机械振动电子课件清华第三章3 9 10 11节

◆时域分析方法:应用卷积积分计算任意非周期激励的响应随时间的变化规律。◆频域分析方法:借助傅里叶变换给出频率域响应的表达式，在频率域中讨论激励与响应的关系。◆脉冲响应与复频率响应的傅里叶变换关系。3.9

系统对任意激励的响应·

傅里叶积分单自由度线性系统受非周期激励的振动微分方程为mx

+

cx

+

kx

=

F

(t)(3.9-1)令作用在系统上的激励具有如下的形式，即F

(t)

=

kf

(t)(3.9-2)周期激励函数可以利用傅里叶级数来表示，亦即表达成为无穷个简谐分量的叠加。对于任意非周期激励函数F(t)=kf(t)，可视为周期T趋于无穷大的周期函数。因而第一时间间隔无界限地拉长，使周期函数变成非周期函数。非周期函数可视为周期为无穷大的周期函数，使离散频率愈来愈接近，直到成为连续为止。这

时傅里叶级数就成为傅里叶积分。考虑傅里叶级数的复数形式，即Tpw

=

2p¥f

(t)

=

C

eipwt

dt,p=-¥(3.9-3)系数Cp为=

1T

2-T

2pTCf

(t)e-ipwt

dt(

p

=

0,

–1,

–

2,

)

(3.9-4)式中T=2p/w为激励函数的周期。傅里叶级数式(3.9-3)和式(3.9-4)提供了有关周期性函数f(t)的频率组成依据。令pw=wp，因此有Dw

p=(p+1)w-pw=w=2p/T，将傅里叶展开式(3.9-3)和式(3.9-4)中的pw以wp和T以2p/Dwp代替，写成pppppDw=¥p=-¥iw

tiw

t(TC

)e

1

2p(TC

)e1T¥f

(t)

=

p=-¥T

2-T

2pTC

=f

(t)e-iw

pt

dt(3.9-5)(3.9-6)当Tfi

¥，Dwpfi

0时，离散频率wp就成为连续频率w

，将TCp记作w

的函数F(w)，称作激励的频谱函数。前面两式转化为傅里叶变换公式¥-¥

1

2pF

(w

)eiwt

dwf

(t)

=(3.9-7)¥-¥f

(t)e-iwt

dtF

(w

)

=(3.9-8)▲积分式(3.9-8)称为关于函数f(t)的傅里叶变换，它给出了f(t)的连续频谱函数。▲积分式(3.9-7)称为关于函数F(w)的傅里叶逆变换，它将非周期函数f(t)表示为频率为w

、幅值为F(w)dw的简谐分量的无穷叠加。▲f(t)和F(w)共称为傅里叶变换对。在非周期激励作用下，系统的响应又可由傅里叶积分表示为¥-¥12pH

(w

)F

(w

)eiwt

dwx(t)

=(3.9-9)¥-¥12pX

(w

)eiwt

dwx(t)

=(3.9-10)式中¥-¥x(t)e-iwt

dtX

(w

)

=(3.9-11)利用复频率响应函数H(w)，将f(t)以傅里叶变换式(3.9-7)代入x(t)=H(w)f(t)，可得系统的稳态响应为因此x(t)与X(w)组成了傅里叶变换对。比较式(3.9-9)和式(3.9-10)得X

(w

)

=

H

(w

)F

(w

)(3.9-12)式(3.9-12)为系统响应的频率域表达式，系统在频率域的响应X(w)等于复频率响应H(w)与激励的傅里叶变换F(w)的乘积。例3.9-1试用傅里叶变换法计算单自由度无阻尼系统对图3.8-7所示的矩形脉冲激励F(t)的响应

x(t)，并画出频谱图。图3.9-1解：因为f(t)=F(t)/k，函数f(t)可以定义为f

(t

)=

k-

T

<

t

<

Tt

<

-T

,

t

>

T0

F0(a)利用式(3.9-8)，可以对f(t)进行傅里叶变换，积分得TkF0k

iw-Te-iwt

dt¥-¥-iwt1

(eiw

T

-

e-iwT

)=

F0f

(t)e

dt

=F

(w

)

=(b)当ζ=0，复频率响应为21n1

-

(w

w

)H

(w

)=(c)将方程(b)和(c)代入方程(3.9-12)，得到2

n

kF

iw[1

-

(w

w

)]X

(w

)=

H

(w

)F

(w

)=

0

eiwT

-

e-iwT(d)于是，响应x(t)可以表示成傅里叶逆变换形式，即¥-¥¥-¥e

w

dww[1-

(w

w

)]

1

2p2=

0

i

tneiw

T

-

e-iw

Tk

i2pF

1X

(w

)eiwt

dwx(t

)=(e)

kF-T

<

t

<

T

k

Ft

<

-Tx(t

)=n

nn为了计算此积分，需要作复平面内的围道积分

(这已经超出了本书的范围)，这里只给出积分的结果，有00

0

-

cosw

(t

+T

)

t

>

T[cos

w

(t

-T

)

][1

-

cosw

(t

+T

)](f)注意到本例题的响应x(t)的结果与例题3.8-4的结果相同。与f(t)有关的频谱由方程(b)给出，因为eiw

T

-e-iwT

)i2

=sin

wT，方程(b)简化为k

wF

(w

)

=

2F0

sin

w

T(g)，图3.9-1(a)表示F(w)对w

的频谱图。此外，与x(t)有关的频谱由方程(d)给出同理，方程(d)简化为图3.9-1(b)表示X(w)对w的频谱图。将此例题与例题3.8-4相比较，可以看出，对于求响应x(t)的问题，用卷积积分要比用傅里叶变换法简单，因为卷积积分能够避免本例题中涉及到的复平面内围道积分的计算。]2nk(w

w

)w

[1

-X

(w

)=

2F0

sin

w

T

(h)图3.9-1拉普拉斯变换作为一种工具已经广泛地应用于线性系统的研究中。即提供求解线性微分方程的有效方法；用来表示联系激励和响应的简单代数式。拉普拉斯变换既适合于瞬态振动，又适合于强迫振动。主要优点在于拉普拉斯变换可以不很困难地来处理不连续函数，并且可以自动地考虑初始条件。3.10

用拉普拉斯(Laplace)变换法求系统响应·传递函数用符号x(s)=Lx(t

)来表示x(t)的拉普拉斯变换，则x(t)的拉普拉斯变换定义为¥0e

x(t

)dts

=

Lx

t

=x(

)

()-st(3.10-1)需要计算导数得出和x的变x换。应用分部积分，可以式中x(0)为m的初始位移。+

sLx(t

)=¥-st¥-st¥-ste

x

t

dtdt

=

ee

x(t

)

x(t

)000()

=

-x(0)+

sx(s)

(3.10-2)式中s一般为一复量，函数e-st

称为变换的核。因为式(3.10-1)是一个以t为积分变量的定积分，所以将得出一个以s为变量的函数。为了用拉普拉斯变换法求解系统(3.9-1)的响应，同理，二阶导数的拉普拉斯变换可以表示为20e

x(t

)dt

=

-x(0)-

sx(0)+

s

x(s)Lx(t

)=¥-st(3.10-3)对方程(3.9-1)两边进行变换，整理后得ms2

+

cs

+

k

)x(s)=

F

(s)

+

mx(0)+

(ms

+

c)x(0)(3.10-5)或改写为

ms2

+

cs

+

k

ms2

+

cs

+

k上式称为微分方程的辅助方程。第一项表示强迫振动响应，第二项表示由初始条件引起的响应。x(s)=

F

(s)

+

mx(0)+

(ms

+

c)x(0)

(3.10-6)式中x(0)为m的初始速度。激励函数的拉普拉斯变换简单地表示为¥0e

F

(t

)dtF

(s)=

LF

(t

)=-st(3.10-4)x(s)Z

(s)=

F

(s)

=

ms2

+

cs

+

k(3.10-7)1Z

(s)Y

(s)=(3.10-8)Y

(s)称为系统的导纳。如果不考虑方程(3.10-5)的齐次解，即令x(0)=

x

0)=0

，就可以将变换激励和变换响应之比写成如下的形式，即函数Z

(s)称为系统的广义阻抗，包含反映系统特性的所有参数，是以s为变量的复数域内的代数表达式。该域表示一复平面，称为拉普拉斯平面。令Z

s的)倒数以表示，即传递函数可以视为是一个代数算子，它对变换激励进行运算就得出变换响应。对于方程(3.10-5)所描述的二阶系统的这一特殊情形，传递函数具有下面的形式，即(

)22n

nF

(s)m

sG

(s

)=

x

(s=

1

ms2

+

cs

+

k1=+

2zw

s

+w(3.10-9)式中ζ和wn分别为相对阻尼系数和无阻尼系统的固有频率。方程(3.10-9)可以改写为x(s)=

G

(s)F

(s)(3.10-10)方程(3.10-10)可以用图3.10-1表示，以代数算子表示在拉普拉斯平面内的关系图。x(t

)=

L-1x(s)=

L-1G

(s)F

(s(3.10-11)一般来讲，L-1

的运算将涉及在复数域内的线积分，在很多情况下，这个积分可以用围道积分来代替，从此还可以转变为用复数代数中的剩余定理来计算。变换激励F

(s)传递函数G

(s)变换响应x(s)图3.10-1响应x(t)由拉普拉斯逆变换求得。既从变换响应回到x(t)，需要计算x的s

拉普拉斯逆变换，它可以表示成为例3.10-1脉冲响应。设在t=a处作用一单位脉冲激励。可以得出其拉普拉斯变换为先对方程(a)作一些说明：对于任何不等于a的值，d函数为零，以d(t-a)乘任一函数f(t)，使f(t)在t„a时的值都等于零；当t=a时，f(t)=f(a)，于是有f(t)d(t-a)=f(a)d(t-a)。由于d(t-a)的持续时间为无穷小，所以式中的f(a)为常数。又因为方程(a)中的e-st

起f(t)的作用，所以得到e-st

d(t-a)=e-asd(t-a)，这里e-as

为一常数。-as-as¥

¥-stδ(t

-

a)F

(s)=dt

=

edt

=

ee

δ(t

-

a)00(a)对于脉冲响应来说，激励具有F(t)=d(t)的形式，从此可以得出a=0和F

(s)=1

。根据方程(3.10-10)，立即得到即脉冲响应简单地为传递函数的拉普拉斯逆变换。h

(s)=

G

(s)(b)因而，脉冲响应的拉普拉斯变换

h

(s)(h

(s)

=

Lh(t))等于传递函数

G

(。s)

由此，脉冲响应为h(t

)=

L-1h

(s)=

L-1G

(s)(c)考虑单自由度有阻尼系统，从方程(3.10-9)可以用部分分式的形式写出其传递函数，即因为1=

eats

-

aL-1-h

(s)=

G

(s)=s

+zw

n

+iwd

11=i2w

d

m

s

+zw

n

-iwd1m(s

+

2zw

ns

+wn

)12

2

(d)这与用经典方法得到的式(3.8-13)相同。因为当t<0时，没有激励，所以方程(f)应该乘以u(t)后，才与实际相符。从方程(c)和(d)得出脉冲响应为ddnmwsin

w

t1i2w

d

m1-zw

t=

e[e-(zw

n

-iwd

)t

-

e-(zw

n

+iwd

)t

]=-11i2w

d

m

s

+zw

n

-iwd

s

+zw

n

+iwd

1h(t

)=

L-1G

(s)=

L-1(f)例3.10-2阶跃响应。设F(t)=u(t-a)，可以写出其拉普拉斯变换为a-as¥-st¥-st¥-st-

s

a

sF

(s)=e

=

e

e dt

=e

u(t

-

a)dt

=0(a)代入方程(3.10-10)，得到s显然，当F(t)=u(t)，也就是说当a=0时，有F

(s)=1

。h

(s)s

sg

(s)=

G

(s)=(b)式中g

(s)=Lg(t)为g(t)的拉普拉斯变换。因而阶跃响应为sg(t

)=

L-1g

(s)=

L-1

G

(s)(c)从例题3.10-1中的方程(e)，可以得到阶跃响应为考虑单自由度有阻尼系统，从方程(3.10-9)可以用部分分式的形式写出g

(s，)

即+-=n

d d

nns

ms(sg

(s)=

G

(s)=mwzw

s

+w

)1i2w

d

s

+zw

n

+iwzw

n

-iwd1s

i2w

d

s

+zw

n

-iwzw

n

+iwd

11+

21222(d)=k

k

d-zw

ntdnn

de

cos(w

t

-j

)1-1

e

+

ei2w

d

i2w

dzw

n

+iwd

zw

n

-iwdg(t

)=

L g

(s)=

1-1

1

1-V2+iw

)t

-(zw

-iw

)t

-(zw-1(e)j

=

tg-1

z

1-z

2(f)(3.11-1)f

(t)

=

d(t)此时系统的响应为脉冲响应，即x(t)

=

h(t