《复变函数》教学大纲（24学时1.5学分）

PAGE－PAGE4－《复变函数》课程教学大纲课程名称：复变函数FunctionsofComplexVariables课程代码：2001学分数：1.5学分学时数：24学时（理论课24学时+实践课0学时）课程类别：必修适用专业/开课对象：通信工程、电子信息工程、自动化等专业开课单位：理学院一、课程性质与目标课程性质：《复变函数》是高等院校工科各专业的一门重要的必修课，是继《高等数学》课程之后的课程。《复变函数》讨论复数之间的相互依赖关系，主要研究对象是解析函数，它为学生后续学习专业课程打下必要的基础，而且作为一种强有力的工具，已经被广泛的应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等。目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。课程目标：本课程是理工科学生继高等数学后的又一门数学基础课。本课程主要讲授复变函数的基本理论和方法。通过本课程的学习，使学生了解复变函数这门课程的性质，它与其他课程的关系，了解复分析与实分析的联系和差别；掌握复变函数的基本理论和数学物理及工程技术中常用的数学方法，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着特殊重要的作用。具体教学目标可分解为以下三点：（1）理解复变函数的积分理论、级数理论、留数理论等方面的基本概念，认识到高等数学对初等数学的指导作用，认识到一些不同数学分支之间的内在联系和互相影响。（2）理解复变函数的基本思想方法，培养学生具有较好的分析和解决有关理论和实际问题的基本能力，并获得一定的计算技能，为学生进一步学习其他后续课程，并为将来从事教学、科研及其它实际工作打好基础。（3）通过基本概念的讲解，基本理论的系统阐述，基本运算的严格训练，提高学生的数学修养，掌握数学研究的基本思想方法，使学生的数学思维能力得到进一步提高，同时扩展学生的学习思路，使学生了解更多的数学应用知识。在学习的过程中，培养较好的科学素养，确立起用马克思主义辩证法去分析和解决实际问题的思想基础。课程教学目标对毕业要求的支撑关系课程教学目标毕业要求目标1：理解复变函数的积分理论、级数理论、留数理论等方面的基本概念，认识到高等数学对初等数学的指导作用，认识到一些不同数学分支之间的内在联系和互相影响。1．工程知识：能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决各种科学问题或复杂工程问题。目标2：理解复变函数的基本思想方法，培养学生具有较好的分析和解决有关理论和实际问题的基本能力，并获得一定的计算技能，为学生进一步学习其他后续课程，并为将来从事教学、科研及其它实际工作打好基础。2．问题分析：能够应用数学、自然科学基本原理和计算思维，并通过文献研究、识别、表达、分析复杂工程实践问题，以获得有效结论。3．工程与社会：具有追求创新的态度和意识，掌握基本的创新方法，以及综合运用理论和技术手段解决工程问题的能力，在其过程中能够综合考虑社会、经济、文化、环境、法律、安全、健康、伦理等制约因素。目标3：通过基本概念的讲解，基本理论的系统阐述，基本运算的严格训练，提高学生的数学修养，掌握数学研究的基本思想方法，使学生的数学思维能力得到进一步提高，同时扩展学生的学习思路，使学生了解更多的数学应用知识。在学习过程中，培养较好的科学素养，确立起用马克思主义辩证法去分析和解决实际问题的思想基础。4．研究：能够基于科学原理并采用科学方法对复杂工程问题进行研究，包括设计实验、分析和解释数据、并通过信息综合得到合理有效的结论。二、本课程与其他课程的关系本课程的先修课程：高等数学（理工类）（A）I，高等数学（理工类）（A）II；本课程的后继课程：信号与系统三、课程内容、基本要求、重点和难点及学时分配序号教学内容基本要求及重点和难点学时教学方式对应的教学目标1复数与复变函数基本要求：理解复数的概念及三种表示法；掌握复数的四则运算及乘方、开方运算及它们的几何意义，会进行一些不太复杂的运算；掌握用复数解决几何问题的思想和方法；了解复平面上点集的一般概念，掌握用复数方程来表示常用曲线及用不等式表示区域的方法；理解复变函数及映射的概念，复变函数与一对二元实函数的关系；知道复变函数的极限与连续。重点：复数的概念及代数运算，复数的几种表示，复数的乘积、商、乘幂、方根运算；区域的相关概念，复变函数的极限与连续。难点：复数的方根计算；复变函数的极限。4课堂讲授+课后自学+课后作业1，32解析函数基本要求：理解复变函数的导数的定义，掌握求导的方法；理解解析函数的定义，掌握函数解析的充要条件，会判断一个函数是否解析；了解指数函数，对数函数，幂函数，三角函数，反三角函数的定义，以及它们的解析性质、运算性质。重点：复变函数的导数与微分，解析函数的概念，柯西-黎曼条件；指数函数、对数函数、幂函数与三角函数的定义、性质及解析性。难点：柯西-黎曼条件；初等函数的性质与解析性。4课堂讲授+课后自学+课后作业1，33复变函数的积分基本要求：了解复变函数积分的概念，积分的存在性及计算公式，复变函数积分与两个二维曲线积分的关系；理解柯西—古萨基本定理，掌握积分与路径无关的条件，了解原函数与不定积分的概念；理解复合闭路定理及柯西积分公式，会计算某些封闭曲线的积分；理解高阶导数公式（证明不作要求），会应用高阶导数公式计算某些积分；了解调和函数的概念，掌握解析函数与调和函数的关系，能由解析函数实（虚）部求虚（实）部。重点：复变函数积分的定义及计算，柯西-古萨基本定理，复合闭路原理；解析函数的积分公式，柯西积分公式，高阶导数公式；调和函数的定义，调和函数与解析函数的关系。难点：复变函数积分的定义与计算；由解析函数的实（虚）部求虚（实）部。6课堂讲授+课后自学+课后作业1，2，34解析函数的级数表示法基本要求：知道复数列收敛的概念；了解复数项级数收敛的有关定理，能判断复数项级数的收敛性；理解阿贝尔定理，了解幂级数的收敛情况，掌握求幂级数收敛圆的方法，知道幂级数在收敛域的性质；理解复变函数展开成泰勒级数的条件，熟悉几种初等函数的麦克劳林展开式；理解洛朗级数的概念及其收敛域，能熟练地把一些较简单的函数在不同的圆环域内展开为洛朗级数；了解孤立奇点及其分类，掌握其判断方法。重点：复数列、复数项级数的收敛性，求幂级数的收敛半径，解析函数展开成泰勒级数；几个特殊函数的麦克劳林展开式，在圆环域内解析的函数展开成洛朗级数；可去奇点、极点、本性奇点的概念及判断。难点：复数项级数的绝对收敛、条件收敛、发散；用间接法将复变函数展开成幂级数；将复变函数展开成洛朗级数；判别奇点的类型。6课堂讲授+课后自学+课后作业1，2，35留数理论及其应用基本要求：掌握留数定理；掌握求孤立奇点的留数的计算，能用留数定理求闭曲线的积分；知道留数定理在某些类型的定积分的应用。重点：留数的计算方法，利用留数定理求闭合曲线的积分。难点：求留数的方法。4课堂讲授+课后自学+课后作业1，2合计24四、课内实践内容与要求无五、课程的考核1.考核方式：考查课2.考核形式：课程考核形式由课后作业、课堂表现、出勤及期末考核构成，期末考核采用书面闭卷方式进行考核。3.成绩构成：（1）本课程综合成绩由平时成绩和末考卷面成绩构成，其中，期末考卷面成绩占总成绩的70%，平时成绩占总成绩的30%；

（2）平时成绩由课后作业、课堂表现、出勤三项成绩构成，其中课后作业占平时成绩的1/3，课堂表现占平时成绩的1/3，出勤占平时成绩的1/3。课程考核形式与教学目标的对应关系编号课程教学目标考查方式与考查点占比1目标1：理解复变函数的积分理论、级数理论、留数理论等方面的基本概念，认识到高等数学对初等数学的指导作用，认识到一些不同数学分支之间的内在联系和互相影响。随堂提问、随堂测试、期末闭卷考试（填空题、解答题）复变函数的各类积分、级数理论、留数理论，复数的表示与基本计算。50%2目标2：理解复变函数的基本思想方法，培养学生具有较好的分析和解决有关理论和实际问题的基本能力，并获得一定的计算技能，为学生进一步学习其他后续课程，并为将来从事教学、科研及其它实际工作打好基础。随堂提问、随堂测试、期末闭卷考试（解答题）针对具体函数，判断函数是否可导、是否解析。将函数在指定区域内展开成级数形式，复变函数积分的计算方法的灵活运用。30%3目标3：通过基本概念的讲解，基本理论的系统阐述，基本运算的严格训练，提高学生的数学修养，掌握数学研究的基本思想方法，使学生的数学思维能力得到进一步提高，同时扩展学生的学习思路，使学生了解更多的数学应用知识。在学习过程中，培养较好的科学素养，确立起用马克思主义辩证法去分析和解决实际问题的思想基础。随堂提问、随堂测试、期末闭卷考试（解答题）结合具体函数判断奇点类型，求留数与积分。20%六、教学说明在授课过程中，打破以教师讲授为主的模式，教师围绕教学内容，提出问题，发挥学生参与的主动性，通过互动的探讨学习，培养学生发现、分析、解决问题的能力；使学生清楚了解由客观世界-数学抽象-数学语言的过程及关系，在讲解基础数学概念与应用背景的同时，也要注重使学生理解抽象的数学研究思想方法怎样从原始的问题演化发展而来的。重点讲解和数学其他课程（如高等数学等）的不同之处。在讲授基础理论和基本技能的同时，加强学生在应用方面的培养。如在讲解留数的应用时，除重点介绍留数计算在实积分中应用之外，还介绍留数计算在数字滤波器性能分析和形状设计中的应用。在研究应用实际问题中，使学生初步建立解决实际问题以及从事科研等方面的能力。在教学中，适当运用现代化的教学手段，不但能够加强对复变函数论中的抽象概念的直观认识，而且可以提高学生运用数学和计算机解决实际问题的能力，激发学生对复变函数课程的学习兴趣，诱导学生深入探讨更广泛的问题。通过课程的教学，使学生的能力和素质得到锻炼：1.独立获取知识的能力——通过积分理论、级数理论、留数理论等内容的学习，逐步掌握科学的学习方法，阅读并理解相当于大学数学水平的数学类教材、参考书和科技文献，不断地扩展知识面，增强独立思考的能力，更新知识结构。2.逻辑思维和推理的能力——运用复变函数的基本理论和基本观点，通过分析、综合、演绎、归纳等方法培养发现问题和提出问题的能力，并对所涉问题有一定的逻辑推理能力。3.分析问题和解决问题的能力——根据实际问题的特征、性质以及实际情况，抓住主要矛盾，进行合理的简化，建立相应的数学模型，并用数学语言和基本数学方法进行描述，运用所学的复变函数理论和研究方法进行分析、研究。4.求实精神——通过大学数学课程教学，培养学生追求真理的勇气、严谨求实的科学态度和刻苦钻研的作风。5.创新意识——通过学习数学的研究方法、数学的发展历史以及数学家的成长经历等，引导学生树立科学的世界观，激发学生的求知热情、探索精神、创新欲望，以及敢于向旧观念挑战的精神。七、建议教材与教学参考书1．建议教材：[1]马柏林