质点动力学的基本方程

质点动力学的基本方程1第1页，课件共50页，创作于2023年2月§11-1动力学的基本定律

第一定律(惯性定律):不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。第二定律重力力的单位:牛[顿],第三定律

(作用与反作用定律):

两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。2第2页，课件共50页，创作于2023年2月§11-2质点的运动微分方程1、在直角坐标轴上的投影或质点动力学的基本方程3第3页，课件共50页，创作于2023年2月2、在自然轴上的投影

由有4第4页，课件共50页，创作于2023年2月§11-3质点动力学的两类基本问题第一类问题：已知运动求力.第二类问题：已知力求运动.混合问题：第一类与第二类问题的混合.5第5页，课件共50页，创作于2023年2月

设电梯以不变的加速度a

上升,求放在电梯地板上重W的物块M

对地板的压力。解:将物体

M

看成为自由质点,它受重力

W

和地板约束力

FN

的作用。ma=FN

W注意到m=W/g,则由上式解得M给地板的压力F'N与地板约束力FN等值而反向。MaMFNWx例题11-1例题

第一类问题：已知运动求力.6第6页，课件共50页，创作于2023年2月例题11-1上式第一部分称为静压力，第二部分称为附加动压力，F'N称为动压力。令则n＞1,动压力大于静力，这种现象称为超重。n＜1,动压力小于静力，这种现象称为失重。MaMFNWx例题

第一类问题：已知运动求力.7第7页，课件共50页，创作于2023年2月单摆

M

的摆锤重

W

,绳长

l

,悬于固定点

O

,绳的质量不计。设开始时绳与铅垂线成偏角0

≤

/2

,并被无初速释放，求绳中拉力的最大值。例题11-2OMM0φφ0例题第一类问题：已知运动求力.8第8页，课件共50页，创作于2023年2月解:采用自然形式的运动微分方程。任意瞬时，质点的加速度在切向和法向的投影为写出质点的自然形式的运动微分方程例题11-2考虑到则式(1)化成OMM0φφ0enetanatOMM0φφ0FWanat例题

第一类问题：已知运动求力.9第9页，课件共50页，创作于2023年2月对上式采用定积分,把初条件作为积分下限从而得F=W(3cos2cos0)显然,当质点M到达最低位置=0时,有最大值。故

Fmax=W(32cos0)例题11-2把式(4)代入式

，有例题

第一类问题：已知运动求力.10第10页，课件共50页，创作于2023年2月例题11-3

小球质量为m，悬挂于长为l的细绳上，绳重不计。小球在铅垂面内摆动时，在最低处的速度为v；摆到最高处时，绳与铅垂线夹角为φ，如图所示，此时小球速度为零。试分别计算小球在最低和最高位置时绳的拉力。Oφvv=0例题

第一类问题：已知运动求力.11第11页，课件共50页，创作于2023年2月小球作圆周运动，受有重力W=mg和绳拉力F1。在最低处有法向加速度，由质点运动微分方程沿法向的投影式，有则绳拉力小球在最高处φ角时，速度为零，法向加速度为零，则其运动微分方程沿法向投影式为则绳拉力解:Oφvv=0mgmgF1F2例题11-3例题

第一类问题：已知运动求力.12第12页，课件共50页，创作于2023年2月曲柄连杆机构如图所示。曲柄OA以匀角速度ω转动，OA=r，AB=l，当λ=r/l比较小时，以O为坐标原点，滑块B的运动方程可近似写为如滑块的质量为m，忽略摩擦及连杆AB的质量，试求当和时，连杆AB所受的力。xyOABφβω例题11-4例题

第一类问题：已知运动求力.13第13页，课件共50页，创作于2023年2月例题11-4

以滑块B为研究对象，当φ=ωt时，受力如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连杆质量，AB为二力杆，它对滑块B的拉力F沿AB方向。由题设的运动方程，可以求得当时，且，得AB杆受的拉力xBmgFNFβ解：写出滑块沿x轴的运动微分方程xyOABφβω例题

第一类问题：已知运动求力.14第14页，课件共50页，创作于2023年2月例题11-4得

时，而，AB杆受压力。xBmgFNFβ则有xyOABφβω例题

第一类问题：已知运动求力.15第15页，课件共50页，创作于2023年2月质量是

m

的物体

M

在均匀重力场中沿铅直线由静止下落，受到空气阻力的作用。假定阻力FR

与速度平方成比例，即

FR=cv2

，阻力系数

c

单位取kg·m－1，数值由试验测定，试求物体的运动规律。例题11-5xxFRmgvM例题

第二类问题：已知力求运动.1、力是速度函数的情形16第16页，课件共50页，创作于2023年2月解：取坐标轴Ox铅直向下，原点在物体的初始位置。写出物体

M的运动微分方程。以

m除式(1)两端,并代入

v0

的值,得xxFRmgv当时，加速度为零。这个v1就是物体的极限速度。例题11-5M例题

第二类问题：已知力求运动.17第17页，课件共50页，创作于2023年2月分离变量,并取定积分,有由上式求解v，得于是物体速度随时间而变化的规律为th是双曲正切。例题11-5例题

第二类问题：已知力求运动.18第18页，课件共50页，创作于2023年2月于是求得物体的运动方程为为了求出物体的运动规律，只需把(3)再积分一次，有例题11-5例题

第二类问题：已知力求运动.19第19页，课件共50页，创作于2023年2月质量为m的小球以水平速度v0射入静水之中，如图所示。如水对小球的阻力F与小球速度v的方向相反，而大小成正比，即F=-cv。c为阻力系数。忽略水对小球的浮力，试分析小球在重力和阻力作用下的运动。xyxmaxv0vFmgOM例题11-6例题

第二类问题：已知力求运动.1、力是速度函数的情形20第20页，课件共50页，创作于2023年2月小球在任意位置M处，受力有重力mg和阻力F=

–cvxi–cvyj。为求vx，vy将上两式分离变量，得解：小球沿x，y轴的运动微分方程为xyxmaxv0vFmgOM例题11-6例题

第二类问题：已知力求运动.21第21页，课件共50页，创作于2023年2月上两式的不定积分为按题意，t=0时，vx=v0，vy=0。代入上两式求得两个定分积常数将C1值代入式改写为可得xyxmaxv0vFmgOM例题11-6例题

第二类问题：已知力求运动.22第22页，课件共50页，创作于2023年2月整理为或可得将D1值代入式可得可得

xyxmaxv0vFmgOM例题11-6例题

第二类问题：已知力求运动.23第23页，课件共50页，创作于2023年2月取初始位置为坐标原点，即t=0时，x=y=0。代入上两式，求得常数再积分得xyxmaxv0vFmgOM例题11-6例题

第二类问题：已知力求运动.24第24页，课件共50页，创作于2023年2月则质点的运动方程为如忽略介质阻力，应有μ=0。当μ→0时，质点的运动方程为xyxmaxv0vFmgOM例题11-6例题

第二类问题：已知力求运动.25第25页，课件共50页，创作于2023年2月例题11-7质量为m的质点带有电荷e，以速度v0进入强度按E=Acoskt变化的均匀电场中，初速度方向与电场强度垂直，如图所示。质点在电场中受力F=-eE作用。已知常数A，k，忽略质点的重力，试求质点的运动轨迹。交流电源平板电容器xyOmv0vF质点运动轨迹E例题

第二类问题：已知力求运动.2、力是时间函数的情形26第26页，课件共50页，创作于2023年2月例题11-7取质点的初始位置O为坐标原点，取x，y轴如图所示，而z轴与x

，y轴垂直。于是力在三轴上投影为Fx=Fz=0因为力和初速度在z轴上的投影均等于零，质心的轨迹必定在Oxy平面内。写出质心运动微分方程在x轴和y轴上的投影式解：交流电源平板电容器xyOmv0vF质点运动轨迹E例题

第二类问题：已知力求运动.27第27页，课件共50页，创作于2023年2月例题11-7得按题意，时，以此为下限，式和交流电源平板电容器xyOmv0vF质点运动轨迹E的定积分分别为例题

第二类问题：已知力求运动.28第28页，课件共50页，创作于2023年2月从以上两式中消去时间t，得轨迹方程轨迹为余弦曲线，如图所示。对以上两式分离变量，并以t=0时，x=y=0为下限，做定积分交流电源平板电容器xyOmv0vF质点运动轨迹E得质点运动方程例题11-7例题

第二类问题：已知力求运动.29第29页，课件共50页，创作于2023年2月物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块质量为m，弹簧刚度系数为k。在弹簧拉长变形量为a时，释放物块。求物块的运动规律。mOxFx例题11-8例题

第二类问题：已知力求运动.3、力是坐标函数的情形30第30页，课件共50页，创作于2023年2月或上式化为自由振动微分方程的标准形式解：以弹簧未变形处为坐标原点O，物块在任意坐标x处弹簧变形量为│x│

，弹簧力大小为，并指向点O，如图所示。则此物块沿x轴的运动微分方程为令mOxFx例题11-8例题

第二类问题：已知力求运动.31第31页，课件共50页，创作于2023年2月此微分方程的解可写为由此解出mOxFx其中A，θ为任意常数，应由运动的初始条件决定。由题意，取x=a处的时间为t=0，且此时有。代入上式，有例题11-8例题

第二类问题：已知力求运动.32第32页，课件共50页，创作于2023年2月代入则此物块的运动方程为可见此物块做简谐振动，振动中心为O，振幅为a，周期。称为圆频率，应由其标准形式的运动微分方程直接确定。将mOxFx例题11-8例题

第二类问题：已知力求运动.33第33页，课件共50页，创作于2023年2月一圆锥摆，如图所示。质量m=0.1kg的小球系于长l=0.3m的绳上，绳的一端系在固定点O，并与铅直线成θ=60º角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力F的大小。Olθ例题11-9例题

混合问题：第一类与第二类问题的混合.34第34页，课件共50页，创作于2023年2月Olθ以小球为研究的质点，作用于质点的力有重力mg和绳的拉力F。因，于是解得绳的张力与拉力F的大小相等。enetebmgF解：选取在自然轴上投影的运动微分方程，得例题11-9例题

混合问题：第一类与第二类问题的混合.35第35页，课件共50页，创作于2023年2月粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在θ=θ0时（如图）才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。θ0n例题11-10例题

混合问题：第一类与第二类问题的混合.36第36页，课件共50页，创作于2023年2月θ视铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带着沿圆弧上向运动，当铁球到达某一高度时，会脱离筒壁而沿抛物线下落。质点在上升过程中，受到重力mg，筒壁的法向力FN和切向力F的作用。mgFNF解：列出质点的运动微分方程在主法线上的投影式质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度。即n例题11-10例题

混合问题：第一类与第二类问题的混合.37第37页，课件共50页，创作于2023年2月于是解得当θ=θ0时，铁球将落下，这时FN=0，于是得显然，越小，要求n越大。当时，，铁球就会紧贴筒壁转过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉碎矿石的作用。θmgFNF例题11-10例题

混合问题：第一类与第二类问题的混合.38第38页，课件共50页，创作于2023年2月如图所示单摆，摆长为l，小球质量为m，其悬挂点O以加速度a0向上运动，求此时单摆作微振动的周期。a0Oφm例题11-11例题

混合问题：第一类与第二类问题的混合.39第39页，课件共50页，创作于2023年2月在悬挂点O上固结一平动参考系Ox'y'，小球相对于此动参考系的运动相当于悬挂固定的单摆振动。分析小球受力：重力，绳子张力F。运动：因动参考系作平动，牵连加速度，科氏加速度。解：建立相对运动动力学基本方程例题11-11例题

混合问题：第一类与第二类问题的混合.a0Oφmy'x'WetF40第40页，课件共50页，创作于2023年2月将上式投影到切向轴et上，得当摆作微振动时，φ角很小，有，且，上式成为例题11-11例题

混合问题：第一类与第二类问题的混合.a0Oφmy'x'WetF41第41页，课件共50页，创作于2023年2月令：，则上式可写为自由振动微分方程的标准式其解的形式为，而振动周期为例题11-11例题

混合问题：第一类与第二类问题的混合.a0Oφmy'x'WetF42第42页，课件共50页，创作于2023年2月设车厢以均加速度a沿水平直线轨道向右行驶。求由车厢棚顶

M0

处自由落下的质点

M

的相对运动。O1M0ahMx1y1z1例题11-12例题

混合问题：第一类与第二类问题的混合.43第43页，课件共50页，创作于2023年2月解:取动坐标系O1x1y1z1固连车厢。因为动坐标系作直线平动,有mar+mae

=W(1)ae=ae,方向与车厢加速度

a相同把式(1)向动坐标系各轴上投影,得相对运动微分方程即根据所选坐标系,质点运动的初始条件写成当t=0时,O1M0ahaeWx1y1z1例题11-12例题

混合问题：第一类与第二类问题的混合.44第44页，课件共50页，创作于2023年2月将式(2)积分,并利用初始条件(3)确定积分变量,求得质点的相对运动规律为消去时间t后,得到相对轨迹方程这表示轨迹是一条向后方偏斜的直线。例题11-