新教材人教A版1.4.2充要条件课件（47张）

1.4.2充要条件必备知识·自主学习充要条件(1)定义命题真假“若p，则q”和它的逆命题都是真命题推出关系既有p⇒q，又有q⇒p，记作____条件关系p既是q的充分条件，也是q的必要条件名称p是q的_________条件，简称为_____条件p⇔q充分必要充要(2)本质：当原命题、逆命题都是真命题时，命题的条件和结论互为充要条件，是等价的.(3)应用：充要条件是数学中非常重要的概念，应用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容.【思考】命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类？提示：①充分必要条件(充要条件)，即p⇒q且q⇒p.②充分不必要条件，即p⇒q且qp.③必要不充分条件，即pq且q⇒p.④既不充分又不必要条件，即pq且qp.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例. (

)(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”表达的意义相同. (

)(3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件. (

)提示：(1)√.由三角形相似的判定和性质可知.(2)×.p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.(3)√.因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件.2.“x=1”是“x2-2x+1=0”的 (

)

【解析】选A.当x=1时，x2-2x+1=0成立，由x2-2x+1=0，解得x=1，所以“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件.3.(教材二次开发：例题改编)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(

)【解析】选A.“四边形ABCD为菱形”，则“AC⊥BD”；而“AC⊥BD”时“四边形ABCD不一定为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.关键能力·合作学习类型一定义法判断充分条件、必要条件(逻辑推理)【题组训练】1.(2020·营口高一检测)设a，b∈R，则“(a-b)a2<0”是“a<b”的 (

)

2.a，b中至少有一个不为零的充要条件是(

)A.ab=0 B.ab>02+b22+b2>03.下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：x≠0，q：x+|x|>0.(2)p：a，b∈R，|a-b|=|a|+|b|，q：a，b∈R，ab<0.(3)p：x1，x2是方程x2+5x-6=0的两个实数根，q：x1+x2=-5.(4)p：A⊆B，q：A∩B=A.【解析】1.选A.由“(a-b)a2<0”一定可得出“a<b”；但反过来，由“a<b”不一定得出“(a-b)a2<0”，如a=0.2+b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2+b2>0.3.(1)因为由x≠0推不出x+|x|>0，如x=-1时，x+|x|=0，所以pq，所以p不是q的充要条件.(2)由|a-b|=|a|+|b|，两边平方得a2-2ab+b2=a2+2|ab|+b2，即|ab|=-ab，得ab≤0，即“|a-b|=|a|+|b|”等价于“ab≤0”，所以pq，所以p不是q的充要条件.(3)当x1=-1，x2=-4时，x1+x2=-5，而-1，-4不是方程x2+5x-6=0的两根.所以qp，所以p不是q的充要条件.(4)由A⊆B，得A∩B=A；反过来，由A∩B=A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B，因此“A⊆B”是“A∩B=A”成立的充要条件，即p是q的充要条件.【解题策略】定义法判断充分条件、必要条件(1)确定谁是条件，谁是结论；(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件是结论的充分条件，否则条件就不是结论的充分条件；(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件是结论的必要条件，否则条件就不是结论的必要条件.【补偿训练】下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：x2=3x+4；q：x=.(2)p：a是自然数；q：a是正数.(3)p：a=1；q：a的倒数是其本身.(4)p：点P(2-a，3a-2)到两坐标轴距离相等；q：a=1或a=0.【解析】(1)当x=-1时，x2=3x+4，但是x=成立的条件是x≥0，所以pq，所以p不是q的充要条件.(2)0是自然数，但是0不是正数，所以pq，所以p不是q的充要条件.(3)倒数是其本身的有±1，所以qp，所以p不是q的充要条件.(4)当a=1时，点P(1，1)到两坐标轴距离相等，当a=0时，点P(2，-2)到两坐标轴距离相等，当点P(2-a，3a-2)到两坐标轴距离相等时，|2-a|=|3a-2|，解得a=1或a=0.所以p⇔q，所以p是q的充要条件.类型二充要条件的证明(逻辑推理)【典例】求证：方程mx2-2x+3=0有两个同号不相等实根的充要条件是0<m<.【解题策略】充要条件的证明策略(1)准确理解题意明确证明方向①条件已知证明结论成立是充分性，结论已知推出条件成立是必要性.②“p是q的充分(必要)条件”常写为“q的充分(必要)条件是p”.(2)关注证明的两个环节一是充分性；二是必要性.证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明.【跟踪训练】求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.【证明】设p：a+b+c=0；q：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1，(1)充分性(p⇒q)：因为a+b+c=0，所以c=-a-b，代入方程ax2+bx+c=0中，得ax2+bx-a-b=0，即(x-1)(ax+a+b)=0.所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1.(2)必要性(q⇒p)：因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1，所以x=1满足方程ax2+bx+c=0.所以有a×12+b×1+c=0，即a+b+c=0.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.类型三用集合观点解充分条件、必要条件问题(逻辑推理、直观想象)角度1判断充分条件、必要条件

【典例】(2020·淄博高一检测)设集合A={x|-1≤x<3}，集合B={x|0<x≤2}，则“x∈A”是“x∈B”的 (

)

【思路导引】首先判定集合A和B的包含关系，然后根据“小范围”可推出“大范围”，“大范围”推不出“小范围”，进行判断.【解析】选B.因为A={x|-1≤x<3}，B={x|0<x≤2}，所以BA，所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.角度2利用充分条件、必要条件求参数的取值范围

【典例】(2020·葫芦岛高一检测)设p：x>a，q：x>3.(1)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围.(2)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围.(3)若a是方程x2-6x+9=0的根，判断p是q的什么条件.【思路导引】将p与q的条件关系转换为相应集合的关系，求a的取值范围.【解析】设A={x|x>a}，B={x|x>3}.(1)若p是q的必要不充分条件，则有BA，所以a<3.(2)若p是q的充分不必要条件，则有AB，所以a>3.(3)因为方程x2-6x+9=0的根是3，所以a=3，于是有A=B，所以p是q的充要条件.【变式探究】将本题条件改为“p：|x|≤2，q：x≤a”，第(2)问如何解答？【解析】设A={x||x|≤2}，B={x|x≤a}，则A={x|-2≤x≤2}，若p是q的充分不必要条件，则有AB，所以a≥2.【解题策略】从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件p：A={x|p(x)成立}，q：B={x|q(x)成立}.【题组训练】1.(2020·辽阳高一检测)“0<x<5”是“|x-2|<3”的(

)【解析】选A.设A={x|0<x<5}，B={x||x-2|<3}，则B={x|-1<x<5}，因为AB，所以“0<x<5”是“|x-2|<3”的充分不必要条件.2.(2020·岳阳高一检测)已知集合A={x|-1<x<3}，集合B={x|a<x<a+1}，a∈R.(1)若“1∈B”是真命题，求实数a的取值范围.(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【解析】(1)若“1∈B”是真命题，则a<1<a+1，得0<a<1.(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B是A的真子集，即得-1≤a≤2，即实数a的取值范围是{x|-1≤a≤2}.【补偿训练】1.已知p：点M(1-a，2a+6)在第四象限，q：a<1，则p是q的(

)【解析】选A.因为点M(1-a，2a+6)在第四象限，所以解得a<-3.因为{a|a<-3}{a|a<1}，所以p⇒q，qp，所以p是q的充分不必要条件.2.设p：实数x满足a<x<4a(a>0)，q：实数x满足2<x≤5.若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【解析】因为q是p的充分不必要条件，所以q对应的集合是p对应集合的真子集，所以{x|2<x≤5}{x|a<x<4a}，则得<a≤2，即实数a的取值范围是<a≤2.课堂检测·素养达标1.“x=5”是“x2-4x-5=0”的 (

)

【解析】2-4x-5=0可得：方程的两根为x1=-1，x2=5，即x2-4x-5=0等价于x=-1或x=5，所以“x=5”可推出“x2-4x-5=0”，“x2-4x-5=0”推不出“x=5”，所以“x=5”是“x2-4x-5=0”的充分不必要条件.2.(教材二次开发：习题改编)集合A，B之间的关系如图所示，p：a∈∁UB，q：a∈A，则p是q的 (

)

【解析】选B.由题意可知，A∁UB，所以pq，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件.3.若p：x-3<0是q：2x-3<m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_______.

【解析】由x-3<0得x<3，由2x-3<m得x<(m+3)，由p是q的充分不必要条件知{x|x<3}

所以(m+3)>3，解得m>3.答案：{m|m>3}4.“反比例函数y=的图象与函数y=x的图象没有公共点”的充要条件是“k∈A”，则集合A=_____.

【解析】分k>0和k<0两种情况分别画出反比例函数y=与函数y=x的图象，如图所示，

由图可知，若它们的图象没有公共点，则k<0，即符合题意的集合A={

k|k<0}.答案{

k|k<0}

5.下列各题中，哪些p