直线与平面平行经典题目

9.2直线与平面平行●知识梳理1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.●点击双基1.设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是A.α⊥β且m⊥βB.α∩β=n且m∥n C.m∥n且n∥α D.α∥β且mβ答案：D2.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βA.①② B.②③ C.③④ D.①④答案：AA.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定解析：设α∩β=l，a∥α，a∥β，过直线a作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b，β∩γ=c，则a∥b且a∥c，∴b∥c.又bα，α∩β=l，∴b∥l.∴a∥l.答案：C4.(06重庆卷)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与lA.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线解析：对于任意的直线与平面，若在平面α内，则存在直线m⊥；若不在平面α内，且⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于，若不在平面α内，且于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面内必有直线垂直于它的射影，则与垂直，综上所述，选C.5.已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤.（i）当满足条件③⑤时，有；（ii）当满足条件②⑤时，有. （填所选条件的序号）●典例剖析【例1】如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足（如上图），连结PQ.∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ.又NQ=BN=CM=MP，∴MPQN是平行四边形.∴MN∥PQ，PQ平面BCE.而MN平面BCE，∴MN∥平面BCE.证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G（如下图），连结NG.∵MG∥BC，BC平面BCE，MG平面BCE，∴MG∥平面BCE.又==，∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE.又面MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCE.又MN平面MNG.∴MN∥平面BCE.特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.【例2】已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.（1）求证：直线MN∥平面PBC；（2）求直线MN与平面ABCD所成的角.（1）证明：∵P—ABCD是正四棱锥，∴ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E，连结PE.∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND.又∵BN∶ND=PM∶MA，∴EN∶AN=PM∶MA.∴MN∥PE.又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC.（2）解：由（1）知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角.设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角.由正棱锥的性质知PO==.由（1）知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8，∴BE=.在△PEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE=，根据余弦定理，得PE=.在Rt△POE中，PO=，PE=，∴sin∠PEO==.故MN与平面ABCD所成的角为arcsin.【例3】如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（=2\*ROMANII）求证：AC1//平面CDB1；（=3\*ROMANIII）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．解析：（=1\*ROMANI）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4,AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；（=2\*ROMANII）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE//AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1//平面CDB1；（=3\*ROMANIII）∵DE//AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2，∴，∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.●闯关训练夯实基础1.（07福建理）已知m、n为两条不同的直线，QUOTE为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A.∥，n∥∥B.∥，，m∥nC.m⊥，m⊥nn∥D.n∥m,n⊥m⊥解析：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在内，不正确，选D2.（06福建卷）对于平面和共面的直线m、n，下列命题中真命题是A.若m⊥，m⊥n，则n∥B.若m∥，n∥，则m∥nC.若m，n∥，则m∥nD.若m、n与所成的角相等，则n∥m解：对于平面和共面的直线、真命题是“若则”，选C.3.（06湖南卷）过平行六面体ABCD-A1B1C1D1作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有()A.4条B.6条C.8条D.12条解：如图，过平行六面体任意两条棱的中点作直线,其中与平面平行的直线共有12条，选D.4.(06重庆卷)若是平面外一点，则下列命题正确的是A.过只能作一条直线与平面相交B.过可作无数条直线与平面垂直C.过只能作一条直线与平面平行D.过可作无数条直线与平面平行解析：过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行。故选D5.如图，在三棱柱ABC—A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心.从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（C）A．K B．H C．GD．B′6.已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.在上面结论中，正确结论的编号是__________.（写出所有正确结论的编号）解析：A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行；AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直；DD1与BC1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点.答案：①②④7.已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α内，斜边AB∥α，AB=2，AC、BC分别和平面α成45°和30°角，则AB到平面α的距离为__________.解析：分别过A、B向平面α引垂线AA′、BB′，垂足分别为A′、B′.设AA′=BB′=x，则AC2=（）2=2x2，BC2=（）2=4x2.又AC2+BC2=AB2，∴6x2=（2）2，x=2.答案：28、（07江西）右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠AlBlC1＝90°，AAl＝4，BBl＝2，CCl＝3（I）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1xzyMGDSFCBEAAxzyMGDSFCBEAA第39题图第38题图FEPDC（Ⅲ）求此几何体的体积；解法一：（1）证明：作交于，连．则．因为是的中点，所以．则是平行四边形，因此有．平面且平面，则面．（2）如图，过作截面面，分别交，于，．作于，连．因为面，所以，则平面．又因为，，．所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．因为，所以，故，即：所求二面角的大小为．（3）因为，所以．．所求几何体体积为．解法二：（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，因为是的中点，所以，．易知，是平面的一个法向量．因为，平面，所以平面．（2），，设是平面的一个法向量，则则，得：取，．显然，为平面的一个法向量．则，结合图形可知所求二面角为锐角．所以二面角的大小是．（3）同解法一．培养能力9.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.（I）证明PA⊥平面ABCD；（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.（Ⅰ）证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.（Ⅱ）解作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.又PE:ED=2:1，所以从而（Ⅲ）解法一以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为所以设点F是棱PC上的点，则令得解得即时，亦即，F是PC的中点时，、、共面.又BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC.解法二当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下，证法一取PE的中点M，连结FM，则FM//CE.①由知E是MD的中点.连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.所以BM//OE.②由①、②知，平面BFM//平面AEC.又BF平面BFM，所以BF//平面AEC.证法二因为所以、、共面.又BF平面ABC，从而BF//平面AEC.探究创新10.如下图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N（1）求证：EM∥平面A1B1C1D1；（2）求二面角B—A1N—B1的正切值；（3）设截面A1BMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V1、V2（V1＜V2），求V1∶V2的值.（1）证明：设A1B1的中点为F，连结EF、FC1.∵E为A1B的中点，∴EFB1B.又C1MB1B，∴EFMC1.∴四边形EMC1F为平行四边形.∴EM∥FC1.∵EM平面A1B1C1D1，FC1平面A1B1C1D1，∴EM∥平面A1B1C1D1（2）解：作B1H⊥A1N于H，连结BH.∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BH⊥A1N.∴∠BHB1为二面角B—A1N—B1的平面角.∵EM∥平面A1B1C1D1，EM平面A1BMN，平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N，∴EM∥A1N.又∵EM∥FC1，∴A1N∥FC1.又∵A1F∥NC1，∴四边形A1FC1N是平行四边形.∴NC1=A1F.设AA1=a，则A1B1=2a，D1N=a.在Rt△A1D1N中，A1N==a，∴sin∠A1ND1==.在Rt△A1B1H中，B1H=A1B1sin∠HA1B1=2a·=a.在Rt△BB1H中，tan∠BHB1===.（3）解：延长A1N与B1C1交于P，则P∈平面A1BMN，且P∈平面BB1C1C.又∵平面A1BMN∩平面BB1C1C=BM，∴P∈BM，即直线A1N、B1C1、BM交于一点P.又∵平面MNC1∥平面BA1B1，∴几何体MNC1—BA1B1为棱台.∵S=·2a·a=a2，S=·a·a=a2，棱台MNC1—BA1B1的高为B1C1=2a，V1=·2a·（a2++a2）=a3，∴V2=2a·2a·a－a3=a3.∴=.●思悟小结1.直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，后者又统称为直线在平面外.2.辅助线（面）是解证线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线（面）.教学点睛1.必须使学生理解并掌握直线与平面的位置关系，以及直线与平面平行的判定定理及性质定理；结合本课时题目，使学生掌握解证线面平行的基本方法.拓展题例【例1】在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，AB=CC1=a，BC=b.（1）设E、F分别为AB1、BC1的中点，求证：EF∥平面ABC；（2）求证：A1C1⊥AB；（3）求点B1到平面ABC1的距离.（1）证明：∵E、F分别为AB1、BC1的中