山东省淄博市张庄中学2021年高三数学理月考试卷含解析

山东省淄博市张庄中学2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知圆截直线所得弦长为6，则实数的值为（

）A．8

B．11

C．14

D．17参考答案：B圆，圆心，半径．故弦心距．再由弦长公式可得；故选B．考点：直线与圆的位置关系．2.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A.5 B.6 C.7 D.8参考答案：B【分析】将原问题转化为Venn的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可.【详解】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，则有：，即，即，当b=c=e＝0时，x的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6.【点睛】本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知样本：12，7，11，12，11，12，10，10，9，8，13，12，10，9，6，11，8，9，8，10，那么频率为0.25的样本的范围是（

）A．［5.5，7.5）

B．［7.5，9.5）

C．［9.5，11.5）

D．［11.5，13.5）参考答案：D4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是(

) A． B． C． D．3参考答案：C考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：将“c2=（a﹣b）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积．解答： 解：由题意得，c2=a2+b2﹣2ab+6，又由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6．∴S△ABC==．故选：C．点评：本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，2015届高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．5.定义函数（定义域），若存在常数C，对于任意,存在唯一的，使得,则称函数在D上的“均值”为C．已知函数，则函数在上的均值为

（

）(A)

(B)

(C)10

(D)参考答案：D略6.已知，且则的值为

A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△ABC是边长为2的正三角形，若，三棱锥的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为（

）A. B.3π C.4π D.参考答案：D【分析】先记外接圆圆心为，△ABC外接圆圆心为，连结，，取中点，连结，根据题意证明且，再设三棱锥外接球半径为，根据求出外接球半径，进而可求出外接球表面积.【详解】记外接圆圆心为，△ABC外接圆圆心为，连结，，则平面，平面；取中点，连结，因为△ABC是边长为2的正三角形，所以过点，且；在中，，，设外接圆为，则，所以，故，所以有，因为为中点，所以，且；又平面平面，所以平面，平面；因此且.设三棱锥外接球半径为，则，因此，球的表面积为.故选D【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记球的特征，以及球的表面积公式即可，属于常考题型.8.将函数的图象向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D9.若集合A={x|x2﹣7x＜0，x∈N*}，则B={y|∈N*，y∈A}中元素的个数为（）A．3个 B．4个 C．1个 D．2个参考答案：B【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】此题实际上是求A∩B中元素的个数．解一元二次不等式，求出集合A，用列举法表示B，利用两个集合的交集的定义求出这两个集合的交集，结论可得．【解答】解：A={x|0＜x＜7，x∈N*}={1，2，3，4，5，6}，B={1，2，3，6}，∵A∩B=B，∴集合A={x|x2﹣7x＜0，x∈N*}，则B={y|∈N*，y∈A}中元素的个数为4个．故选：B．10.函数f(x)=(sinx+cosx)2的一条对称轴的方程是(

)参考答案：化简，∴将选项代入验证，当时，取得最值，故选.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.二进制数101011（2）化为十进制数是．参考答案：53考点：排序问题与算法的多样性．专题：计算题．分析：由题意知101011（2）=1×20+0×21+1×22+0×23+1×24+1×25计算出结果即可选出正确选项．解答：解：101011（2）=1×20+0×21+1×22+0×23+1×24+1×25=1+4+16+32=53．故答案为：53．点评：本题以进位制的转换为背景考查算法的多样性，解题的关键是熟练掌握进位制的转化规则，属于基础题．12.对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量、满足,与

的夹角,且和都在集合中.给出下列命题：

①若时，则.

②若时，则.

③若时，则的取值个数最多为7.

④若时，则的取值个数最多为.

其中正确的命题序号是

（把所有正确命题的序号都填上）参考答案：①

③

略13.若x,y满足则为

.参考答案：略14.定义行列式

运算，若函数

在区间上有最小值，则实数的取值范围是

．参考答案：答案：15.已知,则=

.参考答案：16.将函数y=sin2x﹣cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到的图象与y=ksinxcosx（k＞0）的图象关于对称，则k+m的最小正值是．参考答案：2+【考点】H2：正弦函数的图象；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】由题意可得y=﹣cos（2x﹣2m）的图象和y=sin2x（k＞0）的图象关于点对称，设点P（x0，y0）为y=﹣cos（2x﹣2m）上任意一点，则该点关于对称点为在y=sin2x（k＞0）的图象上，故有，求得k=2，且cos（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），由此求得k+m的最小正值．【解答】解：将函数y=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到y=﹣cos2（x﹣m）=﹣cos（2x﹣2m）的图象，根据所得图象与y=ksinxcosx=sin2x（k＞0）的图象关于对称，设点P（x0，y0）为y=﹣cos（2x﹣2m）上任意一点，则该点关于对称点为在y=sin2x（k＞0）的图象上，故有，求得k=2，sin（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），即cos（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），∴﹣2m=﹣+2kπ，k∈Z，即2m=﹣2kπ，k∈Z，故m的最小正值为，则k+m的最小正值为2+．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象，两个函数的图象关于某个点对称的性质，属于中档题．17.已知，，，则a，b，c的大小关系为

▲

．（用“<”连接）

参考答案：

c＜b＜a∵a=21.2＞20=1，=20.8，由指数函数y=2x是增函数，∴21.2＞20.8＞20=1，∴a＞b＞1．又＜=1，∴c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△ABO面积的最大值．参考答案：（1）；（2）试题分析：（1）设出P极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知|OP|=，=.由|OP|=16得的极坐标方程因此的直角坐标方程为.（2）设点B的极坐标为（）.由题设知|OA|=2，，于是△OAB面积当时，学|科网S取得最大值.所以△OAB面积的最大值为.点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.19.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（为参数，且），曲线C2为：，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线C1的极坐标方程;（2）若直线1与曲线C1相切于点P，射线OP与曲线C2交于点Q，点，求的面积参考答案：(1)，，(2)【分析】（1）将的参数方程化为直角坐标方程，其中，再利用极坐标与直角坐标关系式代入可得.（2）在直角三角形中，得P点坐标，OP:代入椭圆方程得Q点的坐标，计算PQ及M到PQ的距离可得三角形MPQ的面积.【详解】解：（1）曲线的极坐标方程为，，（2）由已知得，所以，由得，所以点的极坐标为；由已知得曲线得极坐标方程为,所以点的极坐标为，所以,点到直线的距离，所以△的面积为.【点睛】本题考查曲线的参数方程、直角坐标方程及极坐标方程的互化，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查计算能力，属于基本题.20.（本小题满分13分）

如图，在三棱锥A-BCD中，BA=BD,ADCDE、F分别为AC、AD的中点，.(I)求证：EF//平面BCD；（II）求证：平面EFB平面ABD；

(Ⅲ)若BC=BD=CD=AD=2，AC=，求二面角B-AD-C的余弦值。

参考答案：(I)见解析;(II)见解析;(Ⅲ)

21.(本题满分l3分)已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)己知点P(2，3)，Q(2，-3)在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足APQ=BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．参考答案：(1)设椭圆的方程为则.由,得，∴椭圆C的方程为.

…………………5分(2)当时，、的斜率之和为0,设直线的斜率为,则的斜