）=9，化为+4a1d+3d2﹣9=0，△=16d2﹣4（3d2﹣9）=4d2+36＞0，∴方程有两个不相等的实数根，并且两根之和为﹣4d＜0，而必须至少有一个正实数根．d=时，a1=0，舍去．则d的取值范围为．故答案为：．16.若集合，则．参考答案：试题分析：根据题的条件可知，，根据集合的交集的定义可知，.考点：集合的运算.17.已知数列{an}的前n项和为，且，则数列{an}的通项公式__________.参考答案： 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求的最大值与最小值．参考答案：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，解得，，所以，．（2）由（1）得，故，当为奇数时，，随的增大而减小，所以；当为偶数时，，随的增大而增大，所以，令，，则，故在时是增函数．故当为奇数时，；当为偶数时，，综上所述，的最大值是，最小值是．19.一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表（单位：辆）：

轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分x的值如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数xi（1≤i≤8，i∈N），设样本平均数为，求|xi﹣|≤0.5的概率．参考答案：【考点】B3：分层抽样方法；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）利用分层抽样满足每个个体被抽到的概率相等，列出方程求出n，再利用频数等于频率乘以样本容量求出n的值，据总的轿车数量求出z的值．（Ⅱ）先利用分层抽样满足每个个体被抽到的概率相等，求出抽取一个容量为5的样本舒适型轿车的辆数，利用列举的方法求出至少有1辆舒适型轿车的基本事件，利用古典概型的概率公式求出概率．（Ⅲ）利用平均数公式求出数据的平均数，通过列举得到该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数据，利用古典概型的概率公式求出概率．【解答】解：（Ⅰ）设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得=，所以n=2000．则z=2000﹣﹣﹣600=400．）（Ⅱ）设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意=，得a=2．因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共10个．事件E包含的基本事件有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），共7个．故P（E）=，即所求概率为．（Ⅲ）样本平均数=×（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0共6个，所以P（D）==，即所求概率为．20.经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；(2)求日销售额S的最大值．参考答案：略21.已知椭圆：的左右焦点分别为，离心率为，两焦点与上下顶点形成的菱形面积为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于A，B两点，四边形为平行四边形，为坐标原点，且，求直线的方程．参考答案：（Ⅰ）椭圆的方程：

………………4分（Ⅱ）首先，直线的斜率不存在时，，，舍去；

设直线的方程为：，代入椭圆方程：所以，设，则又

及得：，结合韦达定理可求出，

，所以所求直线的方程为：略22.已知，B是曲线上任意一点，动点P满足.（1）求点P的轨迹E的方程；（2）过点的直线交E于M，N两点，过原点O与点M的直线交直线于点H，求证：.参考答案：（1）；（2）详见解析.【分析】（1）设，，由推出代入方程即可求解点的轨迹的方程；（2）直线的斜率存在，其方程可设为，设，，联立，利用韦达定理，转化求解斜率，推出结果即可．【详解】解：（1）设，，由得：，则，即，因为点B为曲线上任意一点，故，代入得.所以点的轨迹的方程是．（2）