人教A版选择性1.1.1空间向量及其线性运算课件（56张）

1.1.1空间向量及其线性运算第1

章空间向量与立体几何01空间向量的有关概念02空间向量的线性运算03共线向量04共面向量目录

学习目标1.经历向量及其运算由平面空间推广的过程，了解空间向量的概念，发展数学抽象素养；2.掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；3.掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；4.借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.通过“平面向量及其运用”的学习，我们知道，平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决.

在“立体几何初步”中，我们用综合几何方法研究了空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系.一个自然的想法是，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题.

在本章，我们就来研究这些问题.1、定义：平面内既有大小又有方向的量。几何表示法:用有向线段表示字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。相等向量：长度相等且方向相同的向量ABCD2、表示法：知识回顾向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba－ba＋ba(k>0)ka(k<0)k向量的数乘a首尾相接,首尾连共起点,对角线共起点,连终点,指向被减向量知识回顾加法交换律：加法结合律：数乘分配律：知识回顾（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。知识回顾

这是一个做滑翔伞运动的场景.你能想象,在滑翔过程中,飞行员会受到来自哪些不同方向、大小各异的力吗？引例1

这是一个做滑翔伞运动的场景.可以想象,在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力.情景引入

已知F1=10N,F2=15N，F3=15N，这三个力两两之间的夹角都为90度，它们的合力的大小为多少N？F3F1F2这需要进一步来认识空间中的向量1.空间向量的有关概念起点终点

定义：既有大小又有方向的量。表示几何表示法：有向线段符号表示法：长度（模）

平面向量是什么？如何表示平面向量？你能类比平面向量和表示给出空间向量的概念和空间向量的表示吗？向量的大小，记作平面向量空间向量零向量：单位向量：相反向量：相等向量：共线向量：长度为0的向量，记作:模为1的向量

平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则是什么？你能类比它们得出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则吗？思考

空间两条直线可能存在怎样位置关系？ababOAB任意两个空间向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两向量√×××练一练2.空间向量的线性运算

(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.(2)空间向量加法交换律a＋b＝______空间向量加法结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)b＋a空间向量的加减运算及运算律(1)实数与向量的积与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：①|λa|＝____.②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向

；当λ＝0时，λa＝0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律①λ(μa)＝______；

②λ(a＋b)＝________；③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展).相反|λ||a|(λμ)aλa＋λbλ1a＋λ2a空间向量的数乘运算平面向量运算律空间向量交换律：结合律分配律

由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.O●ABC推广：O●ABCABCDA1B1C1D1GM探究：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量.(如图)探究：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量.(如图)

始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量ABCDA1B1C1D1ABECFD

2.空间四边形ABCD中,E、F分别是BC、CD边的中点,化简：(2)原式练一练3.共线向量问题1

平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？提示对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量.1.对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使

.2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，可知

＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的

，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示.a＝λb方向向量归纳总结

平行(共线)向量平行或重合a＝λb方向向量注意点：(1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定.(2)向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上.典例1解方法一

∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，方法二∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，反思感悟向量共线的判定及应用(1)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.(2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，4.共面向量问题2

空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？提示不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面.1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段

所在的直线OA_______

或

，那么称向量a平行于平面α.2.共面向量平行于平面α定义平行于同一个

的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在_____的有序实数对(x，y)使

__________在平面α内平面唯一p＝xa＋yb归纳总结问题3

对两个不共线的空间向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb?提示向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.惟一p＝xa＋yb归纳总结(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是（）典例2BC反思感悟解决向量共面的策略3.如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.练一练

如图,已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使求证：E，F，G，H四点共面四点共面→有公共起点的三个向量共面分析：可以通过证明这四点构成的三个向量共面，来证明这四点共面.典例3证明:·选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系,是用向量解决立体几何问题的常用方法.课堂基础练习1.下列命题中，假命题是(

)A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等D解析容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.当堂达标解析根据空间向量的基本概念知四个命题都不对.A2.在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数为(

)解析向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确.D3.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(

)A.a＝b B.a＋b为实数0C.a与b方向相同 D.|a|＝34.对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是（）A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线也不共面的向量解