自动控制原理第五章频域分析法

第1页，课件共187页，创作于2023年2月教学目的频域分析法是经典控制理论中针对控制系统频域模型的分析方法，讨论控制系统的频率特性，反映正弦信号作用下，系统响应的性能。通过本章学习，使学生们掌握频率特性的基本概念，掌握控制系统的频域分析方法，频率特性曲线的绘制方法，控制系统频率稳定判据和频域指标的估算。第2页，课件共187页，创作于2023年2月教学重点1、振荡环节的频率特性曲线2、开环幅相曲线绘制3、开环对数频率特性曲线4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据5、稳定裕度的概念第3页，课件共187页，创作于2023年2月教学内容1、频率特性的概念2、典型环节频率特性3、开环幅相曲线绘制方法，重点：开环对数频率特性曲线4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据5、稳定裕度的概念6、闭环系统的频域指标第4页，课件共187页，创作于2023年2月要求与学时1、掌握频域分析的基本概念，分析方法2、绘制开环频率特性，重点是绘制开环对数频率特性3、频率稳定判据，重点是用对数频率特性图（Bode图）分析系统的稳定性。4、稳定裕度与系统稳定性能的关系5、闭环系统的频域指标6、学时：12学时第5页，课件共187页，创作于2023年2月第五章第一次课一、频域分析的概念：掌握如下几种曲线的绘制和意义幅频曲线图、相频曲线图、幅－相曲线图、对数频率特性图（Bode图）。二、认识典型环节及开环频率特性曲线：幅相曲线、对数频率特性曲线。三、重点：振荡环节频率特性作业题：5－2、5－4、5－5思考题：5－7第6页，课件共187页，创作于2023年2月第五章第二次课一、开环幅－相曲线绘制概略绘制开环幅相曲线的三个要素：1.ω=0+和ω＝∞；2.幅相曲线与实轴的交点；3.幅相曲线的走向二、含积分环节的幅－相曲线的绘制三、开环对数频率特性的绘制作业：5－9、5－10第7页，课件共187页，创作于2023年2月第五章第三次课一、继续讲开环对数频率特性绘制方法二、最小相位系统与传递函数关系作业：5－11（1）（3）、5－12bc第8页，课件共187页，创作于2023年2月第五章第四次课一、频域稳定判据1.奈奎斯特判据基础2.幅角原理3.奈奎斯特判据4.正穿越、负穿越的含义作业：5－13、5－14（1）（3）（5）（7）（9）第9页，课件共187页，创作于2023年2月第五章第五次课一、对数频率稳定判据1.对数频率曲线与奈奎斯特曲线的对应关系2.在Bode图中，所谓的正穿越、负穿越的含义二、稳定裕度1.幅值裕度h2.相角裕度γ作业题：5－17、5－19思考题：5－18第10页，课件共187页，创作于2023年2月第五章第六次课一、闭环系统的频域指标1.尼科尔斯图线2.闭环系统频域指标与时域指标的转换二、本章小结作业：5－22、5－25第11页，课件共187页，创作于2023年2月第五章频率频域分析法频率响应法是以传递函数为基础的一种控制系统分析方法，与上一章介绍的根轨迹法一样，它也是一种工程方法。

能根据系统的开环频率特性图形直观地分析系统的闭环响应；还能判别某些环节或参数对系统性能的影响。

可以对基于物理模型的系统性能进行分析；还可以对来自于实验数据的系统进行有效分析。

不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。

研究的主要手段有极坐标图(Nyquist图)和伯德图(Bode图)法。

第12页，课件共187页，创作于2023年2月第一节频率特性二由实验方法求频率特性

正弦信号发生器

实验装置（系统或元件）

双踪示波器

图5－3求频率特性的实验方法

系统的幅频特性：

系统的相频特性：

第13页，课件共187页，创作于2023年2月5-2频率特性以RC网络为例，说明频率特性的基本概念。RCUiUo取拉氏变换，求网络的传递函数如果输入为正弦量：由电路分析，电路达到稳态时，输出也是以ω为角频率的正弦量。在传递函数中G(s)中，只要令s=jω，则可由⑴式得到⑵式。第14页，课件共187页，创作于2023年2月5-2频率特性控制系统的三种数学模型：微分方程、传递函数、频率特性可以相互转换，它们的关系见右图。第15页，课件共187页，创作于2023年2月频率特性的概念设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲线如下:40不结论给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。第16页，课件共187页，创作于2023年2月5-2频率特性频率特性定义：线性系统在正弦函数作用下，稳态输出与输入之比对频率关系的特性。由定义可知，只有系统在稳态时，才可能测出频率特性；对不稳定的系统，频率特性是观察不到的。由于G(s)是个复数，可分别求出其幅值和相角关系。它们都是角频率ω的函数，分别称为幅频特性和相频特性。第17页，课件共187页，创作于2023年2月5－2频率特性极坐标图示法是频率特性法分析中常采用的一种图解法。

当输入信号的频率ω由0->变化时，向量G(jω)的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动而形成的轨迹，称为极坐标图，又称为G(jω)的幅相特性或奈奎斯特(Nyquist)曲线，简称奈氏图。

实频特性虚频特性相频特性幅频特性第18页，课件共187页，创作于2023年2月5-2频率特性分别画出幅频特性A(ω)和相频特性Φ(ω)的曲线。ω=0A(ω)=1φ(ω)=0ω=∞A(ω)=0φ(ω)=－90°ω=1/TA(ω)=0.707φ(ω)=－45°A(ω)10.7071/TωΦ(ω)ω－45°－90°1/T第19页，课件共187页，创作于2023年2月频率特性频率特性也称频率响应，它是指系统或部件对不同频率的正弦输入信号的稳态响应特性。

一由传递函数求系统的频率响应第20页，课件共187页，创作于2023年2月频率特性对应的幅值和相角：

同理，可求得对应于2的|G(j2)|和(j2)

。

若对取所有可能的值，则可得到一系列相应的幅值和相位。其中幅值随频率变化而变化的特性称为系统的幅频特性。相角随频率变化而变化的特性称为系统的相频特性。

第21页，课件共187页，创作于2023年2月频率特性的几何表示法频率特性的几何表示法有：

1、幅频、相频特性曲线；

2、幅相曲线；

3、对数频率特性曲线（对数幅频、对数相频曲线）；

4、对数幅相曲线（Nichols曲线)一、幅频、相频特性曲线，前已介绍过，即以角频率ω为变量，分别作出A(ω)φ(ω)曲线。第22页，课件共187页，创作于2023年2月频率特性的几何表示法二、幅相曲线，以ω为参变量，将幅频、相频特性同时表示在复数平面上。实轴正方向为相角零度线。逆时针方向的角度为正角度；顺时针方向的角度为负角度。对于一个确定的ω值，必定有一个确定的幅值、相角与其对应。如：ω＝0A(ω)=1φ(ω)=0ω=∞A(ω)=0φ(ω)=－90°Im0ωω=01M(ω)θ(ω)Re幅相曲线反映了ω从0→∞幅值和相角变化的情况。第23页，课件共187页，创作于2023年2月习题1例设一线性系统的传递函数为

试绘制该系统的幅频和相频特性曲线。

解：传递函数零、极点的分布如图所示。

图5－1零、极点分布-1+j0-2+j4-2-j40j令s=j2代入不同的频率值，重复上述的计算，就可求得对应的一组|G(j)|和(j)值。

第24页，课件共187页，创作于2023年2月习题1幅度相角G=tf(10*[1,1],[1,4,20]);X=[];Y=[];w=logspace(-1,1,100);[x,y,w]=bode(G);……

第25页，课件共187页，创作于2023年2月习题2例试绘制下列开环传递函数的奈奎斯特曲线：

解：该开环系统由三个典型环节串联组成，它们的幅、相频率特性分别为：

因而开环系统的幅频特性，相频特性：第26页，课件共187页，创作于2023年2月习题2在MATLAB中，有专门的函数用于绘制开环系统的极坐标图：Nyquist。

g=tf(10,conv([1,1],[0.1,1]))Transferfunction:10-------------------0.1s^2+1.1s+1nyquist(g)第27页，课件共187页，创作于2023年2月频率特性的几何表示法频率特性的另一种图示法：对数坐标图。它不但计算简单，绘图容易，而且能直观地表明开环增益、时间常数等参数变化对系统性能的影响。

由对数幅频特性图和相频图两部分组成。对数幅频特性图的纵坐标为20lg|G(j)|，单位是分贝，用符号dB表示，常把用符号L()表示。相频图的纵坐标为()，单位是弧度或()。两张图的纵坐标均按线性分度，横坐标是角频率，常用lg分度，从而形成了半对数坐标系。

3.对数频率特性第28页，课件共187页，创作于2023年2月频率特性的几何表示法横坐标采用lg的对数坐标分度对于扩展频率特性的低频段，压缩高频段十分有效。在以分度的横坐标上，1到10的距离等于10到100的距离，这个距离表示十倍频程，用符号dec表示。对数幅频特性的“斜率”一般用分贝/十倍频（dB/dec）表示。对数坐标图又称伯德图或Bode图。

ω与lgω的关系：ω12345678910lgω00.30100.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541第29页，课件共187页，创作于2023年2月对数坐标系对数坐标图第30页，课件共187页，创作于2023年2月对数频率特性曲线第31页，课件共187页，创作于2023年2月对数频率特性曲线对数幅频、相频特性曲线的优点：1、在有限的坐标区域内表示广阔的频率范围2、将幅值的乘除运算化为加减运算，如：第32页，课件共187页，创作于2023年2月5－3典型环节和开环系统频率特性典型环节：一个复杂的系统总可以分解成几个典型环节的组合。典型环节分为两大类：1、最小相位环节：系统开环零、极点在左半s平面2、非最小相位环节：系统在右半s平面存在零、极点第33页，课件共187页，创作于2023年2月5－3典型环节和开环系统频率特性一、比例环节KRe0Im幅相曲线是实轴上坐标k点，如右图对数幅频、相频特性如右图：第34页，课件共187页，创作于2023年2月5－3典型环节和开环系统频率特性二、积分环节幅频特性与ω成反比，相频特性恒为－90°Imω=0对数幅频：L(ω)=－20lgω相频特性:φ(ω)=－90°ω=1L(ω)=0；ω=10L(ω)=－20ω=100L(ω)=－40ω=0.1L(ω)=20每当ω增加十倍，L(ω)减少20dB负20分贝十倍频程－20dB/dec第35页，课件共187页，创作于2023年2月5－3典型环节和开环系统频率特性如果传递函数中含有个积分环节，即，则它的对数幅频和相频表达式可分别写成由此可知是一簇斜率为-20dB/dec的直线，且在=1处，L()=20lgK，如图所示。这些不同斜率的直线通过0dB直线的频率为。10-1100101102103020406080100-40dB/dec0型系统2型系统1型系统

-20dB/dec-60dB/dec3型系统

K＝1000

＝0，1，2，3第36页，课件共187页，创作于2023年2月积分环节L(ω)①G(s)=1s②G(s)=10s1③G(s)=5s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-20][-20]第37页，课件共187页，创作于2023年2月5－3典型环节和开环系统频率特性三、微分环节ImRe0ω=0幅频特性与ω成正比，相频特性恒为90°对数幅频：L(ω)=20lgω相频特性:φ(ω)=90°ω=1L(ω)=0；ω=10L(ω)=20ω=100L(ω)=40ω=0.1L(ω)=－20微分环节是一条20dB/dec直线第38页，课件共187页，创作于2023年2月①G(s)=s②G(s)=2s③G(s)=0.1s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[+20][+20][+20]微分环节L(ω)第39页，课件共187页，创作于2023年2月5－3典型环节和开环系统频率特性四、惯性环节θ(ω)Im0ωω=01M(ω)Re0.5可以证明，惯性环节的幅相曲线是以（0.5，j0)为圆心，0.5为半径的半圆。分析幅相特性，当ω＝0时，幅值最大，|G(jω)|=1，因此输入信号无衰减，Ue(jω)=Ui(jω)；当ω＝∞时，幅值最小，

|G(jω)|=0。所以，惯性环节在低频范围内，信号容易通过，在高频范围内信号不容易通过。因此，它又称为“低通滤波器”，其最大滞后相角第40页，课件共187页，创作于2023年2月5－3典型环节和开环系统频率特性对数幅频特性、频特性：精确画出L(ω)曲线，是取ω从零到无穷时，计算出L(ω)，但工程上常用简便方法作图，而不急于代入数字逐点计算。先分析曲线的大致趋向：1、当ωT<<1时，即：ω<<1/T，这是一条与横轴重合的直线。2、当ωT>>1时，即ω>>1/T，每当ω增加十倍时，L(ω)减小20分贝所以，当频率很高时，对数幅频特性可用斜率为－20dB/dec的直线近似表示。第41页，课件共187页，创作于2023年2月5－3典型环节和开环系统频率特性3、当ωT＝1，即：ω＝1/T时，低频渐近线高频渐近线转折频率精确曲线综上所述，惯性环节的对数幅频特性右用二条直线近似表示，在0＜ω≤1/T的低频范围内，L(ω)是一条0分贝直线；在1/T＜ω＜∞的高频范围内，L(ω)是一条－20dB/dec直线；两条直线交于ωt＝1处，ω＝1/T称为交接频率。交接频率将近似对数幅频特性曲线分为二段：低频段和高频段。第42页，课件共187页，创作于2023年2月惯性环节G(jω)G(s)=0.5s+110.25ω2+1A(ω)=1φ(ω)=-tg-10.5ωj01Im[G(jω)]Re[G(jω)]ω00.51245820φo(ω)A(ω)01-14.50.97-26.60.89-450.71-63.4 -68.2 -76-840.45 0.37 0.24 0.05第43页，课件共187页，创作于2023年2月①G(s)=10.5s+1100②G(s)=s+5100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100惯性环节L(ω)[-20][-20]26dB0o-30o-45o-60o-90o第44页，课件共187页，创作于2023年2月5－3典型环节和开环系统频率特性五、振荡环节二阶系统当0<ξ<1时，系统是衰减振荡幅频特性第45页，课件共187页，创作于2023年2月5－3典型环节和开环系统频率特性幅频特性相频特性ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.1ω=0当ω＝0：|G(j0)|=1当ω＝∞：|G(j∞)|=0第46页，课件共187页，创作于2023年2月5－3典型环节和开环系统频率特性所以，振荡环节的幅相特性在复平面中以(1，j0)为起点，当ω→∞时，A(ω)=|G(j∞)|→0当ω=ωn(无阻尼自然振荡频率）时，幅值：相角：幅值随ξ减小而增大，当ξ小于某个值时，其幅值可能大于1，幅频特性出现谐振峰值Mr，谐振峰值对应的频率称为谐振频率ωr。第47页，课件共187页，创作于2023年2月5－3典型环节和开环系统频率特性通过求幅值A(ω)对ω的导数，可求出谐振频率和谐振峰值。谐振频率：谐振峰值：第48页，课件共187页，创作于2023年2月振荡环节G(jω)曲线（Nyquist曲线）0j1第49页，课件共187页，创作于2023年2月5－3典型环节和开环系统频率特性振荡环节的对数幅频特性所以，L(ω)≈-20lg1=0因此，低频段特性是零分贝线。每当ω增加十倍时，L(ω)减小40分贝，所以高频段是一条斜率为－40dB/dec直线。第50页，课件共187页，创作于2023年2月5－3典型环节和开环系统频率特性综上所述，振荡环节的对数幅频特性可以用二条直线近似表示在0<ω≤ωn的低频段范围内，L(ω)是一条零分贝直线；在ω>ωn的高频段范围内，L(ω)是一条－40dB/dec直线。ωnL(ω)ω-40dB/dec这二条直线可表示为：第51页，课件共187页，创作于2023年2月振荡环节L(ω)100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-40]第52页，课件共187页，创作于2023年2月振荡环节再分析0dBL(ω)dBω20lgkωnωr(0＜ξ＜0.707)[-40]0＜ξ＜0.5ξ=0.50.5＜ξ＜1友情提醒:φ(ωn)=-90o?2nn22nS2Sk(s)Gw+xw+w=ω=

r第53页，课件共187页，创作于2023年2月5－3典型环节和开环系统频率特性六．时滞环节

ImRe0ωω=01图5－10时滞环节奈氏图Re图5－11时滞环节与一阶惯性环节在低频段的等效性在低频区，时滞环节和惯性环节的频率特性很接近，因为：

Im0ωω=01ω第54页，课件共187页，创作于2023年2月5－3典型环节和开环系统频率特性六．时滞环节对数频率特性

第55页，课件共187页，创作于2023年2月5－3典型环节和开环系统频率特性六、关于一阶微分环节，二阶微分环节由于一阶微分环节和惯性环节，振荡环节和二阶微分环节的传递函数互为倒数，G1(s)=1/G2(s)

所以，一阶微分环节和惯性环节，振荡环节和二阶微分环节的对数幅频曲线关于0dB线对称；相频曲线关于0°线对称。第56页，课件共187页，创作于2023年2月5－3典型环节和开环系统频率特性七、关于最小相位环节与非最小相位环节⑴最小相位环节与非最小相位环节，它们的幅频特性相同，相频特性符号相反，幅相曲线关于实轴对称。⑵它们的对数幅频曲线相同，对数相频曲线关于0°线对称。大家可以按前面所讲的方法求证。第57页，课件共187页，创作于2023年2月5－3典型环节和开环系统频率特性八、关于对数幅频特性近似作图的误差在工程中为了简化作图，常用低频和高频段的渐近线近似表示对数幅频曲线，它们与精确曲线存在一定的误差。如：惯性环节，近似作图在ωT=1处，L(ω)=0，而根据精确作图，二者存在误差：ωT0.10.250.512410ΔL(ω)-0.04-0.32-1-3-1-0.32-0.04误差表如下：第58页，课件共187页，创作于2023年2月5－3典型环节和开环系统频率特性一阶惯性环节对数幅频特性能用其两条渐近线近似表示，则将使作图大为简化。但这两种表示方法会产生一定的误差，最大的幅值误差产生在转折频率处。由于渐近线易于绘制，且与精确曲线之间的误差较小，所以在初步设计时，环节的对数幅频曲线可用其渐近线表示。如果需要绘制其精确的对数幅频曲线，可按照图修正。

对数幅频特性表明该环节具有低通滤波器的特性。如果系统的输入信号中含有多种频率的谐波分量，那么在稳态时，系统的输出只能复现输入信号中的低频分量，其它高频分量的幅值将受到不同程度的衰减，频率越高的信号，其幅值的衰减量也越大。相频特性的绘制一般不用近似法，但也可用一些特殊点进行粗略绘制，然后逐点连接成曲线即可。第59页，课件共187页，创作于2023年2月5－3典型环节和开环系统频率特性二阶振荡环节的对数幅频特、渐近线

相角曲线

振荡环节的对数幅频曲线、相频曲线与ξ值的大小有关，所以，精确曲线与近似曲线之间的误差比较复杂。见下图第60页，课件共187页，创作于2023年2月5－3典型环节和开环系统频率特性九、关于对数坐标系中的直线方程对于近似作图，对数幅频曲线是用直线近似，则直线方程为：式中，[ω1，L(ω1)]，[ω2，L(ω2)]为直线上两点，k(dB/dec)为直线斜率。第61页，课件共187页，创作于2023年2月开环幅相曲线绘制系统的开环幅相特性有三种方法绘制：1.可按开环传递函数的极点－零点分布图用图解方法计算绘制。根据零、极点分布，取不同的ω值，分别计算出幅值和相角。ReImωPABO第62页，课件共187页，创作于2023年2月开环幅相曲线绘制2.列出开环幅频特性、相频特性的表达式，用解析法计算出幅值和相角各点的值，再绘图。3.概略绘制开环幅相曲线方法（着重介绍）概略绘制开环幅相曲线有三个要素：a.确定幅相曲线的起点(ω=0)和终点(ω=∞)b.确定幅相曲线与实轴的交点，设ω=ωx时，幅相曲线与实轴相交，则有：求出ωx值后，代入实部表达式Re[G(jωx)H(jωx)]得到实轴的交点。c.判断开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）第63页，课件共187页，创作于2023年2月开环幅相曲线绘制例：5－1概略绘制0型系统幅相曲线系统由一个比例环节、二个惯性环节组成。1.确定开环幅相曲线的起点和终点第64页，课件共187页，创作于2023年2月开环幅相曲线绘制2.确定开环幅相曲线与实轴的交点0ω=∞ω=0kωReIm令虚部j(T1+T2)ωx=0求得：ωx=0

说明系统的开环幅相曲线仅在ωx=0处与实轴有交点。3.由于惯性环节单调地从0°-90°,因为该系统有二个惯性环节，所以曲线变化范围为第四、第三象限(-180°)。第65页，课件共187页，创作于2023年2月开环幅相曲线绘制综上所述，概略绘制幅相曲线的步骤为：1.零型系统在ω=0时的幅值恰好是开环传递系统k。2.本例中是由两个惯性环节组成，因为惯性环节当ω=∞时，幅相曲线趋于0∠-90°。所以本例中当ω=∞时，幅相曲线趋于0∠2×(-90°)=0∠-180°。推而广之，若系统包含n个惯性环节，则ω=∞时，幅相曲线必然趋向于0∠n×(-90°)。3.如果系统还包含一阶微分环节(TS＋1)，因为ω→∞时，一阶微分环节相频特性从0→90°，所以，总的相频特性有如下特点：∠G(jω)=(m-n)90°,m：一阶微分环节个数；n：惯性环节个数。第66页，课件共187页，创作于2023年2月开环幅相曲线绘制例：5－2，绘制Ⅰ型系统幅相曲线系统由比例、积分和二个惯性环节组成由频率特性第67页，课件共187页，创作于2023年2月开环幅相曲线绘制幅相曲线在起点处的幅值与实轴的交点第68页，课件共187页，创作于2023年2月开环幅相曲线绘制综上所述，在ω=0处，Ⅰ型系统的幅相曲线从[-k(T1+T2)，∞]处起。Re[G(j0)]=-k(T1+T2)为系统的低频渐近线ωωω=0ω=∞ReIm①②由于系统分析时不需要准确知道渐近线的位置，故一般根据取渐线为坐标轴，如曲线②Ⅰ型系统的幅相特性从负虚轴方向无穷处地开始。高型号的幅相特性见P199图5－20因此，根据G(jω)的幅相曲线的起始位置可以判断系统的类型。第69页，课件共187页，创作于2023年2月第二节极坐标图1．0型系统

2．1型系统

3．2型系统

第70页，课件共187页，创作于2023年2月开环对数频率特性曲线因为开环系统传递函数可以看成由若干个典型环节串联组成。所以，其对数幅频特性相频特性开环系统的伯德图

第71页，课件共187页，创作于2023年2月第三节对数坐标图比较开环系统的极坐标方法，用伯德图表示的频率特性有如下优点：

（1）把幅频特性的乘除运算转变为加减运算。（2）在对系统作近似分析时，一般只需要画出对数幅频特性曲线的渐近线，从而大大简化了图形的绘制。（3）在采用实验方法时，可将测得系统（或环节）频率响应的数据画在半对数坐标纸上。

第72页，课件共187页，创作于2023年2月第三节对数坐标图一般绘制开环系统伯德图的步骤如下：

（1）写出开环频率特性的表达式，将其写成典型环节相乘的形式。

（2）将所含各环节的转折频率由小到大依次排列。如果存在比例环节和积分环节，由于它们没有转折频率，可以排在最左边。

第73页，课件共187页，创作于2023年2月第三节对数坐标图（3）绘制开环对数幅频曲线的渐近线。a)确定低频段上积分环节和比例环节的渐近线，其低频段的斜率为-20dB/dec，其中为积分环节数。

b)在=1处，L()=20lgK。

c)沿着频率增大的方向，每遇到一个转折频率就改变一次分段直线的斜率。-20dB/dec＋20dB/dec-40dB/dec第74页，课件共187页，创作于2023年2月第三节对数坐标图例5－4已知一反馈控制系统的开环传递函数为

试绘制开环系统的伯德图。

解：（1）系统的开环频率特性为

该系统是由比例、积分、微分和惯性环节所组成。

幅频特性相频特性第75页，课件共187页，创作于2023年2月第三节对数坐标图（2）系统的转折频率分别为2和10。

（3）作出该系统对数幅频特性曲线的渐近线。

在低频段，由于＝1，因而渐近线的斜率为－20dB/dec。在＝1处，其幅值为20lg10=20dB。当2时，由于惯性环节对信号幅值的衰减任用，使分段直线的斜率-20dB/dec变为-40dB/dec。同理，当10时，由于微分环节对信号幅值的提升作用，使分段直线的斜率由-40dB/dec变为-20dB/dec。（4）对幅频特性曲线进行修正。

（5）作系统相频特性曲线，可先求1～4，然后叠加。

第76页，课件共187页，创作于2023年2月第三节对数坐标图第77页，课件共187页，创作于2023年2月开环对数频率特性曲线例：某系统的开环传递函数绘制近似近似对数幅频曲线，相频曲线。解：该系统由三个典型环节组成，比例环节：7；积分环节：1/S；惯性环节：1/(0.087S+1)所以对数幅频特性：对数相频特性：分析对数幅频曲线：是一条直线是一条－20dB/dec直线，在ω=1处穿越0dB线第78页，课件共187页，创作于2023年2月开环对数频率特性曲线交接频率：ω=1/T=1/0.087=11.5(rad/s)当ω≤11.5时，L3(ω)=0当ω≥11.5时，L3(ω)为－20dB/dec直线分别作出L1(ω)、L2(ω)、L3(ω)，然后把三条曲线叠加起来。ω＜11.5时，惯性环节为0dB值，所以只有L1(ω)和L2(ω)相加。L

(ω)＝L1(ω)＋L2(ω)＝16.9－20lgω当ω＝1时，L

(1)＝16.9(dB)，过(1，16.9)作一条-20dB/dec直线，当ω≥11.5时，再与L3(ω)叠加，得到-40dB/dec直线。第79页，课件共187页，创作于2023年2月开环对数幅频曲线①L1(s)=7②L2(s)=1s③L3(s)=10.087s+11010.2L(ω)dBω0dB2040-40-20100L1(ω)L3(ω)11.5L

(ω)L2(ω)-20dB-20dB-20dB-40dB0dB第80页，课件共187页，创作于2023年2月开环对数频率特性曲线

由上述作图曲线，在开环对数频率特性近似作图时，可以以交按频率为界，将曲线分段为：－20dB/dec直线－40dB/dec直线第81页，课件共187页，创作于2023年2月开环对数频率特性曲线近似对数幅频曲线作图讨论：1.最左端直线的斜率为:－20dB/dec，这一斜率完全，由G(s)的积分环节数决定，Ⅰ型系统（一个积分环节）为－20dB/dec

Ⅱ型系统（二个积分环节）为－40dB/dec

ν型系统为－20νdB/dec

提问：0型系统的最左端直线的斜率是多少？2.最左端（低频段）直线与零分贝线的交点处的频率数值上恰好等于k，证明：第82页，课件共187页，创作于2023年2月开环对数频率特性曲线3.在ω＝1时，曲线的分贝值等于20lgk=20lg7，证明：4.在惯性环节的交接频率ω=11.5rad/s处，曲线斜率从－20dB/dec变化为－40dB/dec。第83页，课件共187页，创作于2023年2月开环对数频率特性曲线由以上讨论，可以推出，画近似对数幅频特性曲线有如下特点：1.对任意的开环传递函数，按典型环节分解成：2.将各环节的交接频率标注在对数坐标图的横轴上3.记ωmin为最小交接频率，ω<ωmin的频率范围为低频段4.低频段直线的斜率为－20νdB/dec，ν是积分环节个数，第84页，课件共187页，创作于2023年2月开环对数频率特性曲线5.为确定低频段直线，可取ω＝1则低频段直线或其延长线(在ω<1的频率范围内有交接频率)的分贝值是20lgk；低频段直线或其延长线与横坐标交点频率数值上等于证明：传递函数可以写成式中，G0(s)是G

(s)中除比例和积分两种环节外的其余部分。当G0(s)的交接频率ω’大于对数幅频曲线与横轴相交的频率ω时，ω’>ω，则：20lg|G0(s)|≈0第85页，课件共187页，创作于2023年2月开环对数频率特性曲线当频率为ω时，对数幅频特性曲线穿越横坐标时，L(ω)=0所以，低频段的对数幅频特性由下式决定：ω’ωL(s)ω第86页，课件共187页，创作于2023年2月开环对数频率特性曲线ω’ωL(s)ω如果ω’<ω，由近似对数幅频特性的作法，则曲线经过ω’时，其斜率要改变一次，在这种情况下，则是低频段直线的延长线与0分贝线交点频率满足第87页，课件共187页，创作于2023年2月开环对数频率特性曲线6.在交接频率处，曲线的斜率改变多少取决于典型环节种类，如：在惯性环节后，斜率减少20dB/dec，振荡环节后减少40dB/dec。提问：在一阶微分环节，二阶微分环节后近似对数频率特性的斜率如何改变？第88页，课件共187页，创作于2023年2月根据开环对数幅频特性确定传递函数在对数频率特性图上，如果最小相位系统和非最小相位系统的幅值特性相同，那么最小相位系统的相角变化范围比非最小相位系统小，而且最小相位系统的对数幅频特性曲线的变化趋势和其相频曲线的变化趋势是一致的。即对数幅频曲线的斜率减小时其相角变化也减小。因此，最小相位系统的对数幅频、相频特性之间有确定的关系。所以，利用对数频率特性分析最小相位系统时，可以根据对数幅频曲线来确定系统的传递函数。第89页，课件共187页，创作于2023年2月根据开环对数幅频特性确定传递函数如何根据对数频率特性来判断最小相位系统？设最小相位系统与非最小相位系统的传递函数分子、分母的最高次幂分别是：m和n，当ω→∞时，两个系统的对数幅频特性斜率都是－20(n－m)dB/dec，但相频曲线却不同。对于最小相位系统，ω→∞时，而对于非最小相位系统，则不满足上关系。第90页，课件共187页，创作于2023年2月5－4频率稳定判据在频域分析中，稳定判据有二种，Niquest判据和对数频率稳定判据。Niquest判据是根据开环幅相曲线判断闭环系统稳定性的一种准则。对数频率稳定性判据是根据开环系统的对数频率特性曲线判断闭环系统稳定性。第91页，课件共187页，创作于2023年2月5－4频率稳定判据回顾几种稳定判据：1.劳期－霍尔维茨判据，依据闭环系统的特征方程判断系统的稳定性。2.根轨迹法，依据开环传递函数，研究系统的稳定性。3.频率稳定判据的特点：a.当系统的开环传递函数表达式不知道时，就无法用劳期－霍尔维茨判据或根轨迹法来判断系统的稳定性，而用频率判据就很方便，因为开环系统的幅相频率特性和对数频率特性可通过实验求得。b.便于研究系统参数和结构变化对稳定性的影响。第92页，课件共187页，创作于2023年2月一、Niquest判据的数学基础设，系统结构图和传递函数为：G(s)H(s)－R(S)C(S)如果G(s)和H(s)无零、极点对消，则开环传递函数为：闭环传递函数：式中:是闭环传递函数的特征多项式Niquest判据是从研究闭环传递函数特征式与开环传递函数特征式之比的关系入手，寻找规律。第93页，课件共187页，创作于2023年2月一、Niquest判据的数学基础设辅助函数：因为在实际系统中，开环传递函数分子的最高次幂必定小于分母的最高次幂。即：

M1(s)的最高次幂小于N1(s)的最高次幂

M2(s)的最高次幂小于N2(s)的最高次幂所以，F(s)的分子的最高次幂与分母的最高次幂相同(都含有N1(s)N2(s))。第94页，课件共187页，创作于2023年2月一、Niquest判据的数学基础如果将F(s)的分子和分母进行分解，则：式中，zi、pi分别为辅助函数F(s)的零点和极点。第95页，课件共187页，创作于2023年2月一、Niquest判据的数学基础小结辅助函数F(s)的特点：1.F(s)的零点正是闭环传递函数的特征方程的特征根。2.F(s)的极点正是开环传递函数G(s)H(s)的特征方程的特征根。3.F(s)的零点、极点个数相同。4.F(s)与开环传递函数G(s)H(s)只差常数1，F(s)=1+G(s)H(s)第96页，课件共187页，创作于2023年2月奈奎斯特稳定判据—幅角原理由复数函数映射的概念F(s)的变量s是复数：s=δ+jβ，则F(s)是复变函数。如果s平面上的点表示自变量s的值，而用另一个平面F(s)上的点表示函数F(s)的值，那么，F(s)在几何上就可以视为是把s平面上的一个点集G，变到F(s)平面上的一个点集G＊的射。sF(s)GG＊所以，当s值发生变化时，F(s)也将发生变化，因为F(s)是复变函数，变化包括幅值和相角的变化。第97页，课件共187页，创作于2023年2月奈奎斯特稳定判据—幅角原理设在s平面上任选一点，绕F(s)的某一个零点zi顺时针沿闭合曲线Cs(Cs不包围也不通过任何极点和其他零点)转一周。平面××平面相应地F(s)在F(s)平面上绘出一条封闭曲线CF。CF相角变化是δ∠F(s)第98页，课件共187页，创作于2023年2月奈奎斯特稳定判据—幅角原理由于Cs绕zi顺时针一圈，所以δ∠(s－zi)=－2π，而其他零、极点的角度变化为零。上式分析表明，当一个质点在s平面上绕某个零点zi顺时针转一圈，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点顺时针转一圈；同理，在一个质点在s平面上绕某个极点pi顺时针转一圈，F(s)曲线绕原点逆时针转一圈。第99页，课件共187页，创作于2023年2月奈奎斯特稳定判据—幅角原理jωσos平面Cs曲线ImReoF(s)平面曲线

s平面上封闭曲线及其在F(s)平面上的映射线若在s平面上的闭合曲线按顺时针方向运动，在平面上的有对应的映射曲线，其运动方向取决于复变函数的相角变化。

从研究系统的稳定性出发，我们关心的是映射曲线的否包围平面的坐标原点以及围绕原点的方向和圈数，而非它的具体形状。

第100页，课件共187页，创作于2023年2月奈奎斯特稳定判据—幅角原理辐角原理

对于解析函数F(s)，如果s平面上的闭合曲线Cs不经过F(s)的任何极点和零点，以顺时针方向包围F(s)的Z个零点和P个极点，且则其在F(s)平面上的映射曲线CF将围绕着坐标原点旋转N周，其中N=Z-P。当N=0，表示曲线CF不包围坐标原点；当N>0，表示曲线CF以顺时针方向包围坐标原点；当N<0，表示曲线CF以逆时针方向包围坐标原点。

平面××平面第101页，课件共187页，创作于2023年2月奈奎斯特稳定判据二奈奎斯特稳定判据

C1C2σojωs平面R考虑到辐角定理中特征函数F(s)在右半s平面上的P个开环极点和Z个闭环极点，可将s平面上的闭合曲线Cs取为包围s的整个右半平面。这一闭合曲线称为奈奎斯特轨线。

当在虚轴上当→和s沿无穷大半圆运动时，s→，因为一般实际系统中的开环传递函数G(s)H(s)的nm，故有或常数（n=m）F(s)平面上的映射曲线CF是否包围坐标原点，只取决于奈氏轨线中C1部分的映射，即由轴的映射曲线来表征。

第102页，课件共187页，创作于2023年2月奈奎斯特稳定判据由于辅助函数F(s)＝1＋G(s)H(s)，与开环传递函数G(s)H(s)只差常数1。j01+1F(s)j0－1G(s)H(s)如果把F(s)平面中虚轴向右移动一个单位，就变成了G(s)H(s)平面的虚轴，于是把F(s)平面转化成为G(s)H(s)平面。F(s)平面的原点转化成为G(s)H(s)平面的(－1，j0)点，称为临界点那么CF曲线在F(s)平面上绕原点转过的圈数N，就转化成开环传递函数G(s)H(s)曲线在G(s)H(s)平面上绕临界点(－1，j0)转过的圈数。第103页，课件共187页，创作于2023年2月奈奎斯特稳定判据ReImo-1+j0FImReo-1+j0GH奈奎斯特稳定判据：

(1)如果开环系统是稳定的，即P＝0，则闭环系统稳定的充要条件G(j)H(j)是曲线不包围（－1，j0）点。

(2)如果开环系统不稳定，且已知有P个开环极点在s的右半平面，则闭环系统稳定的充要条件是G(j)H(j)曲线按逆时针方向围绕（－1，j0）点旋转P周。

N=P-Z第104页，课件共187页，创作于2023年2月奈奎斯特稳定判据应用奈氏判据判别闭环系统的稳定性的具体步骤为：

（1）作出开环系统的奈氏曲线G(j)H(j)。（2）计算奈氏曲线G(j)H(j)对点（－1，j0）按顺时针方向的包围圈数N。

（3）确定开环系统是否稳定，若不稳定，则确定开环系统在右半s平面上的极点数P。

（4）根据辐角原理确定Z是否为零。Z=P-N如果Z＝0，表示.闭环系统稳定；反之，Z0，表示该闭环系统不稳定。Z的数值反映了闭环特征方程式的根在s右半平面上的个数。第105页，课件共187页，创作于2023年2月奈奎斯特稳定判据用奈奎斯特判据判断反馈系统稳定时，一般只绘制ω从0→∞时的开环幅相曲线，然后按其包围临界点圈数N（反时针方向包围时N为正，顺时针方向包围时N为负）和开环传递函数在右半s平面上的极点数p，根据公式Z=P－2N，确定闭环特征方程的正实部根的个数。如果Z等于零，闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。第106页，课件共187页，创作于2023年2月奈奎斯特稳定判据

幅相曲线包围（－1，j0）点，也可以根据ω从0→∞时，幅相曲线自下向上或自上向下穿越实轴（－∞，－1）的次数决定。定义：正穿越：随ω增加，开环幅相曲线在(－∞，－1)区间自上向下穿越负实轴为正穿越。记为N＋－1＋1j半次正穿越：从实轴区间(－∞，－1)开始向下，称为半次正穿越。－1＋1j类似地还有负穿越，半次负穿越N－，则：N=N+－N－第107页，课件共187页，创作于2023年2月3、对数频率稳定判据对数频率稳定判据和奈奎期特判据本质相同，只不过对数频率稳定判据是按对数幅频、相频曲线的相互关系来确定公式：Z=P－2N中的N值。先看看幅相曲线与对对数幅频、相频曲线之间的对应关系：设幅相曲线在ω=ωc时穿越临界点，ωc称为截止频率。在临界点对应的对数幅频特性在幅相曲线A(ω)>>1处穿越负实轴，由于负实轴对应的相角是-180°，则对应于对数幅频特性在L(ω)>0时，对数相频特性穿越-180°线。第108页，课件共187页，创作于2023年2月3、对数频率稳定判据所以，正、负穿越数完全可以根据对数幅频曲线在大于0dB的频率范围内，对数相频曲线穿越－180°线的次数确定。(1）GH平面上单位圆的圆周与对数坐标图上的0dB线相对应，单位圆的外部对应于L()>0dB，单位圆的内部对应于L()<0dB。

(2）GH平面上的负实轴与对数坐标图上的=-180线相对应。

ababN-和N+的概念负穿越正穿越第109页，课件共187页，创作于2023年2月3、对数频率稳定判据如果开环系统包含积分环节时，在幅相曲线上从G(j0+)H(j0+)起逆时针补作一条υ×90°圆弧。对应的，在对数相频图上，从ω较小φ(ω0+)且L(ω)>0的地方，向上补作一条υ×90°的虚线。如果开环系统包含等幅振荡环节，则需要从对数相频特性曲线φ(ω0-)处向上补作一条υ×180°的虚线至φ(ω0＋)第110页，课件共187页，创作于2023年2月3、对数频率稳定判据对数频率稳定判据：一个反馈控制系统其闭环特征方程正实部根的个数z，可以根据开环传递函数在右半s平面极点数p和开环幅特性为正值(L(ω)>0)的所有频率范围内，对数相频曲线与－180°线的正、负穿越次数之差N＝N+－N－来确定。Z=P－2N，当Z=0时，闭环系统稳定，否则系统不稳定。第111页，课件共187页，创作于2023年2月3、对数频率稳定判据例：一反馈系统，其开环传递函数用对数频率稳定判据判断系统稳定性。L(ω)ω解：作对数幅频和相频曲线，如图ωΦ(ω)0°-90°-180°由于G(s)H(s)有二个积分环节，所以在对数相频曲线ω很小处补画一条0°～180°的虚线作为对数相频曲线的一部分。第112页，课件共187页，创作于2023年2月3、对数频率稳定判据由对数相频特性：由开环传递函数：所以，在右半s平面无开环极点p=0所以系统不稳定，且闭环系统特征方程在右半s平面有二个根。第113页，课件共187页，创作于2023年2月5－5稳定裕度－幅值裕度当幅相曲线穿过(－1，j0)临界点时，闭环系统临界稳定，而幅相曲线相对于临界点的位置，反映了系统的相对稳定性。曲线离临界点越远，系统的相对稳定性就越好。稳定裕度用二个指标衡量：相角裕度γ，幅值裕度h对于开环稳定的系统，要求闭环系统G(j)H(j)有一定的稳定性，不仅要求的幅频特性不包围（－1，j0）点，而且应与该点有一定的距离，即有一定的稳定裕量。

不稳定临界稳定稳定第114页，课件共187页，创作于2023年2月稳定裕度

若z=p-2N中p=0,则G(jω)过(-1,j0)点时，系统临界稳定，见下图：G(jω)曲线过(-1,j0)点时，G(jω)=1同时成立！特点：∠

G(jω)

=-180o0j1-1G(jω)第115页，课件共187页，创作于2023年2月稳定裕度1、稳定裕度h的定义：在幅相曲线上，相角为－180°时对应的幅值的倒数。ω－1ωxj+1幅值裕度h的含义：对于闭环稳定系，如果系统开环幅频特性再增大h倍，则系统就处于临界稳定状态。即：h×|G(jωx)H(jωx)|=1时，曲线经过(－1，j0)点。第116页，课件共187页，创作于2023年2月稳定裕度如果开环曲线在(－1，j0)之间多次穿越负实轴，那么应用最接近(－1，j0)点的那个穿越点计算幅值裕度|G(-1，j0)H(-1，j0)|。ω-1第117页，课件共187页，创作于2023年2月5－5稳定裕度－相角裕度仅有幅值裕度h还不足以表示所有系统和稳定程度，如图，曲线A、B具有相同的幅值裕度，但曲线A代表的系统比曲线B代表的系统的稳定裕度要好，引入相角裕度γ能说明这一点。AB第118页，课件共187页，创作于2023年2月5－5稳定裕度－相角裕度相角裕度γ的含义：使系统达到临界稳定尚可增加的滞后相角。ωcωxj01γG(jω)∠G(jωc)-1相角裕度γ定义为：180°加上开环幅相曲线幅值为1时的相角。γ=180°+∠G(jωc)H(jωc)ωc：截止频率相角裕度γ的确定，在幅相曲线图上作一个单位圆，幅相曲线与单位圆交点即为幅相曲线幅值为1的点，该交点与坐标原点连线组成的角即为γ。第119页，课件共187页，创作于2023年2月5－5稳定裕度－相角裕度如果幅相曲线在第三象限内与单位圆相交多次，那么应用最接近负实轴的那个交点计算γ值。j01γ-1由相角裕度γ的定义，当开环传递函数在右半s平面无极点p=0，若γ>0系统稳定(说明幅相曲线不包围临界点)；若γ<0则系统不稳定。为什么？因为γ<0说明∠G(jωc)H(jωc)小于-180°，幅相曲线以(-∞，-1)之间有一次负穿越，N-=1，则N=1，Z=P－2N=2，所以系统不稳定。第120页，课件共187页，创作于2023年2月5－5稳定裕度幅值裕度h和相角裕度γ也可以从对数幅频、相频曲线求得。开环幅相频率特性与对数幅频、相频曲线有如下对应关系：1.幅相曲线图上以原点为圆心的单位圆，对应于对数幅频特性图上的零分贝线。|G

(jωc)H(jωc)|＝1时，20lg|G

(jωc)H(jωc)|=02.幅相曲线幅值大于1，即曲线单位圆外，在Bode图上表示正的分贝值；幅相曲线幅值小于1，即曲线单位圆内，在Bode图上表示负的分贝值。所以幅相曲线穿越单位圆，对应对数幅频曲线穿越0dB线。3.幅相曲线图上的负实轴对应-180°，对应对数相频图上为-180°线，所以幅相曲线穿越负实轴，对应于对数相频特性穿越-180°线。第121页，课件共187页，创作于2023年2月5－5稳定裕度1.对数幅频曲线穿越0分贝线时的相角小于-180°，则系统不稳定。根据以上对应关系，可以在对数坐标图上判别最小相位系统的稳定性和确定其稳定裕度的方法。第122页，课件共187页，创作于2023年2月5－5稳定裕度2.对数幅频曲线穿越0分贝线时，相角大于-180°，则系统稳定。第123页，课件共187页，创作于2023年2月5－5稳定裕度3.对数相频特性穿越-180°时，对数幅值为正L(ω)>0，则系统不稳定。第124页，课件共187页，创作于2023年2月5－5稳定裕度4.相角曲线穿越-180°线时，L(ω)＜0，则系统稳定，此时的对数值即为幅值裕度h的分贝值。γ20lgh(dB)第125页，课件共187页，创作于2023年2月5－5稳定裕度幅值裕度h，相角裕度γ在对数特性图上和幅相曲线图上分别表示如下图：ωxωcj01γG(jω)H(jω)∠G(jωc)H(jωc)-1|

G(jωx)H(jωx)|=1/hγ20lgh(dB)第126页，课件共187页，创作于2023年2月5－5稳定裕度例：单位反馈系统开环幅相曲线如图(k=10,p=0,υ=1)，试确定系统闭环稳定时k值的范围。解：开环幅相曲线与负实轴有三个交点，设交点处穿越频率分别为ω1、ω2、ω3。设：开环传递函数为G1(s)为不含比例、积分、微分以外的其他典型环节频率特性：－0.5－1－1.5ωj-2第127页，课件共187页，创作于2023年2月5－5稳定裕度当k=10时，由曲线图设：曲线在临界点的比例系数为ki，ω=ωi；即第128页，课件共187页，创作于2023年2月5－5稳定裕度比较(1)式和(2)式得：求得：k1=5；k2=20/3；k3=20－1－1－1－10＜k＜k1K1＜k＜k2K2＜k＜k3K＞k3那个系统稳定？(1)、(3)、为什么？第129页，课件共187页，创作于2023年2月5－6闭环系统的频域指标控制系统中最直接的性能指标是时域指标。但频域分析法中涉及到的一些重要特征值，如开环频率特中的相位裕量、增益裕量；闭环频率特性中的谐振峰值、频带宽度和谐振频率等与控制系统的瞬态响应和稳态误差存在着间接或直接的关系。第130页，课件共187页，创作于2023年2月5－6闭环系统的频域指标1.控制系统的频带宽度：设系统闭环频率特性如下图，当闭环幅频特性下降到频率为0时的分贝值以下3分贝时，对应的频率称为带宽频率，记为ωb。系统的频带宽度反映了系统复现输入信号的能力，具有宽的带宽的系统，其瞬态响应的速度快，调整的时间小。

闭环频率特性的谐振峰值Mr与谐振频率r

截止频率b和频带宽度0

bΦ(ω)由频带图看出，当ω＞ωb时，L(ω)<20lg|φ(ω)|－3。第131页，课件共187页，创作于2023年2月5－6闭环系统的频域指标对于一阶系统和二阶系统，带宽和系统参数具有确定的解析关系一阶系统：二阶系统：（如何求证？）一阶系统的带宽和时间常数T成反比，二阶系统的带宽和自然频率ωn成正比。带宽是频域分析中的一项重要指标，带宽大，表明系统能通过较宽的频率信号，带宽小，则系统只能通过较低的信号。带宽大的系统，一方面重现输入信号的能力强，而另一方面，抑制高频噪声的能力就弱。第132页，课件共187页，创作于2023年2月5－6闭环系统的频域指标系统的单位响应速度和带宽成正比。以一阶系统的上升时间为例带宽ωb大，则上升时间tr小，系统响应速度快两系统的闭环对数幅频特性

两系统的单位阶跃响应曲线

系统I系统II试比较两个系统带宽的大小，并验证具有较大带宽的系统比具有较小带宽的系统响应速度快，对输入信号的跟随性能好。第133页，课件共187页，创作于2023年2月5－6闭环系统的频域指标2.确定闭环频率特性的图解方法：尼科尔斯(Nichols)图线法是获得闭环频率特性和频域指标的一种常用方法。Nichols图线设单位反馈系统的开环频率特性为：则单位反馈系统的闭环频率特性为：整理得：第134页，课件共187页，创作于2023年2月5－6闭环系统的频域指标欧拉公式展开成三角形式：整理：考虑等式右边的虚部等于零，即：求得：两边取对数第135页，课件共187页，创作于2023年2月5－6闭环系统的频域指标讨论：P225图5－48第136页，课件共187页，创作于2023年2月5－6闭环系统的频域指标再由将右边的分子、分母都除以得：用欧拉公式展开：幅值表达：求出A：取对数第137页，课件共187页，创作于2023年2月5－6闭环系统的频域指标上式中，M是闭环传递函数的幅。当取M为某一常数时，令变动M，则得到等M线簇。等M线关于线轴对称。第138页，课件共187页，创作于2023年2月5－6闭环系统的频域指标3.闭环系统频域指标和时域指标的转换系统时域指标物理意义明确、直观，而开环频域指标相角裕度和γ截止频率ωc的大小在很大程度上决定了系统的性能，因工程上常用γ和ωc来估算系统时域性能指标。相角裕度γ与超调量δ%，调节时间ts存在内在联系。对于二阶系统，相角裕度与时域指标有确定的关系。对于高阶系统，相角裕度与时域指标没有确定的函数关系，但对于大多数实际系统，相角裕度相同的系统，其时域指标差别也有限，因此可以用相角裕度来粗略估算时域指标。第139页，课件共187页，创作于2023年2月5－6闭环系统的频域指标由γ确定二阶系统时域指标，设二阶系统开环传递函数:ωcωxj01γG(jω)∠G(jωc)-1作出开环幅相图，由相角裕度的定义，开环幅相曲线与单位圆交点处的频率称为截止频率ωc。所以，在ω=ωn时，开环频率特性为第140页，课件共187页，创作于2023年2月5－6闭环系统的频域指标方程两边同时平方，解此方程得：解以为变量的一元二次方程式第141页，课件共187页，创作于2023年2月5－6闭环系统的频域指标再由相角裕度的定义：第142页，课件共187页，创作于2023年2月5－6闭环系统的频域指标从（5－120式）可知，γ与阻尼比ζ存在一一对应的关系，见p225图5－48，ζ越大，γ就越大，为了使系统具有良好的动态特性，一般希望：30°≤γ≤70°由γ估算时域指标方法：1）根据要求的相角裕度γ，从图5－48查出ζ；2）由ζ可求出超调量或从p89图3－13中查出δ%值。

第143页，课件共187页，创作于2023年2月5－6闭环系统的频域指标如何求ωn?设系统开环传递函数:从近似对数幅频图上，ω1ω2ω3ω1=kω2=1/T曲线在ω1，ω2之间穿越0dB线。第144页，课件共187页，创作于2023年2月5－6闭环系统的频域指标对于高阶系统，开环频域指标与时域指标不存在解析关系式，通过大量研究，归纳出几个近似估算公式。第145页，课件共187页，创作于2023年2月小结1、频率分析法是在频域内应用图解法分析控制系统性能的一种工程方法。2、频率特性是指线性系统在正弦输入信号作用下的稳态输出与输入之比。

3、对于最小相位系统，由于其幅频特性和相频特性之间有着唯一的对应关系，因而可仅根据其对数幅频特性曲线写出对应系统的传递函数。

第146页，课件共187页，创作于2023年2月4、奈奎斯特稳定判据是根据开环频率特性曲线围绕点的情况和开环传递函数在s右半平面的极点数来判定对应闭环系统的稳定性

5、开环系统的对数幅频特性曲线是控制系统分析和设计的重要工具。

6、由于存在系统内部参数和外界环境的变化可能对系统稳定性产生影响，在设计中一般要求系统不仅能稳定地工作，而且还应有足够的稳定裕量。

第147页，课件共187页，创作于2023年2月习题4例系统的开环传递函数为

试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。

解：当ω由-->变化时，G(j)H(j)曲线如图所示。因为G(j)H(j)的开环极点为－0.5，－1，－2，在s的右半平面上没有任何极点，即P＝0，由图可知，由于奈氏曲线不包围（－1，j0）这点，即N＝0，则Z＝N＋P＝0。这表示该闭环系统是稳定的。

第148页，课件共187页，创作于2023年2月习题5例反馈控制系统开环传函数为

试判别该系统的稳定性。

解：由于该系统为I型系统，它在坐标原点处有一个开环极点，因而在s上所取的奈氏轨线应如图。该图的C2部分在GH平面上的映射曲线为一半径为无穷大的半圆。

σojω∞

GH平面(a)I型系统a’b’c’由图知N＝2，而系统的P＝0，因而Z＝2，即闭环系统不稳定，且有两个闭环极点位于s的右半平面。

第149页，课件共187页，创作于2023年2月习题6例5－7已知系统的开环传递函数为

试分析时间常数T1和T2的相对大小对系统稳定性的影响，并画出它们所对应的奈氏图。

解：

T1<T2T1=T2T1>T2稳定临界稳定不稳定第150页，课件共187页，创作于2023年2月第四节奈奎斯特稳定判据3．具有时滞环节的稳定性分析

由于时滞系统的开环传递函数中存在的环节，其闭环特征方程为一超越方程，因而劳斯稳定判据就不再适用。但是，奈氏稳定判据仍能较方便地对这类系统的稳定性进行判别。

则开环系统的幅频特性和相频特性为：

第151页，课件共187页，创作于2023年2月第四节奈奎斯特稳定判据由于实际的控制系统中，n>m，因此当时，G1(j)H1(j)的模趋于零，因而G(j)H(j)随着由0以螺旋形趋于原点，并且与GH平面的负半轴相交无穷多点，如图所示。因此为使系统稳定，奈氏曲线与负实轴的第一个相交点必须位于（－1，j0）的右边。

G1(j)H1(j)G(j)H(j)第152页，课件共187页，创作于2023年2月第四节奈奎斯特稳定判据例5－7设一时滞控制系统如

－R(s)C(s)＋G1(s)e-s试分析滞后时间对系统稳定性的影响。

解：系统的开环传递函数为(-1,j0)GH平面Im()Re()不稳定临界稳定稳定第153页，课件共187页，创作于2023年2月第五章相对稳定性分析例5－10已知一单位反馈系统的开环传递函数为

试求：（1）K＝1时系统的相位裕量和增益裕量。（2）要求通过增益K的调整，使系统的增益裕量20lgKdB，相位裕量40。

解：（1）基于在g处的开环频率特性的相角为

在g处的开环对数幅值为

第154页，课件共187页，创作于2023年2月第五章相对稳定性分析则根据K＝1时的开环系统传递函数，可知系统的c＝1，从而

用MATLAB直接求解

g=tf(1,conv([1,0],conv([0.2,1],[0.05,1])))；margin(g)第155页，课件共187页，创作于2023年2月第五章相对稳定性分析在g=10处的对数幅值为

K＝2.5

利用三角函数的性质，可求得

因此当K取2.5就能同时满足Kg和的要求。

第156页，课件共187页，创作于2023年2月第五章相对稳定性分析三对数幅频特性中频段与系统动态性能的关系

在分析控制系统的开环对数幅相频率特性时，习惯上将频率范围分为三个频段：低频段、中频段和高频段。其中低频段反映了控制系统的静态特性；中频段则反映了系统的动态特性；高频段则主要反映了系统的抗干扰能力，对动态性能影响不大

低频段中频段高频段第157页，课件共187页，创作于2023年2月第五章相对稳定性分析中频段的主要参数有：剪切频率c、相位裕量和中频宽度h。

中频宽度h一般定义在斜率等于－20dB/dec且靠近c处：

一般要求最小相位系统的开环对数幅频特性在c处的斜率等于－20dB/dec。如果在该处的斜率等于