高中数学-76空间几何体及其表面积和体积配套课件-苏教版

第六节空间(kōngjiān)几何体及其表面积和体积第一页，共55页。内容要求ABC柱、锥、台、球及其组合体√柱、锥、台、球的表面积和体积√…………高考(ɡāokǎo)指数:★第二页，共55页。1.空间(kōngjiān)几何体(1)多面体定义性质棱柱由一个__________沿某一方向_____形成的空间几何体①两个底面是____________，且对应边互相_____②侧面都是____________平面(píngmiàn)多边形平移(pínɡyí)全等的多边形平行平行四边形第三页，共55页。棱锥棱柱的一个底面________________时，得到的几何体①底面是_________②侧面是_________________________棱台棱锥被___________的一个平面所截后，____和______之间的部分①上下底面_____②侧棱延长后_________收缩(shōusuō)为一个点多边形有一个(yīɡè)公共顶点的三角形平行(píngxíng)于底面截面底面相似交于一点第四页，共55页。(2)旋转体①旋转面：一条(yītiáo)平面曲线绕它所在平面内的一条(yītiáo)定直线旋转所形成的曲面.②旋转体：封闭的旋转面围成的几何体.③圆柱、圆锥、圆台和球第五页，共55页。图形平面图形轴圆柱圆锥矩形(jǔxíng)矩形(jǔxíng)的一边所在的直线o′oos直角三角形所在(suǒzài)的直线一直角边第六页，共55页。图形平面图形轴圆台球oo′o直角(zhíjiǎo)梯形半圆(bànyuán)垂直于底边(dǐbiān)的腰______所在的直线直径所在的直线第七页，共55页。【即时应用】(1)思考：柱体、锥体(zhuītǐ)、台体三者之间有怎样的关系？提示:柱体台体椎体第八页，共55页。(2)判断下列命题是否正确.(请在括号内填“√”或“×”)①用一个平面去截棱锥(léngzhuī)，棱锥(léngzhuī)底面和截面之间的部分是棱台；()②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；()③有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；()④有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.()第九页，共55页。【解析】①中的平面不一定平行于底面，故①错；②可画图检验(jiǎnyàn)，如图1，错误.第十页，共55页。③错，如图2，面ABC∥面A1B1C1，其余各面都是平行四边形，但图中的几何体每相邻(xiānɡlín)两个四边形的公共边并不都互相平行，故不是棱柱.④错，如图3，每个面都是三角形，但形成的几何体不是棱锥.答案：①×②×③×④×第十一页，共55页。2.空间几何体的表面积、体积(1)表面积公式(gōngshì)①S直棱柱侧＝ch,S正棱锥侧＝ch′,S正棱台侧＝(c+c′)h′；②S圆柱侧＝2πrl,S圆锥侧＝πrl,S圆台侧＝π(r+r′)l；③S球＝4πR2.(2)体积公式(gōngshì)①V柱体＝Sh,V锥体＝Sh,V台体＝h(S++S′)；②V球＝πR3.第十二页，共55页。【即时应用】(1)思考：对于不规则的几何体应当如何求其体积？提示:对于不规则的几何体的体积常用割补法或是转化成已知几何体积公式的几何体来解决.(2)棱长为2的正四面体的表面积为______．【解析(jiěxī)】正四面体的表面积为4×(×22)=4.答案：4第十三页，共55页。(3)已知正方体外接球的体积是π，那么正方体的棱长为___.【解析(jiěxī)】设正方体的棱长为a,外接球的半径为R，则2R=a,∴R=a,由题意知，V球=πR3=π，∴R=2，∴a=2,∴a=.答案：第十四页，共55页。几何体的展开与折叠【方法点睛】1.求解几何体表面上两点间的最短距离的方法常用方法是选择(xuǎnzé)恰当的母线或棱将几何体展开，转化为平面上两点间的最短距离来解，是将空间几何体展开成平面图形的应用．第十五页，共55页。2.解决折叠问题的技巧(jìqiǎo)解决折叠问题时，要分清折叠前后两图形(折叠前的平面图形和折叠后的空间图形)的各元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化，哪些没有发生变化．【提醒】对折叠问题中的前后两个图形，在折线同侧的元素的位置关系和数量关系不发生变化；在折线异侧的元素的位置关系和数量关系发生变化．第十六页，共55页。【例1】(1)(2012·南京模拟)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着正三棱柱的侧面(cèmiàn)绕行两周到达点A1的最短路线的长为_______cm.第十七页，共55页。(2)如图，已知一个(yīɡè)多面体的平面展开图由一个(yīɡè)边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_____.第十八页，共55页。【解题指南】(1)将正三棱柱的侧面展开转化为平面问题来解决；(2)将平面图形折叠后得到一个四棱锥，用相关(xiāngguān)公式可求得体积．【规范解答】(1)将正三棱柱沿棱AA1两次展开，得到如图所示的矩形，可知最短路线长为矩形的对角线长，从而所求最短路线的长为答案：13第十九页，共55页。(2)由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连结顶点和底面中心(zhōngxīn)即为高，可得高为，所以体积为V=×1×1×=.答案：第二十页，共55页。【互动探究(tànjiū)】本例(2)中条件不变，求该多面体的表面积．【解析】由题意知，该四棱锥的侧面为边长为1的等边三角形，底面为边长为1的正方形，故其表面积为第二十一页，共55页。【反思·感悟】1.求几何体表面上两点间的最短距离是常见题型之一，这类问题的特点是：图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上．为了便于发现图形间性质与数量上的相互关系，需将图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面(qūmiàn)展开为平面，使问题得到解决．2.折叠问题是立体几何中常见的题型，几何体的展开与平面图形的折叠，体现了转化的思想，也是解决立体几何问题时常用的方法．第二十二页，共55页。【变式备选】如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，△ABC为等边三角形，AA′⊥平面ABC，AB=3,AA′=4，M为AA′的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为，设这条路线与CC′的交点(jiāodiǎn)为N．(1)求该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)求PC与NC的长．第二十三页，共55页。【解题指南】(1)三棱柱侧面展开图为矩形，利用勾股定理求解.(2)在展开图中结合(jiéhé)两点之间线段最短，可以利用勾股定理，列出方程，求出PC的长度.利用平行的性质求出NC的值.第二十四页，共55页。【解析】(1)该三棱柱的侧面展开(zhǎnkāi)图是边长分别为4和9的矩形，故对角线长为(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB′展开(zhǎnkāi)，如图所示．设PC=x,则MP2=MA2+(AC+x)2.∵MP=，MA=2，AC=3，∴x=2,即PC=2.又NC∥AM，∴，即，∴NC=.第二十五页，共55页。几何体的表面积【方法点睛】1.几何体表(tǐbiǎo)面积的求法(1)若所给的几何体是规则的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积的和．第二十六页，共55页。2.旋转体侧面积的求法计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．【提醒】解题中要注意表面积与侧面积的区别(qūbié)，对于组合体的表面积还应注意重合部分的处理.第二十七页，共55页。【例2】(1)(2011·北京高考(ɡāokǎo)改编)某四棱锥的底面是边长为4的正方形，高为2，顶点在底面内的射影是底面正方形的中心，该四棱锥的表面积是________.第二十八页，共55页。(2)某几何体由上、下两个(liǎnɡɡè)长方体组合而成，下面长方体的长、宽、高分别为8，10，2；上面长方体的长、宽、高分别为6，2，8(如图)，该几何体的表面积为______.第二十九页，共55页。【解题指南】(1)求四棱锥的表面积的关键(guānjiàn)是求侧面积，而求侧面积的关键(guānjiàn)是求斜高.(2)分析几何体的组合方式，分别计算出两个长方体的表面积，要注意重合表面的面积.第三十页，共55页。【规范解答(jiědá)】(1)该四棱锥的斜高为，表面积为4×(×4×2)+42=16+16.答案：16+16(2)S表=2×10×8+2×(8+10)×2+2×(2+6)×8=360.答案：360第三十一页，共55页。【反思·感悟】1.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面(píngmiàn)图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．2.注意对面积公式的讨论都是利用展开图进行的,解题中要注意将空间图形转化为平面(píngmiàn)图形这一方法的运用.第三十二页，共55页。3.扇形和扇环的面积类比(lèibǐ)三角形的面积公式得：弧长为l，半径为r的扇形的面积为S=lr；类比(lèibǐ)梯形的面积公式得：内弧长为l′，外弧长为l，外半径减内半径为r的扇环面积为S=(l′+l)r．第三十三页，共55页。【变式训练】如图所示，某几何体由一个圆锥和一个半球组成．球半径和圆锥底面半径都等于(děngyú)3，圆锥的母线长等于(děngyú)5，该几何体的表面积为_______.【解析】S＝2π×32＋π×3×5＝33π.答案：33π第三十四页，共55页。【变式备选】如图所示，以圆柱(yuánzhù)的下底面为底面，并以圆柱(yuánzhù)的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱(yuánzhù)等底等高．若圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱(yuánzhù)的侧面积与圆锥的侧面积之比为______.【解析】设圆锥的底面半径为r，则母线长为2r，高为r，∴圆柱(yuánzhù)的底面半径为r，高为r，∴答案：∶1第三十五页，共55页。几何体的体积【方法点睛】1.求几何体体积的思路(1)若所给定的几何体是规则的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行(jìnxíng)求解；(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行(jìnxíng)求解.第三十六页，共55页。2.柱体、锥体、台体的体积公式(gōngshì)之间的关系,可表示为【提醒】在立体几何的计算问题中，不要忘记必要的推理过程．S′=SS′=0v柱体=Shv椎体=Sh第三十七页，共55页。【例3】(1)(2011·新课标全国(quánɡuó)卷)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB=6,BC=2,则棱锥O-ABCD的体积为________.(2)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，且AB=8，BC=6，高为4，顶点在底面内的射影是矩形的中心.①求该四棱锥的体积V；②求该四棱锥的侧面积S．第三十八页，共55页。【解题指南】(1)解题的关键是定准球心的位置，求出棱锥的高.(2)解题的关键是解直角三角形求棱锥的高、斜高.【规范解答】(1)如图所示，OO′垂直于矩形ABCD所在的平面，垂足为O′，连结(liánjié)O′B，OB，则在Rt△OO′B中，由OB=4，O′B=2,可得OO′=2,∴VO-ABCD=·S矩形ABCD·OO′=×6×2×2=8.答案：8第三十九页，共55页。(2)①V=×(8×6)×4=64.②该四棱锥(léngzhuī)有两个侧面PAD、PBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1=，另两个侧面PAB、PCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为，因此S=2×(×6×4＋×8×5)=40＋24．第四十页，共55页。【互动探究】在本例(2)中的四棱锥P-ABCD中,分别取AB、CD的中点F、E，试求四棱锥P-BCEF的表面积.【解析(jiěxī)】由本例(2)知PE=PF=5，EF=BC=6，S△PCE=S△PBF=S△PAB=××8×5=10，S△PBC=×6×4=12，S矩形BCEF=×8×6=24,S△PEF=×6×4=12.∴四棱锥P-BCEF的表面积S=10×2+12+12+24=56+12.第四十一页，共55页。【反思·感悟】求锥体体积的关键求锥体体积的关键是找(或作)锥体的高，所以求锥体体积通常与线面垂直的证明联系(liánxì).对于三棱锥的体积计算，要遵循哪个面的垂线易找(或易作)就以哪个面为底面的原则.第四十二页，共55页。【变式备选】如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形(zhènɡsānjiǎoxínɡ)，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为________.第四十三页，共55页。【解析】如图所示，过A、B两点分别作AM、BN垂直于EF，垂足分别为M、N，连结DM、CN，可得DM⊥EF、CN⊥EF，多面体可分为三部分(bùfen)，故多面体的体积为VABCDEF=VAMD-BNC+VE-AMD+VF-BNC，∵NF=，BF=1，∴BN=．作NH⊥BC于点H，则H为BC的中点，则NH=．∴S△BNC=·BC·NH=×1×=．∴VAMD-BNC=S△BNC·MN=，第四十四页，共55页。VF-BNC=·S△BNC·NF=VE-AMD=VF-BNC=.∴VABCDEF=答案(dáàn)：第四十五页，共55页。

【易错误区】球的组合体中求体积时的常见错误【典例】(2011·辽宁高考改编)已知球的直径SC=4，A、B是该球球面上的两点，AB=2,∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为________.【解题指南】根据(gēnjù)所给条件画出图形，将三棱锥S-ABC分为两部分，结合三棱锥的体积公式求解.第四十六页，共55页。【规范解答】如图，由题意可知，在三棱锥S-ABC中，△SAC和△SBC都是等腰直角三角形，其中AB=2，SC=4，SA=SB=AC=BC=2.取SC的中点D，易得SC⊥平面ABD.故所求棱锥S-ABC的体积等于以△ABD为底的两个小三棱锥的体积(tǐjī)的和，其高的和即为球的直径SC，故答案：第四十七页，共55页。【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考(bèikǎo)建议：误区警示在解答本题时容易出错的主要原因有：(1)不能合理地画出图形、不能将所给条件转化到三棱锥中；(2)不能将三棱锥的体积转化为两个三棱锥的体积之和来处理.第四十八页，共55页。备考建议由于近几年的高考加强了对几何体体积、面积的考查，在备考时要注意：(1)加强对常见几何体的有关计算的训练，熟练掌握常见几何体的面积及体积的求法；(2)对于一些复杂的几何体，要善于将其转化为规则的几何体进行求解；(3)要重视对计算能力的训练与培养，以适应高考的需要.第四十九页，共55页。1.(2011·新课标全国卷)已知两个圆锥有公共(gōnggòng)底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________.第五十页，共