2022年全国统一高考理科数学解析（全国乙卷）

第页码页码页/总NUMPAGES总页数总页数页EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合M满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先写出集合,然后逐项验证即可【详解】由题知,对比选项知，正确,错误故选:2.已知，且，其中a，b为实数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】由,得,即故选:3.已知向量满足，则（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵，又∵∴9，∴故选：C.4.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.【详解】解：因为，所以，，得到，同理，可得，又因为，故，；以此类推，可得，，故A错误；，故B错误；，得，故C错误；，得，故D正确.故选：D.5.设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以故选：B6.执行下边的程序框图，输出的（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根据框图循环计算即可.【详解】执行第一次循环，，，；执行第二次循环，，，；执行第三次循环，，，，此时输出.故选：B7.在正方体中，E，F分别为的中点，则（）A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面【答案】A【解析】【分析】证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.【详解】解：在正方体中，且平面，又平面，所以，因为分别为的中点，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，，则，，设平面的法向量为，则有，可取，同理可得平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，则，所以平面与平面不垂直，故B错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故C错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故D错误，故选：A.8.已知等比数列的前3项和为168，，则（）A.14 B.12 C.6 D.3【答案】D【解析】【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.9.已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为又则当且仅当即时等号成立，故选：C10.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为则记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为则记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为则则即，，则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D11.双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，可判断在双曲线的右支，设，，即可求出，，，在中由求出，再由正弦定理求出，，最后根据双曲线的定义得到，即可得解；【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，所以，因为，所以在双曲线的右支，所以，，，设，，由，即，则，，，在中，，由正弦定理得，所以，又，所以，即，所以双曲线的离心率故选：C12.已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.【详解】因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因，所以，又因为，联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以.故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】##0.3【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率故答案为：14.过四点中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】或或或；【解析】【分析】设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意设圆的方程为，若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；故答案为：或或或；15.记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．【答案】【解析】【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；【详解】解：因为，（，）所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时；故答案为：16.已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】由分别是函数的极小值点和极大值点，可得时，，时，，再分和两种情况讨论，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，根据导数的结合意义结合图象即可得出答案.【详解】解：，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，，当时，，若时，当时，，则此时，与前面矛盾，故不符合题意，若时，则方程的两个根为，即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，令，则，设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，则切线的斜率为，故切线方程为，则有，解得，则切线的斜率为，因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，又，所以，综上所述，的范围为.【点睛】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.三、解答题：共0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.记的内角的对边分别为，已知．（1）证明：；（2）若，求的周长．【答案】（1）见解析（2）14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.【小问1详解】证明：因为，所以，所以，即，所以；【小问2详解】解：因为，由（1）得，

由余弦定理可得，则，所以，故，所以，所以的周长为.

18.如图，四面体中，，E为的中点．（1）证明：平面平面；（2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．【答案】（1）证明过程见解析（2）与平面所成的角的正弦值为【解析】【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.【小问1详解】因为，E为的中点，所以；在和中，因为，所以，所以，又因为E为的中点，所以；又因为平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面.【小问2详解】连接，由（1）知，平面，因为平面，所以，所以，当时，最小，即的面积最小.因为，所以，又因为，所以是等边三角形，因为E为的中点，所以，，因为，所以,在中，，所以.以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，取，则，又因为，所以，所以，设与平面所成的角的正弦值为，所以，所以与平面所成的角的正弦值为.19.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数．【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值．【小问1详解】样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值样本中10棵这种树木的材积量的平均值据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为【小问2详解】则【小问3详解】设该林区这种树木的总材积量的估计值为，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得，解之得．则该林区这种树木的总材积量估计为20.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．（1）求E的方程；（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.【小问1详解】解：设椭圆E的方程为，过，则，解得，，所以椭圆E的方程为：.【小问2详解】，所以，①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，过点.②若过点的直线斜率存在，设.联立得，可得，，且联立可得可求得此时，将，代入整理得，将代入，得显然成立，综上，可得直线HN过定点【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对分类讨论,对分两部分研究【小问1详解】的定义域为当时,,所以切点为,所以切线斜率为2所以曲线在点处的切线方程为小问2详解】设若,当,即所以在上单调递增,故在上没有零点,不合题意若,当,则所以在上单调递增所以,即所以在上单调递增,故在上没有零点,不合题意若(1)当,则,所以在上单调递增所以存在,使得,即当单调递减当单调递增所以当当所以在上有唯一零点又没有零点,即在上有唯一零点(2)当设所以在单调递增所以存在,使得当单调递减当单调递增,又所以存在,使得,即当单调递增,当单调递减有而,所以当所以在上有唯一零点,上无零点即在上有唯一零点所以,符合题意所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为【点睛】方法点睛：本题的关键是对的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（1）写出l的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.【小问1详解】因l：，所以，又因为，所以化简为，整理得l的直角坐标方程：【小问2详解】联立l与C的方程，即将，代入中，可得，所以，化简为，要使l与C有公共点，则有解，令，则，令，，对称轴为，开口向上，所以，，所以m的取值范围为.[选修4-5：不等式选讲]23.已知a，b，c都是正数，且，证明：（1）；（2）；【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．【小问1详解】证明：因为，，，则，，，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号．【小问2详解】证明：因为，，，所以，，，所以，，当且仅当时取等号．

进入高三后，你将面对的是从心态到日程，从科目到复习进度的全面变化。1.在心态方面无论是被逼无奈还是主动改变，进入高三后再也不能得过且过，糊弄自己也糊弄别人。当然，前赴后继追赶的同学和此起彼伏波动的成绩会给你莫大的压力，而学会应对压力也是高三的必修课。2.在日程方面你需要从时间和效率两个方面去挖掘自己的可能性。对你来说不再是哪科肯学哪科多花时间，所有的科目但凡还有提分的空间，都需要你全力以赴地投入。生活或许是单调的三点一线，但目标清晰、计划合理的你仍然可以从中找到激励。3.在科目方面进入新高考之前，理综/文综的出现使得原本分科考试被掩盖的问题被非常显眼地暴露出来。大分值的选择题和综合性高的大题对学生的知识体系提出了更高的要求。而很多学校因为种种原因太晚才开始的合卷并没有给学生充分的适应和调整时间。4.在整体进度方面一轮复习之中语文和文综应试体系的构建、化学生物重新梳理知识点都是从过去两年知识积累导向向应试导向转变的体现，对后续复习的重要性不言而喻。一些学校也会安排或者鼓励学生进行“零轮复习”也是在为一轮做好准备。有句话叫“潮水退去才知道谁在裸泳”。新高三的“大洗牌”只不过是更高的要求给学生带来的挑战。之前给自己挖了多少坑，自己也该心里有数吧。在正式开学之前，在完成暑假作业并调整好状态之余，你还可以安排好这些事情：◆熟悉综合科合卷模式对于除了新高考的省市而言，综合科仍然是高考中重要的拉分项。然而，很多高中合卷的时间过晚，直到上高三甚至高三下才开始进行合卷的训练，学生对于综合科的答题技巧和知识体系的熟悉不够，不得不在高三紧张的学习和考试当中频频调整和适应。在分卷的考试中，一道选择题的分值不高，一个小失误或一个知识的小缺漏的影响并不大。而在综合科当中，任何的小失误都会导致大额的丢分。另一方面，刚上高三时，历史的选择题、生物化学的选择题的难度和综合性上升，也会造成错误率增加。可以从暑假开始，学生有计划的自行安排每周至少一次的综合科合卷限时训练，并按照标准答案进行批改和订正。务必转变态度，重视每一个错误。因为比犯错更愚蠢的，就是重复犯同样的错误。◆提前开始“零轮复习”很多高三学生都体验过：数学、英语、物理成绩好的学生，其实波动都不会太大，即便有些心态浮躁的学生在数学物理上存在短期波动，都比较容易较快地调整过来。这是因为在之前的学习过程中就已经渗透了许多面向高考的应试思维和解题技巧。相反，语文、化生、政史地，给学生的观感是：即便到一轮复习，似乎还是在不断接受新的东西。原因是这几个学科由原来的知识导向到考试导向的变化更大。一轮复习的过程中，学校老师还会重新梳理已有知识、建立知识体系、强调综合运用的应试能力。如果学生在数学、英语、物理上没有太大缺漏(甚至比较突出)，就能在一轮复习过程中腾出相当多的时间和精力在其他科目上。相反，如果学生在这三个科目上有瘸腿，则会在紧张的一轮复习中疲于奔命。因此，在这个暑假，准高三的学生应当优先在数学、英语、物理上补上缺漏，提升应试水平。同时学有余力的情况下，可以自行开始梳理其他科目的知识体系。虽说成功没有捷径，但是学霸的经验，我们是可以借鉴的，再一起来看看这位清华学霸假期送给学弟学妹们的8个走心建议吧!1.经验总结(1)苦累都不算事，有效的计划时间和学习态度;(2)把握“弯道时间”(假期收心，脚踏实地);(3)鼓励和自信以及高效的学习方法是垫脚石;(4)时间分配+错题本;(5)低谷怎么办?心态最重要;2.熟悉综合科合卷模式有人说“青春就是用来奋斗的”，有人说“青春就是用来挥霍的”，现在回想青葱岁月，更觉青春是为了找寻自我的，追寻无悔。9年前的我，初入高中，只知道一个字“学”，在炼狱般地衡中，没有一顿饭不是跑步前去食堂，没有一天不是跑操背书，没有一天的生活不是被规划和自我规划。有人说“衡中”生活太苦，衡中就是个监狱。没错，是监狱，没有一丝闲暇和自我时间，但就是在这里，几千学子奋笔疾书，起早贪黑地学习，要说智力水平，在我看来差别并没有太大，因为一切都被规定了，更重要的是学习方法和学习态度。在这里，你知道“比你聪明的学生比你还刻苦，”“笨鸟先飞”“勤能补拙”，“付出就有回报”，体现的淋漓尽致。天天有测，周周小测，月月大考，这样的节奏，让你连哀伤的时间都没有，考试成绩下滑了，没关系，马上还有证明自己的机会，就是这样一环一环，一步一步，没有喘息的生活，督促着我们一点点进步，一点点向前。就拿我自己说，高一分到的是普通班，学号是十几，不算差，自己也满足，但当数理化文史政，同时让你应付的时候，我第一次考试就滑到四十多名，心情很是压抑，对自己产生了怀疑，我也同样这么刻苦，时间没比别人少花，可成效并不大。其实最初没有意识到是学习效率和理解力的问题。我确实不是个聪明的孩子，但在老师眼里也算的上刻苦和努力。当把自己作为学习的机器，被考试分数奴役时，你做再多的努力也收效甚微。但如果端正自己的位置和态度，做学习的主人，由自己支配自己的学习时间和学习方法时，你会有横扫千军的感觉。3.改变不了环境，那就适应它成绩的不理想，过苦的生活，还有各项纪律检查等等给不适应这里环境的我们以极大的挑战，怎么办?没办法，逼着自己去适应，去调节，如果不逼一下自己，你永远不知道自己的潜力有多大。4.建立自信心记得文理分班的时候我的学号仍然是三十几，但此后的学号却一直在变化，二十几到十几再到几号，这一路除去自己不放弃自己外，踏踏实实听课，认认真真做题，每一个自己都安排的很满，每周自我反省，错题整理，题型回顾，周周必做的学习方式帮了很大的忙。其实更重要的一点是自信心的建立，从小数学就不好，属于勉强及格的一类，但对于文科生而言，得数学者的天下，所以数学是左右总成绩的重要科目。高一一年的数学并没有太大起色，但是感恩的是遇到一个很好的数学老师，他近花甲，要退休，他操着一口衡水地方方言。虽然总是嘲笑他的口音，但不得不敬佩老人家的敬业，是他每次考试鼓励说又进步了，哪怕进步一点点;是他提问我的次数增多了，是他旁敲侧击地夸我聪明，没错。就这样，我学数学的自信心上来了，就更愿意花时间和精力在上面，数学课对我来说就是享受，攻克数学题对我来说就是战胜的快感。就这样，一次次的数学从及格线，到百分以上，进而一百一，一百二，最后一路到高三的模拟考，数学得满分。5.认真对待每一科万事难逃认真二字，你如何对待它，它就反过来怎么对你，我是待数学如初恋的，它也没让我失望。高中毕业，我的数学改错本整整齐齐的共八大本，每一本都是用两种以上的颜色标记，红色是常错，易错，和重点，黑色是题目题型，蓝色是次重点，到现在我也舍不得丢掉曾经的记忆。记得每次考试前，我已经没有了看课本的习惯，所有的资料来源于改错本，在重点中再总结重点和记不牢的公式，考试前多看几遍，考试时所有的知识就像摆在眼前一样，用到哪块就选哪块就好了。其他科目的学习亦大同小异。因为本身爱读书，而且参加过各类作文比赛，写随笔，所以语文学习更多的是一种语感和积累，如果你能将所有知识都分门别类的储存在大脑里，用到哪里，就能随时拿出来，怎么可能不考高分呢?6.好记性不如烂笔头虽然很土，但却说出了真理，当你多写，多写，写着写着就记在脑子里了，知识莫过于反复和重复，这样做了又怎能很快忘掉?那些生僻字，那些诗词，那些描写手法，那些励志故事，人生小段，哪个不能应用于作文中?只要稍加转换，学会整合，就可以了。英语学习，说实话是我高中记忆中最平庸的一门，高考分数也只有132分，但因为从初中，英语成绩就还算可以，所以并未很投入，我的方法还是记与写。当时并不知道有哪些英文原版小说，最初的启蒙读物就是《书虫》，里面的名著故事，反反复复读了N遍也不厌烦，因为是双语就会对照比较学习，很有效的提高了自己的阅读水平和语感。而且会把题目中的阅读文段当精读对待，遇到生词，不熟的短语，常用用法等等都会积累下