内蒙古自治区呼和浩特市台阁牧乡中学高三数学理期末试卷含解析

内蒙古自治区呼和浩特市台阁牧乡中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，若函数在上单调递增，则对于任意,，且，使恒成立的函数可以是 （

） A． B．

C． D．参考答案：B略2.已知ABCD是矩形，边长AB=3，BC=4，正方形ACEF边长为5，平面ACEF⊥平面ABCD，则多面体ABCDEF的外接球的表面积(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B3.执行如图所示的程序框图，输出的值为（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：C4.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为

A.

B.

C.2

D.4参考答案：B5.已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．【分析】当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x=0解得x=0或x=1，由周期性可求得区间[0，6）上解的个数，再考虑x=6时的函数值即可．【解答】解：当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x=0解得x=0或x=1，因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，故f（x）=0在区间[0，6）上解的个数为6，又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间[0，6]上解的个数为7，即函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7故选B6.已知直线l：，圆C：，则圆心C到直线l的距离是（

）A.

B.

C.2

D.1参考答案：A7.已知关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三个实根分别为一个椭圆，一个抛物线，一个双曲线的离心率，则的取值范围（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C解：令f（x）=x3+ax2+bx+c∵抛物线的离心率为1，∴1是方程f（x）=x3+ax2+bx+c=0的一个实根∴a+b+c=﹣1∴c=﹣1﹣a﹣b代入f（x）=x3+ax2+bx+c，可得f（x）=x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b=（x﹣1）（x2+x+1）+a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）=（x﹣1）设g（x）=x2+（a+1）x+1+a+b，则g（x）=0的两根满足0＜x1＜1，x2＞1∴g（0）=1+a+b＞0，g（1）=3+2a+b＜0作出可行域，如图所示的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率，∴故答案为：C【考点】抛物线的简单性质；函数的零点与方程根的关系．8.已知平面向量，，满足===1，=2，则||的取值范围为（）A．[0，+∞） B．[2，+∞） C．[2，+∞） D．[4，+∞）参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由===1，=2，不妨设=（1，0），=（m，n），=（p，q）．可得：=m=1，=p=2，=mp+nq=2+nq=1，n=﹣．由=m2+n2+p2+q2=5+n2+q2=5+，利用基本不等式的性质可得最小值．利用||==，即可得出．【解答】解：∵===1，=2，不妨设=（1，0），=（m，n），=（p，q）．则=m=1，=p=2，=mp+nq=2+nq=1，∴n=﹣．∴=m2+n2+p2+q2=5+n2+q2=5+≥5+2=7，当且仅当q=±1时取等号．∴||===≥=4，故选：D．9.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值为 A.102 B.410C.614 D.1638参考答案：B10.已知Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，A是由曲线y=x与y=x2围成的封闭区域，若向Ω上随机投一点p，则点p落入区域A的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D考点：几何概型；定积分在求面积中的应用．

专题：概率与统计．分析：求得两曲线的交点分别为O（0，0）、A（1，1），可得区域A的面积等于函数y=x与y=x2在[0，1]上的定积分值，利用积分计算公式算出区域A的面积．区域Ω表示的是一个边长为2的正方形，因此求出此正方形的面积并利用几何概型公式加以计算，即可得到所求概率．解答：解：y=x与y=x2两曲线的交点分别为O（0，0）、A（1，1）．因此，两条曲线围成的区域A的面积为S=∫01（x﹣x2）dx=（）|=．而Ω={（x，y）||x≤1，|y|≤1}，表示的区域是一个边长为2的正方形，面积为4，∴在Ω上随机投一点P，则点P落入区域A中的概率P=；故选D．点评：本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的概率求法；本题给出区域A和Ω，求在Ω上随机投一点P，使点P落入区域A中的概率．着重考查了定积分计算公式、定积分的几何意义和几何概型计算公式等知识，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.中，三边成等比数列，，则____________.参考答案：略12.已知三棱锥的各顶点都在一个表面积为的球面上，球心在上，

平面，，则三棱锥的表面积为

.参考答案：13.若实数x，y满足，则x＋2y的值域为＿＿＿＿参考答案：.-3

可行域如图.设则.易知点为最优解.∴.14.若（1+2x）n展开式中含x3项的系数等于含x项系数的8倍，则正整数n=．参考答案：5考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：由题意可得Tr+1=Cnr（2x）r=2rCnrxr分别令r=3，r=1可得含x3，x项的系数，从而可求解答：解：由题意可得二项展开式的通项，Tr+1=Cnr（2x）r=2rCnrxr令r=3可得含x3项的系数为：8Cn3，令r=1可得含x项的系数为2Cn1∴8Cn3=8×2Cn1∴n=5故答案为：5点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项公式求解指定的项，解题的关键是熟练掌握通项，属于基础试题15.已知，则sinθ﹣cosθ=_________．参考答案：16.若数列{an}的前n项和为Sn=n2－n，则数列an=

．参考答案：．【分析】利用求解．【解答】解：∵数列{an}的前n项和为，∴n=1时，a1=S1=，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（）=[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=，当n=1时，上式成立，∴．故答案为：．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归转化思想，是基础题．17.（几何证明选讲选做题）在平行四边形中，点在边上，且，与交于点，若的面积为，则的面积为．w。w-w*k&参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x3﹣3ax（a∈R）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，2）上仅有一个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，且方程f（x）=a﹣x在区间[﹣a，0]上有两个不相等的实数根，求实数a的最小值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），从而求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到关于a的不等式组，求出a的范围即可；（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x﹣a=x3+（1﹣3a）x﹣a，等价于函数h（x）在[﹣a，0]上恰有两个零点，根据函数的单调性求出a的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f'（x）=3（x2﹣a），所以f'（0）=﹣3a，因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣3ax．…（Ⅱ）因为f'（x）=3（x2﹣a），所以，当a≤0时，f'（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上单调递增，f（x）没有极值点，不符合题意；…当a＞0时，令f'（x）=0得，当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下表所示：x（﹣∞，）（，）（，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗因为函数f（x）在区间（﹣1，2）仅有一个极值点，所以所以1≤a＜4．…（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x﹣a=x3+（1﹣3a）x﹣a，方程f（x）=a﹣x在[﹣a，0]上恰有两个实数根等价于函数h（x）在[﹣a，0]上恰有两个零点．h'（x）=3x2+（1﹣3a），因为a＞1，令h'（x）=0，得，…所以所以

，所以…因为a＞1，所以恒成立．所以a≥2，所以实数a的最小值为2．…．19.（本小题满分12分）已知的周长为，且．（Ⅰ）求边长的值；

（Ⅱ）若，求的值．参考答案：解

（1）根据正弦定理，可化为．

联立方程组，解得．

（2），

．

又由（1）可知，，

由余弦定理得∴20.某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据所给的茎叶图看出16个数据，找出众数和中位数，中位数需要按照从小到大的顺序排列得到结论．（2）由题意知本题是一个古典概型，至多有1人是“极幸福”包括有一个人是极幸福和有零个人是极幸福，根据古典概型公式得到结果．（3）由于从该社区任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”学生的人数，得到变量的可能取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，算出概率，写出分布列和期望．【解答】解：（1）由茎叶图得到所有的数据从小到大排，8.6出现次数最多，∴众数：8.6；中位数：8.75；（2）设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则（3）ξ的可能取值为0、1、2、3.；；，ξ的分布列为ξ0123P七彩教育网所以Eξ=．另解：ξ的可能取值为0、1、2、3．则，．ξ的分布列为ξ0123P所以Eξ=．【点评】本题是一个统计综合题，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，题目分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题，考查最基本的知识点．21.不等式选讲已知函数，，且的解集为.（1）求的值；（2）若，且

求证:.参考答案：(1)，.当m＜1时，，不等式的解集为，不符题意.当时，①当时，得，.②当时，得，即恒成立.③当时，得，.综上的解集为.由题意得，.（5分）

(2),,,,由(1)知,

（10分）略22.在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1． （1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实； （2）求直线EC与平面ABED所成角的正弦值．