新教材高考数学第九章平面解析几何6考点2双曲线的几何性质练习（含解析）（选修2）

考点2双曲线的几何性质（2018·北京卷（理））已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），双曲线N：x2m2－y2【解析】方法一双曲线N的渐近线方程为y＝±nmx，则nm＝tan60°＝3，∴双曲线N的离心率e1满足e12＝1＋n2由y=3x,x2a2如图，设D点的横坐标为x，由正六边形的性质得|ED|＝2x＝c，∴4x2＝c2.∴4a2b23a2+b2＝a2－b2，得3a4∴3－6b2a2－b2a∴椭圆M的离心率e2满足e22＝1－b2∴e2＝3－1.方法二双曲线N的渐近线方程为y＝±nmx则nm＝tan60°＝3又c1＝m2+n2＝2m，∴双曲线如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，设正六边形的边长为1，则|FC|＝2c2＝2，即c2＝1.又E为椭圆M上一点，则|EF|＋|EC|＝2a，即1＋3＝2a，∴a＝1+3∴椭圆M的离心率为c2a＝21+【答案】3－12（2018·浙江卷）双曲线x23－yA．（－2，0），（2，0） B．（－2,0），（2,0）C．（0，－2），（0，2） D．（0，－2），（0,2）【解析】∵双曲线方程为x23－y∴a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在x轴上，∴c＝a2+b即得该双曲线的焦点坐标为（－2,0），（2,0）．故选B．【答案】B（2018·天津卷（理））已知双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且A．x24－y212＝1 B．C．x23－y29＝1 D．【解析】如图，不妨设A在B的上方，则Ac,b2a，Bc,-b2a.其中的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝bc-b2又由e＝ca＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝3∴双曲线的方程为x23－故选C．【答案】C（2018·全国卷Ⅲ（理））设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝A．5B．2C．3D．2【解析】如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P′，连接P′F2，由题意可知，四边形PF1P′F2为平行四边形，且△PP′F2是直角三角形．因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝A．又|PF1|＝6a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以|F2P|＝2a＝b，所以c＝a2+b2＝3a，所以e＝【答案】C（2018·全国Ⅱ卷（理））双曲线x2a2－y2b2＝1（A．y＝±2x B．y＝±3xC．y＝±22x D．y＝±3【解析】双曲线x2a2－y2b又∵离心率ca＝a2+∴a2＋b2＝3a2，∴b＝2a（a＞0，b＞0）．∴渐近线方程为2ax±ay＝0，即y＝±2x.故选A．【答案】A（2018·全国Ⅰ卷（理））已知双曲线C：x23－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|A．3B．3C．23D．4【解析】由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±13x设两渐近线的夹角为2α，则有tanα＝13＝33，所以所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝3.则在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan2α＝3·tan60°＝3.故选B．【答案】B（2018·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b