2021高考数学二轮专题复习测试小题基础练（五）

小题基础练(五)数学文化1．饕餮(tāotiè)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为()A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次的所有基本事件有：(右，右，右)，(右，右，下)，(右，下，右)，(下，右，右)，(右，下，下)，(下，右，下)，(下，下，右)，(下，下，下)，共8种不同的跳法(线路)，符合题意的只有(下，下，右)这1种，所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为eq\f(1,8).答案：B2．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为()A．七尺五寸 B．六尺五寸C．五尺五寸 D．四尺五寸解析：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，设十二节气第n(n∈N*)个节气的日影长为an，则数列{an}为等差数列，设其公差为d，前n项和为Sn，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a5＋a6＋a7＋a8＝4a1＋22d＝32，,S7＝7a1＋\f(7×6,2)d＝7a1＋21d＝，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(27,2)，,d＝－1，))所以a10＝a1＋9d＝eq\f(27,2)－9＝eq\f(9,2)，因此，立夏日影长为四尺五寸．答案：D3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步．问为田几何？翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步．问这块田面积是多少？[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步．问这块田面积是多少？则下列说法正确的是()A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步B．问题[三四]中扇形的面积为eq\f(5049,4)平方步C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步D．问题[三四]中扇形的面积为eq\f(5049,2)平方步解析：依题意，问题[三三]中扇形的面积为eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×30×eq\f(16,2)＝120平方步，问题[三四]中扇形的面积为eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×99×eq\f(51,2)＝eq\f(5049,4)平方步．答案：B4．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))，记为第一次操作；再将剩下的两个区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于eq\f(4,5)，则需要操作的次数n的最小值为________．参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771()A．3 B．4C．5 D．6解析：第一次操作去掉的区间长度为eq\f(1,3)；第二次操作去掉两个长度为eq\f(1,9)的区间，长度和为eq\f(2,9)；第三次操作去掉四个长度为eq\f(1,27)的区间，长度和为eq\f(4,27)；…第n次操作去掉2n－1个长度为eq\f(1,3n)的区间，长度和为eq\f(2n－1,3n).＋eq\f(2n－1,3n)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)，由题意，1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)≥eq\f(4,5)，即nlgeq\f(2,3)≤lgeq\f(1,5)，解得：n≥，又n为整数，所以n的最小值为4.答案：B5．我国古代著名数学家刘徽的杰作《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产之一，书中记载了他计算圆周率所用的方法．先作一个半径为1的单位圆，然后做其内接正六边形，在此基础上做出内接正6×2n(n＝1，2，…)边形，这样正多边形的边逐渐逼近圆周，从而得到圆周率，这种方法称为“刘徽割圆术”．现设单位圆O的内接正n边形的一边为AC，点B为劣弧eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，则BC是内接正2n边形的一边，现记AC＝Sn，AB＝S2n，则()A．S2n＝eq\r(2－\r(4－Seq\o\al(2,n))) B．S2n＝eq\r(2＋\r(4－Seq\o\al(2,n)))C．S2n＝2eq\r(2＋\r(4－Seq\o\al(2,n))) D．S2n＝eq\r(4－3\r(4－Seq\o\al(2,n)))解析：法一设∠AOB＝θ，则在△AOB中，由余弦定理得Seq\o\al(2,2n)＝2－2cosθ，设AC与OB相交于点D，则OD⊥AD，所以cosθ＝eq\f(OD,OA)＝eq\r(1－\f(Seq\o\al(2,n),4))，所以Seq\o\al(2,2n)＝2－2eq\r(1－\f(Seq\o\al(2,n),4))＝2－eq\r(4－Seq\o\al(2,n))，故选A.法二设AC与OB相交于点D，则OD⊥AD，因为AD＝eq\f(1,2)Sn，所以OD＝eq\r(1－\f(Seq\o\al(2,n),4))，所以BD＝1－OD＝1－eq\r(1－\f(Seq\o\al(2,n),4))，所以S2n＝eq\r(BD2＋AD2)＝eq\r(2－\r(4－Seq\o\al(2,n)))，故选A.答案：A6.玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于杭州市余杭区反山文化遗址．玉琮王通高8.8cm，孔径4.9cm、外径17.6cm.琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图像．兽面的两侧各浅浮雕鸟纹．器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔．试估计该神人纹玉琮王的体积约为(单位：cm3)()A．6250 B．3050C．2850 D．2350解析：由题可知，该神人纹玉琮王可看作是一个底面边长为17.6cm，高为8.8cm的正四棱柱中挖去一个底面直径为4.9cm，高为8.8cm的圆柱，此时求得体积记为V1，V1＝(17.6)2×－π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f,2)))eq\s\up12(2)×≈2560cm3，记该神人纹玉琮王的实际体积为V，则V<V1，且由题意可知，V>π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f,2)))eq\s\up12(2)×－π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f,2)))eq\s\up12(2)×≈1975cm3，故1975<V<2560，故选D.答案：D7．南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1、V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1、S2，则命题p：“V1、V2相等”是命题q：“S1、S2总相等”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由祖暅原理可知，若S1、S2总相等，则V1、V2相等，即必要性成立；假设夹在两平行平面间的底面积为S的棱柱和底面积为3S的棱锥，它们的体积分别为V1、V2，则V1＝V2，这两个几何体被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1、S2，但S1与S2不总相等，即充分性不成立．因此，命题p是命题q的必要不充分条件．答案：B8．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数最小为()A．2 B．3C．4 D．5解析：设需要n天时间才能打通相逢，则eq\f(2n－1,2－1)＋eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))≥8，化为：2n－eq\f(1,2n)－8≥0，令2n＝t，则t2－8t－1≥0⇒t≤4－eq\r(17)(舍去)或t≥4＋eq\r(17)所以2n>8，所以n>3，n的最小整数为4.答案：C9．《周髀算经》中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论．已知某地立春与雨水两个节气的日影长分别为尺和尺，现在从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于5尺的概率为()A.eq\f(3,7) B.eq\f(4,7)C.eq\f(13,21) D.eq\f(5,7)解析：设这十二节气中第n(n∈N*)个节气的日影长为an尺，可知数列{an}为等差数列，设其公差为d，由题意得a4＝，a5＝，所以d＝a5－a4＝－1，所以an＝a4＋(n－4)d＝－(n－4)＝－n.令an＝－n<9，解得n；令an＝－n<5，解得n>9.5.从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气，所有的基本事件有：(a6，a7)、(a6、a8)、(a6、a9)、(a6、a10)、(a6、a11)、(a6、a12)、(a7、a8)、(a7、a9)、(a7、a10)、(a7、a11)、(a7、a12)、(a8、a9)、(a8、a10)、(a8、a11)、(a8、a12)、(a9、a10)、(a9、a11)、(a9、a12)、(a10、a11)、(a10、a12)、(a11、a12)，共21个，其中，事件“所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于5尺”所包含的基本事件有：(a6、a10)、(a6、a11)、(a6、a12)、(a7、a10)、(a7、a11)、(a7、a12)、(a8、a10)、(a8、a11)、(a8、a12)、(a9、a10)、(a9、a11)、(a9、a12)，共12个，因此，所求事件的概率为eq\f(12,21)＝eq\f(4,7).答案：B10．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2eq\r(3)π，且短轴长为2eq\r(3)，则C的标准方程为()A.eq\f(x2,12)＋y2＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,3)＝1解析：由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＝\f(2\r(3)π,π)，,2b＝2\r(3)，))解得a＝2，b＝eq\r(3)，因为椭圆C的焦点在x轴上，所以C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.答案：B11．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为3的圆的三分之一，则该几何体的体积为()A.eq\f(2\r(2),3)π B.eq\f(4\r(2),3)πeq\r(2)π D.eq\f(8,3)π解析：由题意可知，该几何体的体积等于圆锥的体积，因为圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一，所以圆锥的底面周长为eq\f(2π×3,3)＝2π，所以圆锥的底面半径为1，母线长为3，×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),3)π.从而所求几何体的体积为V＝eq\f(2\r(2),3)π.答案：A12．据记载，欧拉公式eix＝cosx＋isinx(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当x＝π时，得到一个令人着迷的优美恒等式eπi＋1＝0，这个恒等式将数学中五个重要的数(自然对数的底e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和零元0)联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”．根据欧拉公式，若复数z＝eeq\f(3π,4)i的共轭复数为z，则z＝()A．－eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),2)i B．－eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)iC．eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)i D．eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),2)i解析：欧拉公式eix＝cosx＋isinx(x∈R)，则z＝eeq\f(3π,4)i＝coseq\f(3π,4)＋isineq\f(3π,4)＝－eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)i，根据共轭复数定义可知z＝－eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),2)i，故选A.答案：A13．德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形(单位分数是指分子为1，分母为正整数的分数)，称为莱布尼兹三角形．根据前5行的规律，则第6行的左起第3个数为________．eq\f(1,1)eq\f(1,2)eq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,12)eq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,5)eq\f(1,20)eq\f(1,30)eq\f(1,20)eq\f(1,5)……解析：由数表可知，第n行第一个数为eq\f(1,n)，所以第6行的第1个数和最后1个数是eq\f(1,6)，中间的某个数等于下一行“两个脚”的和，所以第6行的第2个数为eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,30)，第6行的第3个数为eq\f(1,20)－eq\f(1,30)＝eq\f(1,60)，故答案为eq\f(1,60).答案：eq\f(1,60)14．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线称为“欧拉线”．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，其“欧拉线”的直线方程为x－y＋2＝0，则△ABC的顶点C的坐标__________．解析：设C(m，n)，由重心坐标公式得△ABC的重心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2＋m,3)，\f(4＋n,3)))，代入欧拉线方程得eq\f(2＋m,3)－eq\f(4＋n,3)＋2＝0整理得m－n＋4＝0①因为AB的中点为(1，2)，kAB＝eq\f(4－0,0－2)＝－2，所以AB的中垂线的斜率为eq\f(1,2)，所以AB的中垂线方程为y－2＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y＋3＝0，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋3＝0，,x－y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1，))所以△ABC的外心为(－1，1)则eq\r(（m＋1）2＋（n－1）2)＝eq\r(（2＋1）2＋12)，②联立①②得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4，当m＝0，n＝4时，点B、C两点重合，舍去；所以m＝－4，n＝0即△ABC的顶点