复变函数论第三版-5-解析函数的洛朗展式与孤立奇点-shu课件

第一节解析函数的洛朗展式1.双边幂级数2.解析函数的洛朗展式3.洛朗级数与泰勒级数的关系4.解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式5.典型例题第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点7/27/202311.双边幂级数定义

称级数（1）为双边幂级数（1）的系数。双边幂级数为双边幂级数，其中复常数负幂项部分非负幂项部分主要部分解析部分注:主要部分与解析部分同时收敛称幂级数收敛7/27/20232负幂项部分非负蜜幂项部分主要部分解析部分同时收敛收敛f1(z)f2(z)f(z)7/27/20233若收敛域为的收敛半径为R,收敛域为时收敛,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分H:这时,级数(1)在圆环H:r<|z-a|<R

收敛于和函数f(z)=f1(z)+f2(z)7/27/20234收敛半径收敛域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分H:R1aaRarHf(z)=f1(z)+f2(z7/27/20235定理5.1

设双边幂级数(1)的收敛圆环为

H:r<|z-a|<R(r≥0,R≤+∞)则(1)级数在H内绝对收敛且内闭一致收敛于:

f(z)=f1(z)+f2(z).(2)f(z)在H内解析.在H内可逐项求导p次(p=1,2,…).(4)函数f(z)可沿H内曲线C逐项积分.ByTH4.10&4.13anddiscussingabove7/27/20236常见的特殊圆环域:...7/27/20237定理5.2(洛朗定理)在圆环H:r<|z-a|<R,(r≥0,R≤+∞)内解析的函数f(z)必可展成双边幂级数其中(2)2.解析函数的洛朗(Laurent)展式(3)7/27/20238(2)2.解析函数的洛朗(Laurent)展式定义5.1

(2)式称为f(z)在点a处的罗朗展式，(3)称为其罗朗系数，而(2)右边的级数则称为罗朗级数。(3)注:泰勒级数是罗朗级数的特殊情形。3.洛朗级数与泰勒级数的关系7/27/20239(2)2.解析函数的洛朗(Laurent)展式(3)7/27/202310定理5.2(罗朗定理)在圆环H:r<|z-a|<R,(r≥0,R≤+∞)内解析的函数f(z)必可展成双边幂级数其中(5.5)(5.4)a7/27/202311Ha证(如图)对z∈H,总可以找到含于H内的两个圆周使得z含在圆环z因为f(z)在圆环上解析,由柯西积分公式有内7/27/202312或写成(5.6)我们将上式中的两个积分表为含有z-a的(正或负)幂次的级数.1 对于第一个积分,只要照抄泰勒定理4.14证明中的相应部分,就得(5.7)(5.8)127/27/202313类似地,对(5.6)的第二个积分我们有2于是上式可以展成一致收敛的级数(5.6)7/27/202314沿Γ1逐项求积分,两端同乘以(5.9)(5.10)由(5.6),(5.7),(5.9)即得回过头来考察系数(5.8)及(5.10),由复围线的柯西积分定理,对任意圆周有7/27/202315于是系数可统一表成(5.5).回过头来考察系数(5.8)及(5.10),由复围线的柯西积分定理,对任意圆周有(5.10)(5.8)7/27/202316因为系数cn与我们所取的z无关,故在圆环H内(5.4)成立.(5.4)7/27/202317

上一致收敛.乘以Γ上的有界函数:最后证明展式的唯一性.设f(z)在圆环H内又可展成下式:由定理5.1知,它在圆周故可逐项积分，得：仍然一致收敛7/27/202318利用重要积分公式，得：7/27/202319定义5.1(5.4)称为f(z)在点a的罗朗展式,(5.5)称为其系数,而(5.4)右边的级数则称为罗朗级数.(5.4)(5.5)7/27/202320例1

求函数分别在圆环及的洛朗级数。(1)在圆环于是有洛朗级数解内7/27/202321(2)在圆环上,,于是有洛朗级数解例1

求函数分别在圆环及的洛朗级数。7/27/202322例2

求函数在内的洛朗级数。例3

求函数在内的洛朗级数。7/27/2023234.解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式定义5.2

如果f(z)在点a的某一去心邻域K-{a}：0<|z-a|<R内解析，点a是f(z)的奇点，则称为f(z)的孤立奇点.如果a为f(z)的一个孤立奇点，则f(z)在点a的某一去心邻域K-{a}：0<|z-a|<R内能展成洛朗级数。7/27/2023244.解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式将函数展成洛朗级数的常用方法。1.直接展开法:利用定理公式计算系数然后写出2.间接展开法根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.7/27/202325例1展开成洛朗级数.5.典型例题例2

求函数

在

内的洛朗级数。例3

试问函数

能否在内展成洛朗级数？7/27/202326例1解由定理知:其中5.典型例题故由柯西–古萨基本定理知:7/27/202327故由柯西–古萨基本定理知:由高阶导数公式知:7/27/202328另解本例中圆环域的中心z=0既是各负幂项的奇点,7/27/202329例2内是处处解析的,试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.解7/27/202330oxy17/27/20233112oxy由且仍有7/27/202332且仍有7/27/2023332oxy由此时7/27/202334仍有此时7/27/202335注意:奇点但却不是函数的奇点.本例中圆环域的中心是各负幂项的说明:1.函数在以为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有的负幂项,而且又是这些项的奇点,但是可能是函数的奇点,也可能的奇点.不是7/27/2023362.给定了函数与复平面内的一点以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例).回答：不矛盾.朗展开式是唯一的)问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性

:指函数在某一个给定的圆环域内的洛7/27/202337解

例37/27/202338例4解7/27/202339例5内的洛朗展开式.解7/27/2023407/27/2023417/27/202342

小结

在这节课中,我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法.将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点.7/27/202343第二节解析函数的有限孤立奇点2.孤立奇点的性质3.Picard定理4.Schwarz引理1.孤立奇点的分类7/27/2023441.孤立奇点的分类如a为f(z)的孤立奇点,则f(z)在a的某去心邻域K-{a}内可以展成罗朗级数则称为f(z)在点a的正则部分,而称为f(z)在点a的主要部分。7/27/2023451.孤立奇点的分类定义5.3

设a为f(z)的孤立奇点.(1)如果f(z)在点a的主要部分为零,则称a为f(z)的可去奇点;(2)如果f(z)在点a的主要部分为有限多项,设为则称a为f(z)的m阶极点，一阶极点也称为简单极点；

(3)如果f(z)在点a的主要部分有无限多项,则称a为f(z)的本性奇点.7/27/202346定理5.3

若a为f(z)的孤立奇点，则下列三条是等价的。因此，它们中的任何一条都是可去奇点的特征。

(2)(1)f(z)在点a的主要部分为零;

(3)f(z)在点a的某去心邻域内有界。2.可去奇点的性质7/27/202347证

(1)(2).

由(1)有因此

(2)(1)f(z)在点a的主要部分为零;7/27/202348证(2)(3).因(3)(1).因主要部分的系数其中,可任意小，故

(2)

(3)f(z)在点a的某去心邻域内有界。7/27/202349Schwarz引理如果函数f(z)在单位圆|z|<1内解析,并且满足条件f(0)=0,|f(z)|<1(|z|<1)，则在单位圆|z|<1内恒有|f(z)|≤|z|,且有.3.施瓦茨(Schwarz)引理如果上式等号成立,或在圆|z|<1内一点z0≠0处前一式等号成立,则(当且仅当)其中α为一实常数.P1917/27/202350证设让r1即得于是,且当时,有即如果这些关系中,有一个取等号,这就意味着在单位圆|z|<1内某一点z0,模数达到最大值,这只有时才可能.此即7/27/2023514.极点的性质定理5.4

如果f(z)以a为孤立奇点，则下列三条是等价的。因此，它们中的任何一条都是m阶极点的特征。(1)f(z)在a点的主要部分为(2)f(z)在点a的某去心邻域内能表示成其中λ(z)

在点a的邻域内解析,且λ(a)≠0以点a为m阶零点。注意第(3)条表明：f(z)以点a为m阶极点的充要条件是以点a为m阶零点。7/27/202352定理5.4如果f(z)以a为孤立点,则a为f(z)的m阶极点(1)f(z)在a点的主要部分为(2)f(z)在点a的某去心邻域内能表成其中λ(z)

在点a邻域内解析,且λ(a)≠0或以a为m阶零点(可去奇点a要当作解析点看,只要令g(a)=0).7/27/202353证(1)(2):设在点a的某去心邻域内有其中：显然在点a的邻域内解析,且7/27/202354

(2)推出(3):设在点a的某去心邻域内有其中在点a的某去心邻域内解析,且(由例1.28)因此a为g(z)的可去奇点,作为解析点来看,只要令g(a)=0,a就为g(z)的m级零点.

(3)推出(1):如果以点a为m级零点,则在点a的某邻域内定理4.17其中在此邻域内解析,且.这样一来7/27/202355因1/(z)

在点a某邻域内解析(例1.28),则可展成泰勒级数，设为：于是f(z)在点a的主要部分就是定理5.5f(z)的孤立奇点a为极点的充要条件是7/27/202356定理5.6f(z)的孤立奇点a为本性奇点证明：(反证法)若a不是f(z)的本性奇点

a是f(z)的可去奇点

a是f(z)的极点

a是f(z)的可去奇点

a是f(z)的极点矛盾！7/27/202357定理5.7若z=a为f(z)之一本性奇点,且在点a的充分小去心邻域内不为零,则z=a亦必为的本性奇点.证（反证法）①若z=a为(z)的可去奇点(解析点),都与假设②若z=a为(z)的极点a为f(z)的可去奇点a为f(z)的可去奇点a为f(z)的极点.由假设,z=a必为矛盾！本性奇点.7/27/2023587/27/202359定理5.6

f(z)的孤立奇点a为本性奇点5.本性奇点的性质定理5.7

若z=a为f(z)的本性奇点,且在点a的充分小去心邻域内不为零,则z=a亦必为的本性奇点.定理5.5

f(z)的孤立奇点a为极点

7/27/202360奇点孤立奇点非孤立奇点支点可去奇点极点本性奇点（单值函数的）（多值函数的）7/27/202361定理5.8

如果a为f(z)的本性奇点,则对于任何常数A,不管它是有限数还是无穷,都有一个收敛与a的点列{zn},使得6.Picard(皮卡)定理定理5.9(皮卡(大)定理)如果a为f(z)的本性奇点,则对于每一个A≠∞,除掉可能一个值A=A0外,必有趋于a的无限点列{zn}使f(zn)=A(n=1,2,…).7/27/202362定理5.8如果a为f(z)的本性奇点,则对于任何常数A,不管它是有限数还是无穷,都有一个收敛与a的点列{zn},使得换句话说,在本性奇点的无论怎样小的去心邻域内,函数f(z)可以取任意接近于预先给定的任何数值(有限的或无穷的).Picard(毕卡)定理证(1)在A＝∞的情形,定理是正确的.因为函数f(z)的模在a的任何去心邻域内都是无界的.否则,a必为f(z)的可去奇点.7/27/202363(2)现在设.这样,由定理5.7,函数在K-{a}内解析,且以a为本性奇点(因a为f(z)的本性奇由此推出可能有这种情形发生,在点a的任意小的邻域内有这样一点z存在,使f(z)=A.定理得证

因此,我们可以假定,在点a的充分小去心邻域K-{a}内f(z)≠A点).根据前面(1)段的结果,必定有一个趋向a的点列{zn}存在,使得7/27/202364用下列例子来验证定理5.8成立例5.9A=∞A≠∞7/27/202365例5.10A=∞A=0A≠∞,A≠∞7/27/202366

定理5.9(毕卡(大)定理)

如果a为f(z)的本性奇点,则对于每一个A≠∞,除掉可能一个值A=A0外,必有趋于a的无限点列{zn}使f(zn)=A(n=1,2,…).7/27/202367第三节解析函数在无穷远点的性质定义5.4

设函数f(z)在无穷远点(去心)邻域

N-{∞}：+∞>|z|>r≥0内解析,则称点∞为f(z)的一个孤立奇点.设点∞为f(z)的孤立奇点,利用变换

,于是在去心邻域:(5.12)内解析，则7/27/202368(1)对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域N-{∞},有扩充z/平面上的原点的去心邻域;

(2)在对应点z与z/上,函数(3)或两个极限都不存在.注：7/27/202369定义5.5

若z/=0为的可去奇点(解析点)、m级极点或本性奇点,则相应地称z=∞为f(z)的可去奇点(解析点)、m级极点或本性奇点.设在去心邻域内将展成罗朗级数:7/27/202370定理5.3/(对应于定理5.3)f(z)的孤立奇点z=∞为可去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:(1)f(z)在的主要部分为零;(2)(3)f(z)在的某去心邻域N-{∞}内有界.7/27/202371定理5.4/(对应于定理5.4)f(z)的孤立奇点z

=∞为m级极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:(1)f(z)在z=∞的主要部分为(2)f(z)在z

=∞的某去心邻域N-{∞}内能表成(3)g(z)=1/f(z)以z

=∞为m级零点(只要令g(∞)=0).其中在z

=∞的邻域N内解析,且7/27/202372定理5.5’(对应于定理5.5)f(z)的孤立奇点∞为极点的充要条件是定理5.6’(对应于定理5.6)f(z)的孤立奇点∞为本性奇点的充要条件是下列任何一条成立:(1)f(z)在z=∞的主要部分有无穷多项正幂不等于零广义不存在(即当z趋向于∞时,f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限).(2)7/27/202373例5.117/27/202374例5.12将多值函数的在无穷远点的某去心邻域内展成洛朗级数7/27/202375例5.12将多值函数的在无穷远点的某去心邻域内展成洛朗级数7/27/202376例5.14求出函数的全部奇点,并判断其类型(含∞点)7/27/2023777/27/202378例5.16设f(z)在0<|z-a|<R内解析，且不恒为零；又若f(z)有一列异于a但却以a为聚点的零点。试证a必为f(z)的本性奇点7/27/202379第四节整函数与亚纯函数1.整函数2.亚纯函数7/27/202380在整个z平面上解析的函数f(z)称为整函数.(5.14)设f(z)为一整函数,则f(z)只以z=∞为孤立奇点,且可设1.整函数7/27/202381定理5.10若f(z)为一整函数,则(1)z=∞为f(z)的可去奇点的充要条为:f(z)=c.

(2)z=