2021年广东省阳江市英才中学高三数学文模拟试卷含解析

2021年广东省阳江市英才中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设向量，，则与垂直的向量的坐标可以是（

）A．(3,2) B．(3,－2) C．(4,6) D．(4,－6)参考答案：C；可看出；∴．故选C．2.若集合M={1，3}，N={1，3，5}，则满足M∪X=N的集合X的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】并集及其运算．【分析】根据题意求出满足条件的X的个数即可．【解答】解：若M∪X=N，则X?N，且5∈X，则X可以是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}共4个，故选：D．3.已知，，且，则

A．

B．

C．

D．参考答案：C4.在△ABC中，，E为AD的中点，则（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则求解.【详解】，故选:D【点睛】本题主要考查向量的三角形法则和平行四边形法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.若函数f(x)＝mlnx+x2-mx在区间(0，+∞)上单调递增，则实数m的取值范围为

A．[0，8]

B．(0，8]

C．(-∞，0]∪[8，+∞)

D．(-∞，0)∪(8，+∞)参考答案：A6.函数的最小值和最大值分别为（

）A

B

C

D参考答案：C略7.若函数满足,且当时,,则函数

与函数的图像的交点个数为A．个

B.个

C.个

D.个参考答案：C8.已知点A为半径为3的球O1上任意一点，BC为半径为2的球O2的任意一条直径，若两球的球心重合，则=（

）A．4 B．5 C．6 D．13参考答案：B略9.设函数为定义在R上的奇函数，当时，（为常数），则（

）A．3

B．1

C．

D．参考答案：A略10.已知非零向量、满足|+|=|﹣|=||，则+与﹣的夹角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°参考答案：B【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】欲求（+）与（﹣）的夹角，根据公式cos＜，＞=，需表示（+）（﹣）及|+|?|﹣|；由于|+|?|﹣|易于用||表示，所以考虑把（+）（﹣）也用||表示，这需要把已知等式都平方整理即可．【解答】解：∵|+|=|﹣|=||∴（+）2=（﹣）2=2整理得?=0，2=2．设（+）与（﹣）的夹角为α，则（+）（﹣）=|+|?|﹣|cosα=2cosα，且（+）（﹣）=2﹣2=2．∴cosα=，解得α=60°．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若圆C：的圆心为椭圆M：的一个焦点，且圆C经过M的另一个焦点，且

．参考答案：812.已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为．参考答案：21【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论．【解答】解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：2113.已知定义在上的函数，给出下列结论：①函数的值域为；②关于的方程有个不相等的实根；③当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为,则；④存在，使得不等式成立。其中你认为正确的所有结论的序号为____.参考答案：①③14.C（选修4—4坐标系与参数方程）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为．点P在曲线C上，则点P到直线的距离的最小值为

．参考答案：15.若数列的通项公式是，则=_______.参考答案：因为，所以。16.小明和爸爸妈妈一家三口在春节期间玩抢红包游戏，爸爸发了12个红包，红包金额依次为1元、2元、3元、…、12元，每次发一个，三人同时抢，最后每人抢到了4个红包，爸爸说：我抢到了1元和3元；妈妈说：我抢到了8元和9元；小明说：我们三人各抢到的金额之和相等，据此可判断小明必定抢到的两个红包金额分别是．参考答案：6元和11元【考点】进行简单的合情推理．【分析】确定三人各抢到的金额之和为26，根据爸爸说：我抢到了1元和3元；妈妈说：我抢到了8元和9元；可得爸爸抢到1、3、10、12元，妈妈抢到8、9、2、7元或8、9、4、5元，据此可判断小明必定抢到的金额．【解答】解：由题意，1至12的和为78，因为三人各抢到的金额之和相等，所以三人各抢到的金额之和为26，根据爸爸说：我抢到了1元和3元；妈妈说：我抢到了8元和9元；可得爸爸抢到1、3、10、12元，妈妈抢到8、9、2、7元或8、9、4、5元，据此可判断小明必定抢到的金额为6元和11元．故答案为6元和11元．【点评】本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置）,俯视图分别为图1、图2、图3,则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是______________.

参考答案：①、②三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知向量，设函数（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，，求的值．参考答案：（1）

4分令

6分

所以所求增区间为

7分（2）由，，

8分

，即

10分

又∵，

11分

12分19.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）设=λ（0≤λ≤1），且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．参考答案：考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出AB⊥BC1，BC⊥BC1，由此能证明C1B⊥平面ABC．（Ⅱ）以B为原点，BC、BA、BC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出λ的值．解答： （Ⅰ）证明：∵AB⊥侧面BB1C1C，BC1?侧面BB1C1C，∴AB⊥BC1，在△BCC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=，由余弦定理得：BC12=BC2+CC12﹣2BC?CC1?cos∠BCC1=12+22﹣2×1×2×cos=3，∴BC1=，∴BC2+=C，∴BC⊥BC1，∵BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC，BA，BC1两两垂直，以B为原点，BC、BA、BC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图．则B（0，0，0），A（0，1，0），B1（﹣1，0，），C1（0，0，），C（1，0，0），∴=（﹣1，0，），∵=λ（0≤λ≤1），∴=（﹣λ，0，λ），∴E=（1﹣λ，0，λ），则=（1﹣λ，﹣1，λ），=（﹣1，﹣1，），设平面AB1E的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=，则x=，y=，∴=（，，），∵AB⊥侧面BB1C1C，∴=（0，1，0）是平面BEB1的一个法向量，∴|cos＜，＞|=||=，两边平方并化简得：2λ2﹣5λ+3=0，解得：λ=1或λ=（舍去），∴λ的值是1．点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，注意解题方法的积累，属于中档题．20.如图,四棱柱的底面是平行四边形,且,,,为的中点,平面.(Ⅰ)证明:平面平面;(Ⅱ)若,试求异面直线与所成角的余弦值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角的余弦值.

参考答案：(Ⅰ)略(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅰ)依题意,所以是正三角形,[]又所以,因为平面,平面,所以因为,又在平面内所以平面因为平面,所以平面平面(Ⅱ)取的中点,连接、

,连接,则所以是异面直线与所成的角因为,,所以,,所以(Ⅱ)解法2:以为原点,过且垂直于的直线为轴,所在直线为轴、所在直线为建立右手系空间直角坐标系

设(),则(Ⅰ)设平面的一个法向量为,则

,取,则,从而,同理可得平面的一个法向量为,直接计算知,所以平面平面(Ⅱ)由即

解得

,所以异面直线与所成角的余弦值(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,平面的一个法向量为又,设平面的法向量[]则得，令,则所以设二面角的平面角为,且为锐角则所以二面角的余弦值为略21.已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2，利用点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，可得b=|OM|=1，从而可得椭圆的方程；（II）①当直线l的斜率不存在时，求出A，B的坐标，进而可得直线AN，BN的斜率，即可求得结论；②当直线l的斜率存在时，直线l的方程为：y=k（x﹣1），代入，利用韦达定理及斜率公式可得结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2，∵点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，∴b=|OM|=1，∴．…∴椭圆的方程为．…（II）①当直线l的斜率不存在时，由解得．设，，则为定值．…②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1）．将y=k（x﹣1）代入整理化简，得（3k2+1）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0．…依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），所以=====．．…．…综上得k1+k2为常数