暑假七年级升八年级数学考点衔接（人教版）专题12 全等三角形的判定（AAS、ASA、HL）解析版

文档来源网络侵权联系删除仅供参考专题12全等三角形判定（AAS、ASA、HL）新知预习（一）全等三角形判定（AAS、ASA）（1）AAS:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的对边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角角边”或简记为（AAS）（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:图12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′∠B=∠B′AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（1）ASA:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的夹边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角边角”或简记为（ASA）（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:图12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′AB=A′B′∠B=∠B′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（二）直角三角形的判定（HL）（1）直角三角形全等 ①斜边和一条直角边对应相等（HL）②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.新知训练考点1：用ASA、AAS证明三角形全等典例1：（2023·广东广州·华南师大附中校考一模）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若AD=BE，∠A=∠EDF，∠E=∠ABC.求证：AC=DF．【答案】见解析【分析】由AD=BE知AB=ED，结合∠A=∠EDF，∠E=∠ABC，依据“ASA”可判定△ABC≌△DEF，依据两三角形全等对应边相等可得AC=DF．【详解】证明：∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，即AB=ED，在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠EAB=ED∴△ABC≌△DEFASA∴AC=DF．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式1】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）已知：如图，E是BC上一点，∠BED=∠B+∠BCA，AB∥CD，BC=CD．求证：AC=ED．【答案】见解析【分析】由AB∥CD，得∠B=∠DCE，由∠BED=∠B+∠BCA，结合三角形外角∠BED=∠D+∠DCE，可得∠BCA=∠D，进而可证△ACB≌△EDCASA，即可证得AC=ED【详解】证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠DCE，∵∠BED=∠B+∠BCA，又∵∠BED=∠D+∠DCE，∴∠B+∠BCA=∠D+∠DCE，∴∠BCA=∠D，在△ACB和△EDC中，∠B=∠DCEBC=CD∴△ACB≌△EDCASA∴AC=ED．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．也考查了平行线的性质和三角形外角的性质．【变式2】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE．求证：△ABC≌△ADE．【答案】证明见解析【分析】由三角形外角的性质及∠1=∠2=∠3可得到∠ADE=∠B，再结合图形并利用恒等变换可得到∠BAC=∠DAE，最后利用AAS即可得证．【详解】证明：∵∠ADC=∠1+∠B，即∠ADE+∠3=∠1+∠B，∵∠1=∠2=∠3，∴∠ADE=∠B，∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC

，∴∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∠ABC=∠ADE∠BAC=∠DAE∴△ABC≌△ADEAAS【点睛】本题考查三角形全等的判定，三角形外角的性质．掌握三角形全等的判定是解题的关键．【变式3】（2022秋·山东滨州·八年级统考期中）如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．【答案】△ADC与△CEB全等，证明见解析【分析】先证明∠CAD=∠BCE，然后根据AAS证明△ADC≌△CEB，即可求解．【详解】解：△ADC与△CEB全等理由如下：根据题意可知：AC=CB,∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°;在Rt△ADC中，又∵∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE.在△ADC与△CEB中，∠ADC=∠CEB,∴△ADC≌△CEB【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．考点2：全等的性质与ASA、AAS综合典例2：（2023·浙江温州·统考一模）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ADC，点E在线段BD上，∠A=∠DEC=90°，AB=CE．(1)求证：△ABD≌△ECD；(2)当∠DCB=55°时，求∠ABD的度数．【答案】(1)见解析(2)∠ABD=20°【分析】（1）由BD平分∠ADC．得出∠ADB=∠BDC，结合已知条件即可证明△ABD≌△ECDAAS（2）根据全等三角形的性质得出BD=DC，∠ABD=∠DCE，∠DBC=∠DCB=55°，根据三角形的内角和定理即可求解．【详解】（1）证明：∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠BDC，∵∠A=∠DEC=90°，AB=CE，∴△ABD≌△ECDAAS（2）解：∵△ABD≌△ECD，∴BD=DC，∠ABD=∠DCE，∵∠DCB=55°，∴∠DBC=∠DCB=55°，∴∠BDC=70°，∴∠ABD=∠DCE=20°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【变式1】（2023春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知：如图，在△ABC中，D是BC边中点，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F，(1)求证：△BDF≌△CDE；(2)若AD=5，CE=2，求【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）只需要利用AAS证明△BDF≌△CDE即可；（2）根据全等三角形的性质得到CE=BF，再根据三角形面积公式进行求解即可．【详解】（1）证明：∵点D是BC边中点，∴BD=CD，∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠BFD=∠CED=90°，在△BDF和△CDE中，∠BFD=∠CED∠BDF=∠CDE∴△BDF≌△CDEAAS（2）解：由（1）得：△BDF≌△CDE，∴CE=BF，∴S△ABC【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．【变式2】（2023春·广西南宁·八年级南宁二中校考开学考试）(1)如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求证：△ADC≌△CEB；(2)如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求(3)如图3，在平面直角坐标系中，A-1,0，C1,3，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，求点【答案】(1)证明见解析(2)0.8(3)4【分析】（1）由题意知∠D=∠E=90°，由∠ACD+∠BCE=180°-∠ACB=90°，∠ACD+∠CAD=180°-∠D=90°，可得∠CAD=∠BCE，进而结论得证；（2）同理（1）证明△ADC≌△CEBAAS，则BE=CD，CE=AD=2.5cm，根据BE=CD=CE-DE计算求解（3）如图3，过点C作平行于x轴的直线DE，过A作AD⊥DE于D，过B作BE⊥DE于E，由（1）可得△ACD≌△CBE，则CE=AD=3，BE=CD=2，进而可求B点坐标．【详解】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠D=∠E=90°，∵∠ACD+∠BCE=180°-∠ACB=90°，∠ACD+∠CAD=180°-∠D=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∵∠D=∠E∠CAD=∠BCE∴△ADC≌△CEBAAS（2）解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠E=90°，∵∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC=90°，∠ACD+∠BCE=180°-∠E=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∵∠ADC=∠E∠CAD=∠BCE∴△ADC≌△CEBAAS∴BE=CD，CE=AD=2.5cm∴BE=CD=CE-DE=0.8cm∴BE的长为0.8cm（3）解：如图3，过点C作平行于x轴的直线DE，过A作AD⊥DE于D，过B作BE⊥DE于E，由（1）可得△ACD≌△CBE，∴CE=AD=3，BE=CD=2，∴B4【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于证明三角形全等．【变式3】（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD经过点E．求证：【答案】证明见解析【分析】在AB上截取AF=AC，连接EF，通过证明△ACE≌△AFE和△BEF≌Δ【详解】证明：在AB上截取AF=AC，连接EF．∵AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，∴∠CAE=∠FAE,∠EBF=∠EBD．∵AC∥∴∠C+∠D=180°，在△ACE和△AFE中AC=AF∠CAE=∠FAE∴△ACE≌△AFE，∴∠C=∠AFE,CE=EF，∵∠AFE+∠EFB=180°,∠C+∠D=180°，∴∠EFB=∠D，在△BEF和△BED中∠EFB=∠D∠EBF=∠EBD∴△BEF≌Δ∴EF=ED，∴CE=DE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．考点3：用HL证明三角形全等典例3：（2023春·七年级单元测试）如图，已知AD、BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，(1)求证：△ABM≌△DCN；(2)试猜想OA与OD的大小关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)OA=OD，理由见解析【分析】（1）根据HL可证明△ABM≌△DCN；（2）根据AAS证明△AMO≌△DNO可得结论．【详解】（1）证明：∵BN=CM，∴BN+MN=MN+CM，即CN=BM，∵AM⊥BC，DN⊥BC，∴∠AMB=∠DNC=90°，在Rt△ABM和RtAB=CDBM=CN∴Rt△ABM≌（2）解：OA=OD，理由如下：∵△ABM≌△DCN，∴AM=DN，在△AMO和△DNO中，∠AOM=∠DNO∠AMO=∠DNO∴△AMO≌△DNOAAS∴OA=OD．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．【变式1】（2023春·广东深圳·八年级统考阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点F为BC延长线上一点，点E在AC上，且AF=BE．(1)求证：△ACF≌△BCE；(2)若∠ABE=23°，求∠BAF的度数．【答案】(1)见解析(2)67°【分析】（1）直接依据直角三角形全等判定定理“斜边直角边”判定即可；（2）关键第（1）问结论可知△ACB为等腰直角三角形，故可求∠CAB=45°即可．【详解】（1）解：∵∠ACB=90°∴∠ACF=90°在Rt△ACF和Rt△BCE中AF=BE∴Rt△ACF≌Rt△BCE（2）∵∠ACB=90°，CA=CB∴∠ABC=∠BAC=45°∵∠ABE=23°∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=45°-23°=22°∵Rt△ACF≌Rt△BCE∴∠CAF=∠CBE=22°∴∠BAF=∠CAF+∠BAC=22°+45°=67°【点睛】本题考查了直角三角形的全等判定，及全等三角形的性质，关键是掌握全等判定的条件运用，灵活运用全等三角形的性质定理进行计算．【变式2】（2023春·七年级课时练习）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABF=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F，且AB=(1)求证：∠CAD(2)试判断CF与EF的数量关系，并说明理由【答案】(1)见解析(2)CF=【分析】（1）利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ADE得∠（2）根据三角形全等的判定定理证明△ADC≌△ABE【详解】（1）解：在Rt△ABC和Rt△AC∴Rt△ABC∴∠BAC∴∠∴∠CAD（2）在△ADC和△AC∴△∴DC=又∵Rt△ABC∴∠∴∠∴∠在△DFC和△∠∴△DFC∴CF=【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理：SSS、SAS、AAS或ASA以及直角三角形的HL以及全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．【变式3】（2023秋·四川绵阳·八年级校考期末）已知：如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=(1)求证：△ADE≅△BEC；(2)若DE=10，试求【答案】(1)见解析(2)△CDE的面积为50【分析】（1）根据题意得∠A=∠B=90°，然后推得AD=（2）由△ADE≅△BEC，得∠AED=∠BCE，再推得【详解】（1）∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠A=∠B=在Rt△ADE、Rt△BEC中，AD=BE，DE=∴△ADE≅△BEC．（2）由△ADE≅△BEC得∠AED=∴∠AED+∠BEC=∴∠DEC=∴△CDE的面积为：12【点睛】本题考查了全等三角形，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．考点4：全等的性质与HL综合典例4：（2023秋·山东聊城·八年级校考期末）如图（1），AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且BC=DE，AC=CE．(1)试判断AC与CE的位置关系，并说明理由．(2)如图（2），若把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与B重合，此时第（1）问中AC与BE的位置关系还成立吗？说明理由．（注意字母的变化）．【答案】(1)AC⊥CE，理由见解析(2)AC⊥CE成立，理由见解析【分析】（1）根据条件证明Rt△ABC≌Rt△CDEHL就得出（2）根据Rt△ABC≌Rt△BDE【详解】（1）解：AC⊥CE，理由如下，理由：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠B=∠D=90°．在Rt△ABC和RtBC=DEAC=CE∴Rt△ABC≌∴∠A=∠DCE．∵∠A+∠ACB=90°，∴∠DCE+∠ACB=90°．∵∠DCE+∠ACB+∠ACE=180°，∴∠ACE=90°，∴AC⊥CE；（2）解：AC⊥CE，理由如下，∵Rt△ABC≌∴∠A=∠DBE，∵∠A+∠ACB=90°，∴∠DBE+∠ACB=90°，∴∠BFC=90°，∴AC⊥CE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，平移的性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．【变式1】（2023春·湖南岳阳·八年级统考阶段练习）如图①，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB=CD，BF=DE，BD交(1)求证：AE=CF，(2)当E，F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)答案见解析(2)仍然成立，理由见解析【分析】（1）利用HL可证明△DEC≌△BFA，可得AF=CE，根据线段的和差关系即可得AE=CF，利用AAS可证明△DEM≌△BFM，即可得MB=MD；（2）同（1）的证明方法即可得上述结论依然成立．【详解】（1）解：∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEC=∠BFA=90°，在Rt△DEC和RtBF=DEAB=CD∴△DEC≌△BFAHL∴AF=CE，∴AF-EF=CE-EF，∴AE=CF，在△DEM和△BFM中，∠DME=∠BMF∠DEM=∠BFM∴△DEM≅△BFMAAS∴MB=MD；（2）仍然成立，AE=CF，理由如下：∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEC=∠BFA=90°，在Rt△ABF和Rt△CDE中，BF=DE∴△ABF≌△CDEHL∴AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，∴AE=CF，在△DEM和△BFM中，∠DME=∠BMF∠DEM=∠BFM∴△DEM≅△BFMAAS∴MB=MD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定定理有SSS、【变式2】（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD=CD，BE=CF．(1)求证：△ADE≌(2)若AC=20，BE=6，求AB的长．【答案】(1)见解析(2)AB=8．【分析】（1）由题所给条件可得Rt△BED≌Rt△CFDHL，即得（2）由（1）可得AE=AF，CF=BE=6，则【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△BED和RtBD=CDBE=CF∴Rt△BED≌∴DE=DF，在Rt△BED和RtDE=DFAD=AD∴Rt△ADE≌即△ADE≌（2）解：∵△ADE≌△ADF∴AE=AF，∵AC=20，∴AE=AF=20-6=14，∴AB=AE-BE=14-6=8．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，以及HL全等三角形的对应边相等，对应角相等．【变式3】（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知：两个等腰直角三角板△ACB和△DCE（AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°）如图所示摆放，连接AE、BD交于点O．AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1（两个等腰直角三角板大小不等），试判断AE与BD有何关系并说明理由；（2）如图2（两个等腰直角三角板大小相等，即AC＝DC），在不添加任何辅助线的情况，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．【答案】（1）AE＝BD且AE⊥BD．理由见解析；（2）△ACB≌△DCE，△EMC≌△BCN，△AON≌△DOM，△AOB≌△DOE【分析】（1）证明△ACE≌△BCD，可得AE＝BD，∠CEA＝∠BDC，由∠CME＝∠DMO，根据三角形内角和定理即可得∠DOM＝∠ECM＝90°，进而可证AE⊥BD．（2）根据三角形全等的判定找出相等边和角，进而找出全等三角形．【详解】解：（1）结论；AE＝BD且AE⊥BD．理由如下：∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB+∠DCA＝∠DCE+∠DCA，即∠DCB＝∠ACE，∵AC＝BC，CD＝CE，在△ACE与△BCD中，AC=BC∠ACE=∠DCB∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CEA＝∠BDC，∵∠CME＝∠DMO，∴180°-(∠CEA+∠CME)=180°-(∠DMO+∠BDC)，即∠DOM＝∠ECM＝90°，∴AE⊥BD，∴AE＝BD且AE⊥BD；（2）∵AC＝DC，∴AC＝CD＝EC＝CB，在△ACB与△DCE中，AC=DC∠ACB=∠DCE∴△ACB≌△DCE（SAS）；由（1）可知：∠AEC＝∠BDC，∠EAC＝∠DBC，∴∠DOM＝90°，∵∠AEC＝∠CAE＝∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM＝CN，∴DM＝AN，∴△AON≌△DOM（AAS），∵DE＝AB，AO＝DO，∴△AOB≌△DOE（HL）．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．考点5：添加条件证明三角形全等典例5：（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，在△ABC和△DEF中，点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，若______________，则△ABC≌△DEF．请在给出的三个条件：①AB=DE，②AB∥DE【答案】①和③，解答见解析【分析】根据三边对应相等的方法可证明两三角形全等，然后选择合适的条件即可作答．【详解】解：①AB=DE，③AC=DF∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF在△ABC和△DEF中∵∴△ABC≌△DEFSSS．【点睛】本题考查了三角形全等证明的方法，熟练掌握三角形全等证明的方法与条件是解题关键．【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在五边形ABCDE中，AB=DE，AC=AD．(1)请你添加一个条件，使得△ABC≌(2)在(1)的条件下，若∠CAD=66°，∠B=110°，求【答案】(1)见解析；(2)136°．【分析】（1）BC=AE或∠BAC=∠EDA．根据SSS或SAS（2）根据△ABC≌△DEA得出∠BCA=∠EAD【详解】（1）证明：添加：BC=AE或∠BAC=∵在△ACB和△DAE中，AC=DA,∴△ABC≌△DEA(SSS（2）∵△ABC≌∴∠BCA=∴∠=∠==66°+(180°-110°)=136°，∴∠BAE=136°【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【变式2】（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）如图，在ΔAFD和ΔCEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个选项：①AD=CB；②AE=CF；③DF=BE；④请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题．并写出证明过程．条件为：（填序号）．结论为：（填序号）．【答案】①②④；③，证明见解析【分析】条件为：①②④，结论为：③；只需要证明△AFD≌△CEB即可．【详解】解：条件为：①②④，结论为：③；（答案不唯一）已知：如图，在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，AD=CB，AE=CF，AD∥BC．求证：证明：∵AD∥∴∠A=∠C，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，∴在△AFD和△CEB中，AD=CB∠A=∠C∴△AFD≌△CEB（SAS），∴DF=BE．故答案为：①②④；③【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形判定的条件和性质是解答本题的基础．【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，△ABC中，点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．(1)若要使ΔACD≌ΔEBD(2)证明上题；(3)在△ABC中，若AB＝5，AC=4，可以求得BC边上的中线AD的取值范围是．【答案】(1)AC∥BE或AD=DE（答案不唯一）(2)见解析(3)0.5＜AD＜4.5【分析】（1）若要使△ACD≌△EBD，应添上条件：AC∥BE或AD=DE（答案不唯一）；（2）由AC与BE平行，得到两内错角相等，再由D为BC的中点，得到BD=CD，利用AAS可得出三角形ACD与EBD全等；（3）在三角形ABE中，利用两边之差小于第三边，两边之和大于第三边得到AE的取值范围，由D为AE的中点，得到AD的取值范围．【详解】（1）解：可添加：AC∥BE或AD=DE（答案不唯一）．（2）证明：∵AC∥BE，∴∠CAD=∠E，∠ACD=∠EBD，又∵D为BC的中点，∴BD=CD，在△ACD和△EBD中，∠CAD=∠E∠ACD=∠EBD∴△ACD≌△EBD（AAS）；若添加AD=DE．又∵D为BC的中点，∴BD=CD，在△ACD和△EBD中，AD=ED∠ADC=∠EDB∴△ACD≌△EBD（SAS）；（3）解：∵△ACD≌△EBD，∴AD=DE=12AE，BE＝AC=4在△ABE中，AE＞AB-BE=5-4=1，AE<AB+BE=5+4=9，∴1<AE<9．∴0.5<AD<4.5．故答案为：0.5<AD<4.5．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理．新知检测一、单选题1．（2023秋·云南昭通·八年级统考期中）下列条件中，能判定两个三角形全等的是（）A．有三个角对应相等 B．有两条边对应相等C．有两边及一角对应相等 D．有两角及一组等角所对的一边对应相等【答案】D【分析】根据三角形全等的判定定理即可得出结论．【详解】三角形全等判定方法：①SAS：两条边及其夹角对应相等的两个三角形全等；②ASA：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等；③AAS：两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；④SSS：三条边对应相等的两个三角形全等．故选D．【点睛】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．2．（2022秋·河北保定·八年级统考期中）如图，用纸板挡住部分三角形后，能用尺规画出与此三角形全等的三角形，其全等的依据是（

）A．ASA B．AAS C．SAS D．HL【答案】A【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．【详解】解：依据为：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等ASA．故选A．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．3．（2023秋·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC，交AB于E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=BE B．DB=DE C．AE=BD D．∠BCE=∠ACE【答案】D【详解】A．∵DE⊥BC，∠A=90°，∴∠A=∠CDE=90°，在Rt△CAE和Rt△CDE中，∵CA=CD，CE=CE，∴Rt△CAE≌Rt△CDE（HL），∴AE=DE，∵在Rt△BED中，BE＞DE，∴BE＞AE，故A错误；B．根据已知不能得出BD=DE，故B错误；C．根据已知不能得出BD=DE，又由DE=AE，即不能推出BD=AE，故C错误；D．∵Rt△CAE≌Rt△CDE，∴∠BCE=∠ACE，故D正确．故选∶D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明直角三角形全等，直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．4．（2023秋·湖北黄石·八年级黄石八中校考期中）如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为点E，F，且CE=DF，AC=BD，那么Rt△AEC≌Rt△BFD的理由是（

）A．HL B．SSS C．SAS D．AAS【答案】A【分析】在Rt△ACE与Rt△BDF中，根据HL定理，即可判断．【详解】证明：在Rt△ACE与Rt△BDF中，∵AE=BF，AC=BD，∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL)．故选：A．【点睛】本题考查直角三角形全等的判定．解决本题的关键是同学们熟练掌握HL定理．5．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期中）如图，在ΔABC和ΔDEF中，∠A=∠D，∠B=∠DEF，要使△ABC≌△DEF，需要添加下列条件中的（

）A．AB=EF B．AC=DE C．BC=DF D．AB=DE【答案】D【分析】添加条件为AB=DE，根据ASA推出两三角形全等即可．【详解】解：条件是AB=DE，理由是：∵在△ABC和△DEF中∠A=∠DAB=DE∠B=∠DEF∴△ABC≌△DEF（ASA），故选D．【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．6．（2022秋·甘肃平凉·八年级校联考期中）如图，AB=CD，AD=CB，AC、BD相交于点O，则图中的全等三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【答案】C【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平分解答．【详解】解：∵AB=CD，AD=CB，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，∴△ABO≌△CDO，△ADO≌△CBO，又△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB，∴图中全等三角形有四对．故选：C．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，先证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．做题时从已知开始结合全等的判定方法由易到难逐个找寻．7．（2022秋·福建漳州·八年级统考期末）如图，AC与BD相交于点O，AB=DC，要使△ABO≌△DCO，则需添加的一个条件可以是（

）A．OB=OC B．∠A=∠D C．OA=OD D．∠AOB=∠DOC【答案】B【分析】根据全等三角形的判定方法，进行判断即可．【详解】解：AB=DC（已知），∠AOB=∠DOC（对顶角相等），A、当OB=OC时，SSA无法证明△ABO≌△DCO，不符合题意；B、当∠A=∠D时，AAS，可以证明△ABO≌△DCO，符合题意；C、当OA=OD时，SSA无法证明△ABO≌△DCO，不符合题意；D、∠AOB=∠DOC，两个条件无法证明△ABO≌△DCO，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．8．（2022秋·山东聊城·八年级统考期中）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=7，A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】先证明△ADE≌△CFE(AAS)，得AD=CF=4，然后由BD=AB-AD求解即可．【详解】解：∵FC∥AB，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，在△ADE与△CFE中，∠A=∠FCE∠ADE=∠F∴△ADE≌△CFE(AAS)，∴AD=CF=4，∴BD=AB-AD=7-4=3，故选：C．【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．9．（2023春·八年级单元测试）如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（A．BE=DF B．AE∥CF C．AE=CF D【答案】C【分析】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别得出三角形全等，再进行判断即可．【详解】A、在▱ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，∵BE=DF，∴△ABE≌B、在▱ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，∵AE∥CF，∴∠AEF=∠EFC，∴∠6=∠5，∴△ABE≌C、不能证明；D、在▱ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，∵∠1=∠2，∴△ABE≌故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．10．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）如图，AD是△ABC的中线，CE∥AB交AD的延长线于点E，AB=5，AC=7，则AD的取值不可能是（A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】证明△ABD≌△ECD，可得CE=AB=5，再由三角形的三边关系可得2<AE<12，即可求解．【详解】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∵CE∥∴∠B=∠DCE,∠BAD=∠E，在△ABD和△ECD中，∠B=∠DCE∠BAD=∠E∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB=5,AD=ED，∵AC=7，AC-CE<AE<AC+CE，即2<AE<12，∴1<AD<6，∴AD的取值不可能是6．故选：D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，根据题意得到△ABD≌△ECD是解题的关键．11．（2022秋·河北沧州·八年级统考期中）如图，在△AED和△CFB中，已知BE＝DF，添加下列一组条件后，不能判定△AED≌△CFB的是（）A．BC＝AD，CF＝AE B．∠B＝∠D，CF＝AEC．BC＝AD，∠B＝∠D D．∠B＝∠D，∠C＝∠A【答案】B【分析】利用全等三角形的判定方法逐项判断即可得出答案．【详解】解：由BE＝DF可得BE+EF=DF+EF，即BF=DE．A选项，添加BC＝AD，CF＝AE后，△AED和△CFB中，满足三组对边相等，能够判定△AED≌△CFB，不符合题意；B选项，添加∠B＝∠D，CF＝AE后，△AED和△CFB中，满足两组对边相等，一组对角相等，但该组对角不是两组对边的夹角，不能判定△AED≌△CFB，符合题意；C选项，添加BC＝AD，∠B＝∠D后，△AED和△CFB中，满足两组对边相等，且两组对边的夹角相等，能够判定△AED≌△CFB，不符合题意；D选项，添加∠B＝∠D，∠C＝∠A后，△AED和△CFB中，满足一组对边相等，两组对角相等，能够判定△AED≌△CFB，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的各种判定方法是解题的关键．12．（2022秋·广东惠州·八年级校考期中）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在河岸BF上取两点C、D；使CD=BC，再作DE⊥BF，垂足为D，使A、C、E三点在一条直线上，测得ED=20米，因此AB的长是（

）A．10米 B．20米 C．30米 D．40米【答案】B【分析】由已知可以得到∠ABC=∠BDE，又CD=BC，∠ACB=∠DCE，由此根据角边角即可判定△EDC≌△ABC，则ED=AB．【详解】解：∵BF⊥AB，DE⊥BF，∴∠ABC=∠CDE，在△EDC和△ABC中，∠ABC∴△EDC≌△ABC（ASA）．∴ED=AB．∵ED=20米，∴AB=20米．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的应用；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的．13．（2023秋·八年级单元测试）如图，已知∠ADB＝∠ADC，欲证△ABD≌△ACD，还必须从下列选项中选一个补充条件，则错误的选项是()A．∠BAD＝∠CAD B．∠B＝∠C C．BD＝CD D．AB＝AC【答案】D【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．【详解】解：A、符合ASA定理，即根据ASA即可推出△ABD≌△ACD，故本选项错误；B、符合AAS定理，即根据AAS即可推出△ABD≌△ACD，故本选项错误；C、符合SAS定理，即根据SAS即可推出△ABD≌△ACD，故本选项错误；D、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABD≌△ACD，故本选项正确；故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．14．（2023秋·江苏无锡·八年级宜兴市树人中学校考阶段练习）如图，要判定△ABD≌△ACD，已知AB＝AC，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（

）A．CD⊥AD，BD⊥AD B．CD＝BD C．∠1＝∠2 D．∠CAD＝∠BAD【答案】C【分析】在△ACD和△ABD中，AD=AD，AB=AC，由全等三角形判定定理对选项一一分析，排除不符合题意的选项即可．【详解】解：添加A选项中条件可用HL判定两个三角形全等，故选项A不符合题意；添加B选项中的条件可用SSS判定两个三角形全等，故选项B不符合题意；添加C选项中的条件∠1＝∠2可得∠CDA=∠BDA，结合已知条件不SS判定两个三角形全等，故选项C符合题意；添加D选项中的条件可用SAS判定两个三角形全等，故选项D不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS，判断直角三角形全等的方法：“HL”．15．（2023春·云南文山·八年级统考期末）下列说法正确的个数有（

）①x2+kx+9是完全平方式，则k=±6；②分别以9cm，12cm，15cm为边长的三角形是直角三角形；③一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】分别根据完全平方公式，勾股定理逆定理，平行四边形的判定方法，全等三角形的判定方法分析判断即可求解．【详解】解：①因为x2+kx+9是完全平方式，根据“前平方，后平方，二倍乘积在中央”，所以②因为92+122=81+144=225=25③因为一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，故该说法不正确；④根据直角三角形的判定定理可得：一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等时，可证得这条直角边和另一条直角边上的中线所在的两个直角三角形也全等，继而可得另一条直角边也相等，即可证明本题说法正确，故选：C．【点睛】本题考查完全平方公式，勾股定理逆定理，平行四边形的判定方法，全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握所学知识．二、填空题16．（2023秋·吉林四平·八年级统考期末）如图，已知OA=OB，请添加一个条件使得△AOD≌△BOC，则可添加的条件是_______________________．（只填一个即可）【答案】∠D=∠C（答案不唯一）【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【详解】解：由题意OA=OB，∠AOD=∠BOC，∴根据AAS，可以添加∠D=∠C，使得△AOD≌△BOC，故答案为：∠D=∠C（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键．17．（2023秋·浙江温州·八年级统考期中）如图，已知∠ABC＝∠ABD，要使△ABC≌△ABD，请添加一个条件__________．（不添加辅助线，只需写出一个条件即可）【答案】BC=BD,∠C=∠D，∠CAB=∠DAB等．【详解】试题分析：添加BC=BD，又因为AB为公共边，根据SAS可得两三角形相似；添加∠C=∠D，可根据AAS判定两三角形相似；添加∠CAB=∠DAB，可根据ASA判定两三角形相似．考点：相似三角形的判定．18．（2023秋·广西河池·八年级统考期中）如图，已知CD＝FB，AC＝EF，要使△ABC≌△EDF，应添加的一个条件是___．【答案】∠C=∠F或AB=DE【分析】利用SSS或者SAS均可判定三角形的全等，由此添加条件即可．【详解】解：CD=FB，AC=EF，所以CB=FD可添加∠C=∠F，利用SAS判定ΔABC≅ΔEDF；也可添加AB=DE，利用SSS判定ΔABC≅ΔEDF；故答案为：∠C=∠F或AB=DE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．19．（2023春·七年级单元测试）下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是_____.【答案】①③【分析】熟练综合运用判定定理判断，做题时要结合已知与全等的判定方法逐个验证．【详解】因为两个三角形的两个角对应相等，根据内角和定理，可知另一对对应角也相等，那么总能利用ASA来判定两个三角形全等，故选项①正确；两个全等的直角三角形都和一个等边三角形不全等，但是这两个全等的直角三角形可以全等，故选项②错误；判定两个三角形全等时，必须有边的参与，否则不会全等，故选项③正确.故选①③【点睛】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.20．（2023秋·江苏无锡·八年级阶段练习）如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是__________．【答案】AC=DE【分析】先求出∠ABC＝∠DBE＝90°，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．【详解】解：AC＝DE，理由是：∵AB⊥DC，∴∠ABC＝∠DBE＝90°，在Rt△ABC和Rt△DBE中，AC∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．故答案为：AC＝DE．【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，主要考查学生的推理能力，注意：判定两直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．21．（2023秋·湖北黄石·八年级黄石八中校考期中）如图，已知ΔABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和ΔABC全等的图形是______.【答案】乙丙.【分析】甲不符合三角形全等的判断方法，乙可运用SAS判定全等，丙可运用AAS证明两个三角形全等．【详解】由图形可知，甲有一边一角，不能判断两三角形全等，乙有两边及其夹角，能判断两三角形全等，丙得出两角及其一角对边，能判断两三角形全等，根据全等三角形的判定得，乙丙正确.故答案为乙丙.【点睛】此题考查三角形全等的判定方法，解题关键在于掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．22．（2023秋·湖南娄底·八年级统考期末）已知如图，在△ABF和△DEC中，∠A=∠D，AB=DE，若再添加条件_____=_____，则可根据SAS证得△ABF≌△DEC．【答案】AF=DC．【详解】试题分析：因为∠A=∠D，AB=DE，又要利用SAS定理证明，所以还需添加条件AF=DC．故答案为AF=DC．考点：三角形全等的判定．23．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，直角坐标系中，OA=AB，∠OAB=90°，A2，5，则B【答案】7【分析】如图，过点A作AC∥x轴交y轴于C，过点B作BD⊥AC交CA延长线于D，根据AAS定理得出△ABD≌△OAC，故可得出BD及CD的长，由此可得出结论．【详解】解：如图，过点A作AC∥x轴交y轴于C，过点B作BD⊥AC交CA延长线于D，∴∠OCA=∠ADB=90°，∴∠AOC+∠OAC=90°，∵∠OAB=90°，∴∠OAC+∠BAD=90°∴∠COA=∠DAB，在△ABD与△OAC中，∠BAD=∴△ABD≌△OACAAS∵A2∴BD=AC=2，AD=OC=5∴CD=AC+AD=7，∴B7故答案为：7，【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，解决本题的关键是正确的作出辅助线．三、解答题26．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，A，B，D依次在同一条直线上，在AD的同侧作∠A=∠D=90∘，AC=BD，∠ABC=∠DEB．【答案】证明见解析【分析】直接利用AAS证明△ABC≌△DEB即可．【详解】解：在△ABC和△DEB中，∠A=∠D=90°∠ABC=∠DEB∴△ABC≌△DEBAAS【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有AAS，27．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．(1)求证：△BDE≌△CDF；(2)若AE=13，AF=7，试求DE的长．【答案】(1)见解析(2)DE=3【分析】（1）利用中点性质可得BD=CD，由平行线性质可得∠DBE=∠DCF，再由对顶角相等可得∠BDE=∠CDF，即可证得结论；（2）由题意可得EF=AE-AF=6，再由全等三角形性质可得DE=DF，即可求得答案．【详解】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∵BE∥CF，∴∠DBE=∠DCF，在△BDE和△CDF中，∠DBE=∠DCFBD=CD∴△BDE≌△CDF（ASA）；（2）解：∵AE=13，AF=7，∴EF=AE-AF=13-7=6，∵△BDE≌△CDF，∴DE=DF，∵DE+DF=EF=6，∴DE=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．28．（2022秋·浙江·八年级期末）已知：如图，∠1＝∠2，∠B＝∠AED，BC＝ED．求证：AB＝AE．【答案】见解析【分析】证明△DAE≌△CAB（AAS），由全等三角形的性质得出AB=AE．【详解】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，∴∠DAE=∠CAB．在△DAE和△CAB中，∠AED=∠B∠DAE=∠CAB∴△DAE≌△CAB（AAS），∴AB=AE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，证明△DAE≌△CAB是解题的关键．29．（2023秋·江苏常州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF．求证：（1）△BDE≌△CDF；（2）AB＝AC．【答案】见解析【详解】试题分析：（1）求出BD=CD，∠DEB=∠DFC=90°，根据HL证出Rt△BDE≌Rt△CDF即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠B=∠C，根据等腰三角形的判定推出即可．试题解析：（1）∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE与Rt△CDF中{∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），（2）∵Rt△BDE≌Rt△CDF，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．考点：1．三角形全等的性质与判定，2．等腰三角形的判定30．（2023·河北保定·统考一模）如图，∠BCD=90°，BC=DC，直线PQ经过点D．设∠PDC=α（45°<α<135°），BA⊥PQ于点A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°，与直线PQ交于点E．（1）判断：∠ABC________∠PDC（填“>”或“=”或“<”）；（2）猜想△ACE的形状，并说明理由；【答案】（1）=；（2）△ACE是等腰直角三角形；理由见解析；（3）45°<α<90°．【分析】（1）由四边形ABCD的内角和与邻补角的性质证明∠EDC=∠ABC，即可得到结论．（2）由旋转的性质可得：∠ACE=∠BCD=90°，证明∠ECD=∠BCA，再证明（3）当∠PDC=∠ABC=α=90°时，△ABC的外心在其斜边上，∠ABC=α＞90°时，△ABC的外心在其外部，从而可得到答案．【详解】解：（1）∵AB⊥AD，∴∠CDA+∠ABC=360°-90°-90°=180°，∵∠CDA+∠CDE=180°，∴∠EDC=∠ABC.故答案为：=．（2）△ACE是等腰直角三角形．理由如下：由旋转可得：∠ACE=∠BCD=90°，∴∠ECD+∠DCA=90°=∠DCA+∠BCA，∴∠ECD=∠BCA，在△ECD与△ACB中，{∠ECD=∠BCA∴△ECD≌△ACB(ASA)∴EC=AC，又∵∠ACE=90°∴△ACE是等腰直角三角形．【点睛】本题考查的是四边形的内角和，三角形的外接圆的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．31．（2022秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，E为线段BC上一点，∠ABE＝∠AED＝∠ECD＝90°，AE＝ED，BC＝20，AB＝8，求BE的长度？【答