向量与圆锥曲线

向量与圆锥曲线

圆锥曲线向量与圆锥曲线的关系可以用以下三种形式表示：1.当AP=λPB时，点A和点B在椭圆上，且P在它们的连线上。2.当PA=λPQ，PB=λPQ时，点A和点B在双曲线上，且P和Q在它们的连线上。3.当OM=λOA+μOB时，点M在圆上，且O、A、B、M四点共面。例如，对于已知的椭圆x^2/11+y^2/53=1，点N(-2,0)满足NA=λNB，求斜率在什么范围内时，点A和点B在椭圆上。解法：将点N的坐标代入椭圆方程，得到NA和NB的关系式，进而得到λ的表达式。然后利用椭圆的性质，将椭圆方程化为标准形式，求出椭圆的参数，进而求出斜率的取值范围。对于已知的抛物线y=4x，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于点A和点B，交准线l于点M，已知MA=λAF，MB=λBF，求λ1+λ2的值。解法：将直线方程代入抛物线方程，得到A和B的坐标表达式，进而得到λ1和λ2的表达式。然后利用抛物线的性质，求出焦点坐标和准线方程，进而求出λ1+λ2的值。对于已知的椭圆x+3y=3b，斜率为1且过右焦点F的直线与椭圆交于点A和点B，点M为椭圆上任一点，且OM=λOA+μOB，求λ+μ的值。解法：将直线方程代入椭圆方程，得到A和B的坐标表达式，进而得到λ和μ的表达式。然后将M的坐标表达式代入椭圆方程，得到关于λ和μ的方程，进而求得λ+μ的值。方法总结：1.若能得到x1=λx2，则构造出两根之和与两根之积，消去得λ的表达式，再利用韦达定理应用。2.若PA=λ1PQ，PB=λ2PQ，则可以用A、B的横坐标或纵坐标来表示λ1和λ2，当λ1和λ2满足一定的关系时，进一步用韦达定理作整体代换。3.直线与圆锥曲线相交于A、B两点，若点M满足OM=λOA+μOB，用A、B两点的坐标来表示M，如果M在曲线上，则将M的坐标表达式代入曲线方程，如果M没有在曲线上，则必须把M的坐标表达式构造成曲线方程的形式进行处理。课后练习：1.已知定点M(2,3)，若过点M的直线l（斜率不为零）与椭圆x^2/9+y^2/4=1在点M、F之间交于点E（3，2），记λ=ΔOME，求实数λ的取值范围。2.椭圆x^2/4+y^2/2=1的两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)，过点E(3c,2)的直线与椭圆交于点A和点B两点，且F1A//F2B，|F1A|=2|F2B|，求直线AB的斜率。3.已知抛物线y=4x，过点M(1,2)的直线l与抛物线交于点A和点B两点，且直线l与x轴交于点C，设MA=αAC，MB=βBC，试问α+β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由。转到某一位置时，是否存在OP=OA+OB？如果存在，求出所有P的坐标和直线l的方程；如果不存在，请说明理由。二.面积计算在求解圆锥曲线中三角形的面积时，关键在于选择三角形面积公式。例1.如图，点M(1,1)是抛物线C:y=x上的一点，点A、B是C上的两点，线段AB被直线OM平分且P(1,2)，求△ABP面积的最大值。2.已知直线l与椭圆(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，已知m=(ax1,by1)、n=(ax2,by2)，且(e=√(3)/3)，若m⊥n且椭圆经过点(3,1)，O为坐标原点。试问△AOB的面积是否为定值？如果是，请证明；如果不是，请说明理由。3.已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆x+3y=4上，对角线BD所在直线的斜率为1。(1)当直线BD过点(2,1)时，求直线AC的方程；(2)当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值。4.如图，点P(2,-1)是椭圆C1:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的一个顶点，椭圆C2:x^2+y^2=4的长轴是圆C2:x^2+y^2=4的长轴是圆C2:x^2+y^2=4。直线l1、l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于两点D、O，(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程。三．切线问题1.如图，设椭圆C:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限。(1)已知直线l的斜率为k，用a、b、k表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a-b。2.如图，已知抛物线C1:y=5x^2，圆C2:(x-1)^2+y^2=1，过点P(2,0)作不过原点O的直线PA、PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A、B为切点。(1)求点A、B的坐标；(2)求△PAB的面积。3.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的一个焦点为(5,0)，离心率为e。求椭圆C的标准方程。2.若动点P(x,y)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。解：设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，则点P到椭圆C的两条切线分别为$\frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}=1$和$\frac{xx_2}{a^2}+\frac{yy_2}{b^2}=1$，其中$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$是椭圆上与点P相切的点。由于两条切线相互垂直，因此它们的斜率之积为$-1$，即$\frac{y_1}{x_1}\cdot\frac{y_2}{x_2}=-\frac{b^2}{a^2}$。又因为点P在两条切线上，因此有$\frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}=1$和$\frac{xx_2}{a^2}+\frac{yy_2}{b^2}=1$，联立这两个方程并消去$x$，得到$y=\pm\frac{ab}{\sqrt{a^2y^2+b^2x^2}}$，即$x^2y^2=a^2b^2-a^2y^2-b^2x^2$，这就是点P的轨迹方程。4.如图，设抛物线方程为$x^2=2py(p>0)$，M为直线$y=-2p$上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B。(1)求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列。解：设M的横坐标为$t$，则其纵坐标为$-2p$。由于直线$y=-2p$与抛物线$x^2=2py(p>0)$相交于点$(2pt,-2p)$，因此点M在抛物线上的坐标为$(t,t^2/2)$。设点A的坐标为$(a,a^2/2)$，则其切线方程为$y=ax-a^2/2$，联立抛物线方程$x^2=2py(p>0)$，解得切点坐标为$(a,a^2/2)$。同理，设点B的坐标为$(b,b^2/2)$，则其切线方程为$y=bx-b^2/2$，联立抛物线方程$x^2=2py(p>0)$，解得切点坐标为$(b,b^2/2)$。由于A，M，B三点在同一条直线上，因此它们的横坐标成等差数列，即$b-t=t-a$。(2)已知当M点的坐标为（2，-2p）时，AB=410，求此时抛物线的方程。解：当M点的坐标为（2，-2p）时，有$t=2$，因此根据题目中的结论，可得$a=2-4\sqrt{2}$，$b=2+4\sqrt{2}$。由于AB=410，因此有$\sqrt{(a-b)^2+(a^2-b^2)^2}=4p=16\sqrt{2}$，解得$p=2\sqrt{2}$。代入抛物线方程$x^2=2py(p>0)$，得到$x^2=16y$，即抛物线的方程为$y=x^2/16$。(3)是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线$x=2py(p>0)$上，其中，点C满足$OC=OA+OB$（O为坐标原点）。若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由。解：设点C的坐标为$(c,c^2/2)$，则根据题意有$OC=\sqrt{c^2+(c^2/2)^2}$，$OA=\sqrt{(a-c)^2+[(a^2/2)-(c^2/2)]^2}$，$OB=\sqrt{(b-c)^2+[(b^2/2)-(c^2/2)]^2}$。代入$OC=OA+OB$，整理得$c=\frac{a+b}{2}$，即点C的横坐标为$(a+b)/2$。由于AB=410，因此有$b-a=410$，代入$c=\frac{a+b}{2}$，得到$c=205$。设点D的坐标为$(d,d^2/2)$，则点D关于直线AB的对称点为$(a+b-d,d^2/2)$。由于点D在抛物线$x=2py(p>0)$上，因此有$(a+b-d)^2=8pd$，即$d^2-(a+b+8p/3)d+(a+b)^2/9=0$。解得$d=a+b+8p/3\pm\frac{2p}{3}\sqrt{10}$。代入$a=2-4\sqrt{2}$，$b=2+4\sqrt{2}$，$p=2\sqrt{2}$，得到$d=-4\sqrt{2},\frac{16\sqrt{2}}{3}$。因此存在两个点M，分别为$(2,-2p)$和$(16/3,16/3)$。7.如图，已知抛物线$x=4y$的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且$AF=\lambdaFB(\lambda>1)$，过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，证明$FM\cdotAB$为定值。解：设抛物线的方程为$x=4y$，则其焦点为$(0,1)$。设点A的坐标为$(t,t/4)$，则其切线方程为$y=tx-t/4$，联立抛物线方程$x=4y$，解得切点坐标为$(4t,t)$。同理，设点B的坐标为$(s,s/4)$，则其切线方程为$y=sx-s/4$，联立抛物线方程$x=4y$，解得切点坐标为$(4s,s)$。设点M的坐标为$(p,q)$，则有$q=tp-t/4$和$q=sp-s/4$，解得$p=(t+s)/2$，$q=(t+s)/8$。设点F的坐标为$(0,f)$，则有$f=1/4$。由于$AF=\lambdaFB(\lambda>1)$，因此有$t=\lambdas$。设线段AB的长度为$l$，则有$l=\sqrt{(t-s)^2+(t/4-s/4)^2}=s\sqrt{17\lambda^2-16}$。设线段FM的长度为$d$，则有$d=\sqrt{(p-f)^2+(q-1)^2}=\sqrt{(t+s)^2/16+(1/8-1)^2}=\sqrt{(17\lambda^2-16)/16}$。因此有$FM\cdotAB=d\cdotl=s\sqrt{(17\lambda^2-16)/16}\cdots\sqrt{17\lambda^2-16}=s^2(17\lambda^2-16)/4$，是一个定值。1.例1：过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点，其中P在第一象限。过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆于点B，设直线的斜率为k，求证：对任意k>0，PA垂直于PB。2.例2：已知A,B分别为曲线C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(y≥0)与x轴的左、右两个交点，直线l过点B，且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a，使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。3.例3：已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1，过原点且斜率为k的直线交曲线C于P,Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ垂直于PH？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。4.例4：已知椭圆的方程为C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，A,B是椭圆上的两动点，M为平面上一动点且满足OM=λOA+μOB，则有如下的框架图（已知任意两个，可以推出第三个）：OA·OB/b^2=-λ/2a^2，λ^2+μ^2=1，M在椭圆上。5.例1：已知椭圆的方程为C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，A,B是椭圆上的两动点，M为椭圆上一动点且OM=λOA+μOB且λ+μ=1，证明：OA·OB/b^2=-λ/2a^2。6.例2：设动点P满足OP=OM+2ON，其中M,N是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上的点，直线OM与ON的斜率之积为-1，求动点P的轨迹方程。7.椭圆中的垂直问题：已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1，过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A,B两点，过O作直线AB的垂线，求点D的轨迹方程。8.例2：求t∈(0,b)使得下述命题成立：设圆x^2+y^2=t^2上任意点M(x,y)处的切线交椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1于Q1,Q2两点，则OQ1⊥OQ2。1.给定图形，要求判断直线l是否存在使得AP·PB=1成立，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由。考虑利用点乘的性质，即AP·PB=|AP||PB|cos∠APB，其中|OP|=1，因此∠APB=90°时，AP·PB=1，即要求直线l与n垂直。又因为l与椭圆C相交于P点，且l与n垂直，因此可以利用椭圆C的性质求出直线l的方程。2.给定椭圆中的两点P,Q，满足OP⊥OQ，问是否存在类似直角三角形的结论。可以利用向量数量积的性质将夹角问题转化为向量的数量积问题，然后根据数量积的定义和三角函数的关系，得到类似的结论，即当∠POQ≠90°时，不存在类似的直角三角形。3.给定抛物线上的两点A,B，要求证明对任意非零实数m，抛物线的准线与x轴的交点在以重心为直径的圆外。可以利用抛物线的几何性质，将问题转化为求证线段GH为直径的圆与x轴的交点在准线的外部。然后利用几何分析和代数计算，证明该结论成立。4.给定抛物线上的两动点A,B，要求证明直线AB恒过定点(2p,)，并求出该定点的坐标。可以利用抛物线的性质，将问题转化为求证OA·OB=-4时，直线AB过定点(2p,)。然后利用向量的性质和代数计算，证明该结论成立，并求出该定点的坐标。已知抛物线y=4x，过点M(1,2)作两直线l1,l2分别与抛物线交于A,B两个不同的点，且l1,l2的斜率k1,k2满足k1k2=2，证明直线AB过定点。首先，我们可以求出点M到抛物线的切线方程y=4x-2。由于l1与抛物线交于A点，所以l1的斜率为k1=4x1-2，同理可得k2=4x2-2。根据题目条件，k1k2=2，即(4x1-2)(4x2-2)=2，化简得2x1x2-x1-x2+1=0，即(x1-1)(x2-1)=\frac{1}{2}。接下来，我们考虑证明直线AB过定点。设直线AB的方程为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。由于A、B两点在直线上，所以有y1=kx1+b，y2=kx2+b。将x1和x2表示