2022-2023学年湖南省岳阳市北港乡第二中学高三数学理模拟试题含解析

2022-2023学年湖南省岳阳市北港乡第二中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，其中是集合的非空真子集的个数，则的展开式中常数项是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是(

)A．1 B． C．2 D．2参考答案：D考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：由向量满足|﹣（+）|=|﹣|，可得|﹣（+）|=|﹣|≥，即．当且仅当||=|﹣|即时，．即可得出．解答：解：∵向量满足|﹣（+）|=|﹣|，∴|﹣（+）|=|﹣|≥，∴≤==2．当且仅当||=|﹣|即时，=2．∴．故选：D．点评：本题考查了向量模的运算性质、向量的平行四边形法则及其向量垂直，属于难题．3.（5分）等差数列{an}中，a6=2，S5=30，则S8=（）A．31B．32C．33D．34参考答案：B【考点】：等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由S5=30求得a3=6，再由S8==4（a3+a6），运算求得结果．解：∵a6=2，S5=30==5a3，∴a3=6．故S8==4（a3+a6）=32，故选B．【点评】：本题考查了等差数列的性质，恰当地运用性质，可有效地简化计算．利用了若{an}为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，am+an=ap+aq，属于中档题．4.已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时，f（x）=|x|，则y=f（x）与y=log7x的交点的个数为(

)A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：C【考点】函数的周期性；抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】先根据函数的周期性画出函数f（x）的图象，再画出对数函数y=log7x的图象，数形结合即可得交点个数．【解答】解：∵f（﹣x+2）=f（﹣x），可得f（x+2）=f（x），即函数f（x）为以2为周期的周期函数，又∵x∈[﹣1，1]时，f（x）=|x|，∴函数f（x）的图象如图，函数y=log7x的图象如图，数形结合可得交点共有6个．故选：C．【点评】本题考查了数形结合的思想方法，函数周期性及对数函数图象的性质，解题时要准确推理，认真画图，属于中档题．5.复数z满足?（1+2i）=4+3i，则z等于(

) A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i参考答案：B考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答： 解：∵?（1+2i）=4+3i，∴===2﹣i，∴z=2+i．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．6.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x的函数关系为y＝－(x－6)2＋11(x∈N*)，则每两客车营运多少年，其运营的年平均利润最大()A．3

B．4C．5

D．6参考答案：C略7.六名运动员站在6条跑道上准备参加比赛,其中甲不能站在第一道也不能站在第二道,乙必须站在第五道或第六道,则不同排法种数为

（

）

A.144

B.96

C.72

D.48参考答案：A8.若，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.【详解】因为，由诱导公式得，所以.故选：B【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.

9.若直线经过抛物线的焦点，则的最小值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C

圆心为（-1,2），代入直线方程得：

故：10.在实数集R中定义一种运算“*”，对任意给定的a，b∈R，a*b为惟一确定的实数，且具有性质：①对任意a，b∈R，a*b＝b*a；②对任意a∈R，a*0＝a；③对任意a，b∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(c*b)－2c.关于函数f(x)＝(3x)*的性质，有如下说法：①函数f(x)的最小值为3；②函数f(x)为奇函数；③函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)．其中所有正确说法的个数为()A．0 B．1

C．2 D．3参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数的共轭复数是

.参考答案：12.某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分.请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．

第1题第2题第3题第4题第5题第6题第7题第8题得分甲××√××√×√5乙×√××√×√×5丙√×√√√×××6丁√×××√×××？丁得了_______________分．参考答案：6【知识点】合情推理与演绎推理【试题解析】因为由已知得第3、4题应为一对一错，所以丙和丁得分相同

所以，丁的得分也是6分。

故答案为：613.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为，则曲线

交点的极坐标为

参考答案：【解析】我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为.答案：14.已知=

.参考答案：因为，令得，由两式相减得，即，所以是首项为公比为的等比数列，因为，，所以．15.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=_______________.参考答案：略16.正四面体A—BCD的所有棱长均为12，球O是其外接球，M，N分别是△ABC与△ACD的重心，则球O截直线MN所得的弦长为___________．参考答案：正四面体可补全为棱长为的正方体，所以球是正方体的外接球，其半径，设正四面体的高为，则，故，又,所以到直线的距离为，因此球截直线所得的弦长为.17.在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A—BCD中，DA⊥面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在面BCD内，类比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面积之间关系为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系中，直线l的参数方程（t为参数）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于点A，B，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）根据基本公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可曲线C的直角坐标方程；（2）将代入圆的方程得（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，得出关于t的方程，设A，B两点对应的参数分别为t1、t2，利用韦达定理得出t2t1，t1+t2的值，利用它们之间的转化关系即可求出AB，继而求出α．【解答】解：（1）由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ．∵x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程得（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A，B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=2cosα，t1t2=﹣3，∴|AB|==．∴4cos2α=2，解得cosα=±，可得直线l的倾斜角α=或．【点评】本题考查直角坐标方程和极坐标方程的互化，注意运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，考查直线参数方程的运用，注意参数t的几何意义，属于中档题．19.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的极坐标方程为.（Ⅰ）写出曲线C与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）过点且平行于直线l的直线与曲线C交于A、B两点，若，求的值.参考答案：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程：，直线的直角坐标方程：.（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）将曲线的参数方程两边平方后相加，求得对应的直角坐标方程.利用求得直线的直角坐标方程.（Ⅱ）设出直线的参数方程，代入曲线的直角坐标方程，利用直线参数的几何意义结合以及判别式，求得的值.【详解】解：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程：，直线的直角坐标方程：.（Ⅱ）设过点且平行于直线的直线为：（为参数），由直线与曲线相交可得：.因为，所以，，又，所以.【点睛】本小题主要考查参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义求解参数的值，属于基础题.20.（本题满分12分）设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．参考答案：

略21.如图所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且，，E，F分别为AC，DC的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.参考答案：(1)见解析(2)试题分析：（1）（方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，即可证明EF⊥BC.（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得,所以，因此,从而得；（2）（方法一）在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG，由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，从而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG垂直BF，因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角；在△EOC中，EO=EC=BC·cos30°=，由△BGO∽△BFC知，,因此tan∠EGO=,从而sin∠EGO=，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.（方法二）在图2中，平面BFC的一个法向量为，设平面BEF的法向量，又,由得其中一个，设二面角E-BF-C的大小为，且由题意知为锐角，则，因此sin∠EGO=，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.（1）证明：（方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，又EF面EFO，所以EF⊥BC.（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得B（0,0,0），A(0，-1，),D(,-1,0)，C(0,2,0),因而,所以，因此,从而，所以.（2）（方法一）在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG，由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，从而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG垂直BF.因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角；在△EOC中，EO=EC=BC·cos30°=，由△BGO∽△BFC知，,因此tan∠EGO=,从而sin∠EGO=，即二面角E-BF-C的正弦值为.（方法二）在图2中，平面BFC的一个法向量为，设平面BEF的法向量，又,由得其中一个，设二面角E-BF-C的大小为，且由题意知为锐角，则，因此sin∠EGO=，即二面角E-BF-C的正弦值为.考点：1.线面垂直的判定；2.二面角.22.如图，海上有两个小岛相距10，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为，现从船O上派下一只小艇沿方向驶至处进行作业，且．设。（1）用分别表示和，并求出的取值范围；（2）晚上