高考数学一轮复习-第七章-不等式-72-一元二次不等式及其解法课件-理

第七章不等式§7.2一元二次不等式及其解法内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析思想与方法系列思想方法感悟提高练出高分基础知识

自主学习1.“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个相异实根x1，x2(x1<x2)有两个相等实根x1＝x2＝－没有实数根知识梳理1∅∅答案2.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法不等式解集a<ba＝ba>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b}

(x－a)·(x－b)<0

{x|b<x<a}{x|a<x<b}口诀：大于取两边，小于取中间.{x|x≠a}{x|x<b或x>a}∅答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(

)(2)不等式

≤0的解集是[－1,2].(

)(3)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(

)(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(

)(5)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(

)√×√××思考辨析答案返回1.不等式x2－3x－10>0的解集是________________________.解析解方程x2－3x－10＝0得x1＝－2，x2＝5，由y＝x2－3x－10的开口向上，所以x2－3x－10>0的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞).(－∞，－2)∪(5，＋∞)考点自测2解析答案123452.设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝________.解析∵M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1<x<4}，∴M∩N＝[0,4).[0,4)解析答案12345解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a<0即为x2－5x＋6<0，解集为(2,3).

(2,3)解析答案123454.若关于x的不等式m(x－1)>x2－x的解集为{x|1<x<2}，则实数m的值为________.解析因为m(x－1)>x2－x的解集为{x|1<x<2}.所以1,2一定是m(x－1)＝x2－x的解，∴m＝2.2解析答案123455.若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________.解析由题意可知，Δ>0且x1x2＝a2－1<0，故－1<a<1.(－1,1)解析答案12345返回题型分类深度剖析命题点1不含参的不等式例1求不等式－2x2＋x＋3<0的解集.解化－2x2＋x＋3<0为2x2－x－3>0，解方程2x2－x－3＝0得x1＝－1，题型一一元二次不等式的求解解析答案命题点2含参不等式例2解关于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a<0.解由x2－(a＋1)x＋a＝0得(x－a)(x－1)＝0，∴x1＝a，x2＝1，①当a>1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|1<x<a}，②当a＝1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为∅，③当a<1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|a<x<1}.解析答案将原不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0，求不等式的解集.解析答案引申探究思维升华解若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.解析答案思维升华思维升华思维升华含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集.跟踪训练1解析答案解∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；解析答案综上所述，当a＞0时，不等式的解集为当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；命题点1在R上恒成立(－3,0)题型二一元二次不等式恒成立问题解析答案(2)设a为常数，∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则a的取值范围是________.解析∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，

[0,4)解析答案命题点2在给定区间上恒成立例4

设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围.解析答案解要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即有以下两种方法：解析答案当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，当m＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)⇒m－6<0，所以m<6，所以m<0.解析答案命题点3给定参数范围的恒成立问题例5对任意的k∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是___________.解析x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0，在k∈[－1,1]时恒成立.{x|x<1或x>3}解之得x<1或x>3.解析答案思维升华思维升华(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.(1)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为__________.解析x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.[－1,4]跟踪训练2解析答案(2)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________.解析作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，解析答案(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；例6某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加

x成.要求售价不能低于成本价.所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为x∈[0,2].题型三一元二次不等式的应用解析答案(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围.解由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10260，解析答案思维升华思维升华求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型.(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义.(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；解y＝[(1＋0.75x)×12－(1＋x)×10]×(1＋0.6x)×10000＝－6000x2＋2000x＋20000，即y＝－6000x2＋2000x＋20000(0<x<1).跟踪训练3解析答案(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解上年利润为(12－10)×10000＝20000.∴y－20000>0，即－6000x2＋2000x>0，解析答案返回思想与方法系列典例

(1)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________.思维点拨考虑“三个二次”间的关系；思想与方法系列13.转化与化归思想在不等式中的应用解析答案思维点拨∵f(x)的值域为[0，＋∞)，解析由题意知f(x)＝x2＋ax＋b解析答案答案9

思维点拨

将恒成立问题转化为最值问题求解.温馨提醒解析答案返回思维点拨即当x≥1时，a>－(x2＋2x)＝g(x)恒成立.而g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3.∴实数a的取值范围是{a|a>－3}.答案{a|a>－3}温馨提醒温馨提醒(1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题.(2)注意函数f(x)的值域为[0，＋∞)与f(x)≥0的区别.返回思想方法感悟提高1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a<0时的情形转化为a>0时的情形.2.f(x)>0的解集即为函数y＝f(x)的图象在x轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想.3.简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解.方法与技巧1.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形.2.当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.3.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.失误与防范返回练出高分1234567891011121314151.不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为____________.解析由(x－1)(2－x)≥0可知(x－2)(x－1)≤0，所以不等式的解集为{x|1≤x≤2}.{x|1≤x≤2}解析答案解析方法一当x≤0时，x＋2≥x2，∴－1≤x≤0；①当x>0时，－x＋2≥x2，∴0<x≤1.②由①②得原不等式的解集为{x|－1≤x≤1}.方法二作出函数y＝f(x)和函数y＝x2的图象，如图，由图知f(x)≥x2的解集为[－1,1].

[－1,1]解析答案1234567891011121314153.若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是____________.解析由题意知a＝0时，满足条件.得0<a≤4，所以0≤a≤4.[0,4]解析答案1234567891011121314154.已知不等式x2－2x－3<0的解集是A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b＝________.解析由题意，A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－3<x<2}，A∩B＝{x|－1<x<2}，则不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|－1<x<2}.由根与系数的关系可知，a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.－3解析答案1234567891011121314155.设a>0，不等式－c<ax＋b<c的解集是{x|－2<x<1}，则a∶b∶c＝________.解析答案123456789101112131415解析∵－c<ax＋b<c，又a>0，∵不等式的解集为{x|－2<x<1}，解析答案123456789101112131415答案

2∶1∶31234567891011121314156.若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是__________.解析原不等式等价于(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，①当m＝2时，对任意x不等式都成立；②当m－2<0时，Δ＝4(m－2)2＋16(m－2)<0，∴－2<m<2，综合①②，得m∈(－2,2].(－2,2]解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415则不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2－2x－12<0，其解集为{x|－2<x<3}.答案{x|－2<x<3}123456789101112131415解析∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)<－1.解析答案12345678910111213141510.设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m<n).(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；解由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n).当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0，即a(x＋1)(x－2)>0.当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1<x<2}.解析答案123456789101112131415解f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，∴x－m<0,1－an＋ax>0.∴f(x)－m<0，即f(x)<m.解析答案12345678910111213141511.已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)>0的解集是(－1,3)，则不等式f(－2x)<0的解集是_____________________.解析f(x)＝0的两个解是x1＝－1，x2＝3且a<0，由f(－2x)<0得－2x>3或－2x<－1，解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415若不等式f(x＋a)<f(x)的解集为A，解析答案123456789101112131415(1)当a＝0时，显然不符合条件.(2)当a>0时，画出函数y＝f(x)和y＝f(x＋a)的图象大致如图(1).由图(1)可知，当a>0时，y＝f(x＋a)的图象在y＝f(x)图象的上边，故a>0不符合条件.解析答案123456789101112131415(3)当a<0时，画出函数y＝f(x)和y＝f(x＋a)的图象大致如图(2).解析答案12345678910111213141512345678910111213141513.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是_____________.解析由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)图象的对称轴为直线x＝1，由f(x)的图象可知f(x)在[－1,1]上为增函数.∴x∈[－1,1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，令b2－b－2>0，解得b<－1或b>2.b<－1或b>2解析答案12345678910111213141514.已知f(x)是定义域为R的偶