第4章-矩阵基础课件

第4章矩阵基础的概念4.1矩阵4.2矩阵的基本运算4.3矩阵的初等变换与矩阵的秩4.4矩阵的逆*4.5分块矩阵的运算4.6矩阵运算在计算机图形学中的应用

例4.1

设要将某种物质从三个产地A1、A2、A3运往四个销地B1、B2、B3、B4，用aij

表示由产地Ai调往销地Bj的物质数量，那么这一调运方案可用下面的表格表示：4.1矩阵的概念例4.2

考虑线性方程组：把此线性方程组的系数按原来的次序排成如下的系数表：常数项也排成一个表。有了这两个表，方程组就完全被确定了。例4.3

在平面解析几何中，坐标旋转变换公式为显然，新旧坐标之间的关系可通过其系数表：

来表示，称它为坐标旋转变换的旋转变换表。定义4.1

由mn个数（i=1,2,…,m；j=1,2,…,n）排成的m行n列的矩形阵式

称A为一个m行n列的矩阵，或m×n矩阵。

因为矩阵A中第i行第j列的元素为aij，所以矩阵A常写为设矩阵，，若m=s，n=t，且A与B的对应元素相等：（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n），则称矩阵A与B相等，记为A=B。当m=n时，称为n阶方阵。当m=1时，即只有一行的矩阵，称为行矩阵或行向量。当n=1时，即只有一列的矩阵，称为列矩阵或列向量。当m=n=1时，即只有一个元素的矩阵，矩阵就退化为通常的标量了。所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O。主对角线元素全是1，其余元素全是0的方阵为单位阵，记为I或者E。定义4.2

设A(aij)和B(bij)是两mn个矩阵，把它们的对应元素相加，得到一个新的矩阵

则称矩阵C是A与B的和，记作C=A+B。注意：两个矩阵必须在行数与列数分别相等的情况下才能相加。4.2矩阵的基本运算矩阵的加法满足交换律

A+B=B+A，结合律

(A+B)+C=A+(B+C)。对于任何矩阵A有：A+O=A。

设矩阵，若把它的每一元素换为其相反数，得到一个矩阵，称它为A的负矩阵，记为-A，显然有A+(-A)=O。利用矩阵的加法及负矩阵的概念，我们可以定义两个矩阵A与B的差，即定义减法：

A-B=A+(-B)。其实质也就是把A与B的元素对应相减。显然，A-B=0与A=B等价。定义4.3

设A=(aij)

是一个矩阵，k是一个数，则称矩阵

为矩阵A与数k的数量乘积，记为kA。数量乘积满足下列运算规律：

分配律

(k+l)A=kA+lAk(A+B)=kA+kB

结合律

k(lA)=(kl)A1A=A(其中k、l是数，A、B是矩阵)定义4.4

设A(aij)是一个mn矩阵

B(Bij)是一个np矩阵那么矩阵A与矩阵B的乘积记为AB

规定为mp矩阵C(cij)

其中(i12

m；j12

p)

注意：1.A的列数必须等于B的行数，A与B才能相乘。2.乘积C=AB中第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列元素对应乘积之和。3.乘积C=AB的行数等于A的行数，C=AB的列数等于B的列数。例4.5

设

，，则

例4.6

对线性方程组：

则该线性方程组可写成一个矩阵方程AX=B。A为方程组的系数矩阵，B为方程组的常数项矩阵，X为方程组的未知变量矩阵

解

32161680000

本例说明

乘法一般不满足交换律

从ABO一般不能推出AO或BO

从A(XY)O一般不能推出XY

矩阵乘法的性质1.不满足交换律2.由AB=O，不能推出A=O或B=O。3.满足结合律(AB)C=A(BC)4.乘法对加法满足分配律

A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA5.矩阵的乘法和数量乘法还满足结合律

k(AB)=(kA)B6.ImA=AIn=A定义4.4

设矩阵，把它的行与列互换所得到的矩阵

称为矩阵A的转置矩阵，记为。

转置矩阵满足以下运算律1）；2）；3）；4）。4.3矩阵的初等变换与矩阵的秩4.3.1矩阵的初等变换4.3.2矩阵的秩定义4.5

对矩阵施以下列三种变换，称为矩阵的初等变换：1)交换矩阵的两行（列）.(对调变换(i)(j))2)以一个非零的数k乘以矩阵的某一行(列).（倍乘变换k(i)）3)把矩阵某一行（列）的k倍加于另一行（列）上.（倍加变换k(i)+j）4.3.1矩阵的初等变换若在矩阵各行中位于第一个非零元素前面的零的个数逐行増加，且矩阵的全零行在最下方，则称此矩阵为阶梯形矩阵。定理4.1

任意一个矩阵经过若干次初等行变换均可以化为阶梯形矩阵。

例4.7

设 ，则可化A为阶梯形矩阵：此矩阵为阶梯形矩阵。4.3.2矩阵的秩定义4.6

矩阵A的阶梯形矩阵中非零行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A)。设A为n阶方阵，若r(A)=n，则称A为满秩矩阵，或称A为非奇异的或非退化的。命题：任意一个n阶满秩矩阵经过矩阵的初等变换均可以化为n阶单位阵。4.4矩阵的逆4.4.1逆矩阵和可逆矩阵4.4.2矩阵可逆的条件4.4.3求逆矩阵4.4.1可逆矩阵与逆矩阵定义4.7

设A为n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得，则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵。A的逆矩阵用表示。性质：若A可逆,则A的逆矩阵是唯一的。证明(反证法)：假设A有两个逆矩阵B、C，即，，于是，所以逆矩阵是唯一的。注意：1）可逆矩阵一定是方阵，且不能写成。2）有逆矩阵的方阵称为可逆矩阵，无逆矩阵的方阵称为不可逆矩阵。3）若A的逆矩阵是B，则B的逆矩阵也是A。矩阵的逆满足以下运算律：1）2）3）4）4.4.2方阵可逆的条件定理4.2

方阵A为可逆阵的充分必要条件是A为满秩矩阵。例:A为4阶方阵，r(A)=3，A为非满秩矩阵，所以A为不可逆矩阵。

利用初等行变换求逆矩阵的方法：1.先在所要求的矩阵旁添上一个与其阶数相等的单位矩阵，成为的形式，2.然后对矩阵进行初等行变换，将其左半部A化为单位矩阵，这时右半部即为A的逆矩阵，即变成。这样就把A的逆矩阵求出来了。4.4.3求逆矩阵例4.8

设，求。解：所以注意：对矩阵进行初等行变换时，若所变换矩阵左半部子块中有一行的元素全为0，可知A为非满秩矩阵，由定理4.2，则知A为不可逆矩阵。

线性方程组AX=B。令=[A,B]，称为方程组的增广矩阵。1。线性方程组AX=B有解的充分必要条件是；2。若方程组AX=B有解，则当时,方程组只有唯一解;当时,方程组有无穷多解；4.6.1伸缩变换4.6.2平移变换4.6.3旋转变换4.6矩阵运算

在计算机图形学中的应用4.6.1伸缩变换伸缩变换是由视图沿x、y、z轴方向分别以伸缩系数、、伸缩而成。用这种方法，我们指定原视图中具有坐标的点移动到新视图中具有坐标的新的点上。用矩阵乘法完成伸缩变换定义一个三阶对角矩阵为原视图中点Pi的坐标表示为列矩阵变换后的点P’i的坐标表示为列矩阵原来视图所有n个点的坐标作为矩阵P的列，则矩阵P称为坐标矩阵。通过变换这n个点同时产生伸缩视图的坐标矩阵P’=SP.把这个新的坐标矩阵输入视屏显示系统，就产生物体的新视图。4.6.2平移变换平移变换是将物体平移（或位移）到视屏的一个新的位置。假设我们希望改变现有的视图，使具有坐标的每一点移到具有坐标为的新的点。通过矩阵加法实现平移变换平移向量用列向量表示定义一个3Xn矩阵T如下：视图的所有n个点由坐标矩阵P确定，通过方程能实现平移变换。坐标矩阵P’给出n个点的新坐标。4.6.3旋转变换旋转变换是视图关于三个坐标轴进行旋转的变换。从绕z轴旋转一个角开始（z轴垂直于屏幕），已知点在原来视图中具有坐标，我们要计算旋转后的点的新坐标。运用三角知识推导出如下式子：此式可用矩阵表达如下：用表示这个等式中的3阶方阵，称为旋转矩阵，那么被旋转的n个点可用矩阵的乘积求得旋转之后视图的坐标矩阵。

绕x轴y轴的旋转可类似地完成。绕