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文档简介
Chap2
―
3函数连续性—习题课一.概念辨析例1(习题2.3/1,27)判断下列命题的真伪(正确的给出证明,错误的举出反例说明)(1)f
在(a,b)内连续"[a,b] (a,b),f
在[a,b]上连续.若f
在x0连续,则f
在x0某邻域U(x0)内处处存在极限.若"[a,
b] (a,
b),
有f
˛
U.C[a,
b],
则
f
˛
U.C(a,
b).若f
˛
U.C(a,c],且f
˛
U.C[c,b),则f
˛
U.C(a,b).一.概念辨析若f
,
g˛
U.C(I),
则
f g˛
U.C(I).若g˛
U.C(I),
f
˛
U.C(J),
则
f
◦g˛
U.C(I).若f
˛
C(a,b)且f
有界,则f
˛
U.C(a,b).若f
˛
C(R)且f
有界,则f
˛
U.C(R).二.按定义论证函数连续和一致连续例2(习题2.3/12)
设f
在x0点的某邻域有界,令m(d)
=
inf
f
(U
(x0
,d)),
M
(d)
=
sup
f
(U
(x0
,d)).证明:1)dfi
0+0lim[M
(d)-m(d)]
存在(记为w(f
,x
),并称之为f
在x0点的振幅.2)f
在x0点连续w(
f
,
x0)
=
0.xfi
+¥命题(习题2.3/31)
设
f
˛
C[a,
+¥),
且
lim
f
(x)
存在.证明:f
˛
U.C[a,+¥
).二.按定义论证函数连续和一致连续证明:
1)
f
˛
U.C[a,
+¥
).
2)xf(x)
˛
U
.C[a,
+¥
).命题(习题2.3/32)设f
在[a,+¥)(a
>0)满足Lipschitz条件|
f
(x)-f
(y)|£
L
|
x
-y
|
(x,y
˛
[a,+¥
),L为常数)例3
设f
˛
U.C(a,b),证明:1)
f
在(a,
b)内有界; 2)
f
2˛
U.C(a,
b);3)若将(a,b)换为R,上述两结论还成立否?二.按定义论证函数连续和一致连续命题
设f
˛
C[a,
b],
M
(x)是f
在区间[a,
x] (a
£
x
£
b)上的最大值,
证明:lim
M
(x)
=
f
(a).xfi
a+思考
若m
(x)是f
在[a,
x]上的最小值,
结论如何?Ex.(习题2.3/11)
设f
(x)为R上的单调函数,
定义F(x)
=
f
(x
+
0).
证明:
F(x)在R上右连续.xfi
¥证明:lim
f
(x)=¥.nfi
¥
nfi
¥nfi
¥
nfi
¥三.构造性证明问题通常需要根据条件构造满足要求的数列！例4(习题2.3/19)
设f
˛
C(a,b),xn,yn˛(a,b),且lim
xn
=
lim
yn
=
b
使得
lim
f
(xn
)
=
A
<
B
=
lim
f
(
yn
).nfi
¥证明:
"
h
˛(A,
B),
$
zn˛(a,
b),
使得
lim
zn
=
b
且nfi
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