2015年特级教师“自主招生”物理培优讲义(修改版)

2015年特级教师“自主招生”物理培优讲义（修改版）

自主招生物理复习与应试技巧

1.物理考题特点：

（1）综合性高：要求考生综合运用所学物理知识来解决实际问题，有的题可能还会综合到

其他学科的知识。

（2）能力性强：不是靠死背知识点或记几个解题模型就能解决问题，综合考查考生理解能

力、推理能力、分析综合能力、应用数学处理物理问题的能力、实验能力等物理学科能力。

（3）随意性大：考题并不强调知识的覆盖面，很多内容都没在考题中出现；但有的内容年

年考，甚至有的同一试卷中有多道题考查到同一知识点。

（4）难度逐年下降：对于参加过竞赛的同学来说，可能会有一定的优势。但随着自主招生

规模的扩大，参加自主招生考试的考生越来越多，试题难度呈现逐年下降趋势，多数题已经

接近高考题的难度。

2.物理复习建议

把握机会，做好两手准备：以自主招生考试的复习，促进高考备考复习。知识章节分布上：

热学占的比重较大。主要原因是热学作为物理的一个重要的分支，对统计的科学方法，微观

到宏观的模型理解等等方面的思维训练都十分必要。因此，北京的考生就相对吃亏。其他章

节，例如力学，电磁学，光学都有涉及，体现了清华体系对知识覆盖面广的特点。

3.自主招生物理考题特点与应试技巧：

题目的模型和方法：

（问题单一一貌视简单

f特点：情境过程复杂一考查分析综合能力

〔思维量大一涉及物理知识较多

I

r自找台阶一情境过程分析

、翳〈顺藤摸瓜一找准切入点

'技巧

i跟踪追击一一环扣一环

力学部分，考察了关联加速度，质心运动，振动等等几个模型。值得指出的是，其中超纲

知识非常少（伯努力方程）。而且这个题也是整个卷子中唯一的竞赛原题，出自俄罗斯竞赛

试题。其他的像加速度关联，质心方法和间谐振动等都是对于高考模型的拓展。

热学部分考察了膨胀系数和气体模型，主要目的也是考察学生对于模型的理解和应用数

学，应用逻辑的推理能力。在这个层面上，可以说和高考的出题思路有异曲同工之妙。

电磁学部分的考察有一道简单的题目，一道较难的压轴题。压轴题目复合场中的粒子运动，

风格比较像全国一卷压轴题和物理竞赛初赛压轴计算题的风格的杂糅。

光学部分考察的是干涉。需要同学们对于书本上的公式的背后的物理意义有一定的思考，

才能做出答案。

方法上：

小量分析，被重点强调，两个题目都和这个方法有关。

加速度关联方法，题目主要是考察学生对于矢量的理解

自主招生考试的主要特点还是：高考知识框架为主，对模型和方法稍有拓展。从今年题目只

有一个竞赛原题的情况来看，考生们应该在准备自主招生的考试过程中注意：

高考训练的模型的拓展，在平时的训练之余，多思考一下为什么，以及用现有的物理数学

知识，还能再推导出些什么。要做到主动学习。这些训练也正是高考所强调的推理能力和探

究能力。

不要拘泥于高考。尤其是北京的考生，不能因为热学高考不考就一无所知，为了物理知识

体系的完整性，也应该对主要模型以及主要的公式推导过程有所了解。这些内容在将来的大

学学习过程中都是至关重要的，这也就是自主招生考试对这些知识乐此不疲的原因。

4.中学物理中常见的运动形式

(1)匀速直线运动

(2)匀变速直线运动

(3)平抛(或类平抛)运动

(4)圆周运动

(5)简谐运动

(6)其它复杂运动及其处理方法

①分解法

②功能方法

5.正确解答物理题应遵循一定的步骤

第一步：看懂题。所谓看懂题是指该题中所叙述的现象是否明白?不可能都不明白，不

懂之处是哪？哪个关键之处不懂？这就要集中思考“难点”，注意挖掘“隐含条件。”要养成

这样一个习惯：不懂题，就不要动手解题。

若习题涉及的现象复杂，对象很多，须用的规律较多，关系复杂且隐蔽，这时就应当将

习题“化整为零”，将习题化成几个过程，就每一过程进行分析。

第二步：在看懂题的基础上，就每一过程写出该过程应遵循的规律，而后对各个过程组

成的方程组求解。

第三步：对习题的答案进行讨论.讨论不仅可以检验答案是否合理，还能使读者获得进

一步的认识，扩大知识面。

分析法的特点是从待求量出发，追寻待求量公式中每一个量的表达式，(当然结合题目

所给的已知量追寻)，直至求出未知量。这样•种思维方式“目标明确”，是一种很好的方

法应当熟练掌握。

综合法，就是“集零为整”的思维方法，它是将各个局部(简单的部分)的关系明确以

后，将各局部综合在一起，以得整体的解决。

综合法的特点是从已知量入手，将各已知量联系到的量(据题目所给条件寻找)综合

在一起。

实际上“分析法”和“综合法”是密不可分的，分析的目的是综合，综合应以分析为

基础，二者相辅相成。

例：(清华大学自主招生考题)如图所示，•磁感应强度为B的均匀磁场，分布在半径为R

的无限长圆柱体内，设B=BOt(B0>0)o现有一半径也为R,电阻均匀分布且总电阻为r的

金属圆环，放在垂直于磁场的平面内，金属圆环中心在均匀磁场的对称轴上。长为4电阻为

r'的直导线的两个端点a、6与金属圆环良好连接，求此直导线中感应电流的电流强度。(设

感应电流所产生的磁场可以忽略)

导体棒在变化磁场中的感应电动势的计算方法

如图所示，B为变化的均匀有界磁场，其半径为R,导体棒ab的长度为L

(1)若L恰好为该圆的内接正三角形边长

“啜T瑞'S为三角形的面积

(2)若L恰好为该圆的内接正方形边长

S为正方形的面积"$

(3)若L恰好为该圆的内接正N边形的边44长，贝小

1\d)1A5

8.=--------=----------

abN\tN\t

S为正N边形的面积

物系相关速度判断法

杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆、绳方向的分速

度；接触物系接触点速度的相关特点是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的

分速度在无相对滑动时相同；线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度

的矢量和。

1如图示，物体A置于水平面上，物体A前固定有动滑轮B,D为定滑轮，一根轻绳绕过

B、D后固定在C点，BC段水平，当以速度v拉绳头时，物体A沿水平面运动，若绳与水

平面夹角为a，物体A运动的速度多大？

解：任何时刻绳BD段上.各点有与

绳D端相同的沿绳BD段方向的分速度v

设A右移速度为匕，则相对于A,绳上B点

是以速度匕从动滑轮中抽出的，即

VBA=匕

根据运动的合成法则，在沿绳BD方向上，绳上B点速度是相对于参考系A的速度匕与参

v

考系A相对于静止参考系速度匕cosa的合成，即u=v+vcosa得匕.

BAr1+cosa

解法二位移关系X%)uXBc+X/CosauXd+X/Cosa

v

两边对时间求导v^v+vcosa得v

BAvx1+cosa

2半径为火的半圆凸轮以等速％沿水平面向右运

动，带动从动杆AB沿竖直方向上升，0为凸轮圆

心，p为其顶点。求当N/OP=a时，AB杆的速

度。

解：杆与凸轮在A点接触，杆上A点的速度巳是竖直向上的，轮上A点速度%是水平向

右的，根据接触系触点速度相关特点，两者沿接触面法向的分速度相同，即

vAcosoc-v0sina得vA-v0tana

3AB杆的A端以匀速v运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周的半径为当杆与

水平线的交角为，时，求杆的角速度/及杆上与半圆相切点C的速度。

解：半圆静止，故杆上C点速度的法向分量为零，C点速度沿杆方向；

杆上A点速度分解为沿杆方向％和垂直杆方向匕，则匕是A、C沿杆共同的速度，即

%=匕=vcosa

■2n

以C为基点，则匕=usina=,而ZC=R-cot6得。=吧^——

Reos6

4线轴沿水平面作无滑动的滚动，并且线端点A速度为V,方向水平。以绞链固定于B

点的木板靠在线轴上，线轴的内外半径为别为尸和火。试确定木板的角速度⑦与角

沿C点切向的对轴心0的转动速度V。“和图8

与轴心相同的平动速度心的合成。则C点法向速度应是匕,=%sina

轴线为刚体且作纯滚动，以水平切点为基点有一^=包

R+rR

.但1-COS6Z

解得0=-------V

R+r

5合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3：2：1,顶点A3以速度v沿水平方向向右运

动，求当构件所有角都为直角时，顶点B2的速度以2

解：顶点B2Al杆上的一点，其速度是沿B2Al杆方向的速度匕及垂直于B2Al杆方向的

速度片的合成；同时作为杆B2A2上的一点，其速度又是沿B2A2杆方向的速度匕及

垂直于B2A2杆方向的速度网的合成，由于两杆互成直角的特定条件，有

匕=%，％根据杆约束特征有：V1=—VAi,V,^—VA2

右儿何关系知：

VAI:vA2:vAi=44:AOA2:44=3:5:6

俎一V_5_V17

仔唳彳'V=VV=V

1=26A27'6B2~7~

6直角曲杆OBC绕。轴在平面内转动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆0A滑动。已知

OB=10cm,曲杆的角速度=0.5rad/s,求9=60°时小环M的速度。

解：由于刚性曲杆OBC以O为轴转动，故其上与OA直杆交叉点的速度方向垂直于转

动半径OM,大小是v=eOM=10c/w/s。将其沿MA、MB方向分解成两个分速度，即

得小环M的速度匕”=匕⑼=v-tan^?=10V3cw/s

7细杆OM绕O轴以匀角速度。转动，并推动套在杆和钢丝AB上的小球C沿AB运

动，其中。。=",试求小球与D点距离为x时，小环沿AB滑动的速度和沿OM滑动的速

度。

解：设小球C相对AB滑动的速度为相对与OM滑动的速度为？，C点处杆绕O

点转动的速度为％,则右=?+耳。设OM从竖直位置转过了6角，则有

Xd

sin6=.,cos0=.

21

yjx-^dJ—+12

…士心人分八3加va)\x1+d2co(x2^-d2)

由速度合成公式知v=9^-=-.............=----------

cos。cos。d

2

W=v2tan0=co\Jx+d~tan0

d

ct)(x2+d~).,,..

故小球沿AB滑动的速度为何=—--------,方向沿>rAB向右;

d

I~2i2

沿杆0M滑动的速度|胃=方向沿OM杆向上。

解法二：以D点为坐标原点，AB为X轴建立坐标系，则x=dtan。

两边对时间求导v=x=d0sec20=

d

沿杆0M滑动的速度是分速度。求加速度用极坐标

、士心ciI2x<X?+d222x（/+42）2

横向加速度为=a2=2同口=卜|=-----------co,a=—=—=----------------co^

准静态问题的力三角形判断法

物体受三个力作用而平衡时，有工b=0,三力代表的矢量构成首尾相接的闭合三角

形，当三力改变而又维系着物体平衡时，闭合三角形存在但形状改变。

类型I三力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确定，这个力的大小

及第三力的大小、方向变化情况待定。

1竖直杆AB在绳AC拉力作用下使整个装置处于平衡态，若AC加长，使C点左移，

AB仍竖直，且处于平衡状态，那么AC绳的拉力T和杆AB受到绳子的压力N与原先相比

如何变化？

解：A点受三个力：AC段绳水平拉力T,水平绳的拉力F（大小不变），杆AB的支持

力N'（方向不变，总是竖直向上）。

从上图看出，随着AC段绳趋平,

类型n三个力中有一个力确定,即大小、方向不变，另一力大小确定，这个力的方向

及第三个力的大小、方向变化情况待定。

小球质量加，用一细绳悬挂。现用一大小恒定的外力厂（/〈机g）慢慢将小球拉起，在

小球可能的平衡位置中，细线最大的偏角夕是多少?

解：以悬挂点。为起点，作重力矢量，再以其箭头端点O'为圆心，表示外力F大小的

线段长为半径作一圆，第三边即为细线的拉力。

当细线拉力与圆周相切时，偏角最大，即^=arcsin—此时拉力T=^G2-F2

mg

方法二

设F与水平方向的夹角为夕，则在水平和竖直方向上，有

Tsin^=Fcos<p,G

\,消去T得cot6cose+sine=—(1)

TCQSO+F=mgF

de

把。看成9的函数，两边对9求导，一esc?Ocoscp------cotesin°+cos0=O

d(p

令——=0,得cotBsine-cos0=O,=^>cot=cot(p,n9=(p

d(p

代入(1)得。=arcsin2,T=^G2-F2

mg

类型HI三力中有一个力大小和方向确定，另二力方向变化有依据，判断二力大小变

化情况。

例子绳子一端固定在杆上C点，另一端通过滑轮用力拉住，一重物挂在杆BC上，杆

可绕B点转动，杆、绳质量及摩擦不计，重物处于静止。若将绳慢慢放下，则绳子的拉力

和杆的压力怎么变化？

解：C点在任意位置时表示三力关系的矢量三角形与表示位置关系的某几何三角形一

•对应，且相似。由图可以看出，随着绳子慢慢放下，儿何边AC变长，AB、BC不变，则

拉力增大，杆BC对结点C支持力不变，即杆所受的压力不变。

静力学问题解法

-巧用矢量图解

问题1将合力F分解为片和巴两个分力，若已知F的大小及片和鸟的夹角。，且。为

钝角，则当耳、鸟大小相等时，它们的大小为;当月有最大值时，

F2大小为。

解：耳、耳大小相等时，对应的力矢量关系图为等腰三角形，表示耳和巴的线段为

0F

腰，底角为巴，故耳和鸟的大小相等为6=6=--------------。

22cos（8/2）

当表示耳（工）的线段处于直径位置时，即表示相应的力有最大值，且三力关系矢量三

角行呈直角三角形，这时与（用大小为Acot（万—6）=—尸cot。

问题2放在水平面上的质量为根的物体，在水平恒力大作用下，刚好做匀速直线运动。

若再给物体加一个恒力鸟，且使片=月（指大小），要使物体按原方向做匀速直线运动，

力鸟应该沿什么方向？此时地面对物体的作用力大小如何？

解：地面作用力=支持力+滑动摩擦力，摩擦角为tanT〃fNF

心可以是与竖直成tan1〃斜向后上拉，也可以是与竖直成tan」〃斜向前下推。

二巧取研究对象

原则：尽量取“整体”，“化内为外”时或方程数不足时取“部分”。

问题•个底面粗糙质量为M的劈放在粗糙的水平面上，劈的斜面光滑且与水平面

成30°夹角，用一端固定的轻绳系一质量为m的小球，轻绳与斜面的夹角为30°。当劈静止

时，绳中拉力的大小为；若地面对劈的最大静摩擦力等于地面对劈

的支持力的左倍，为使整个系统静止，左值不能小于。

解：取小球和劈构成的整体为研究对象，受三个力：地面的支持力E,与竖直方向成

6=tan-U角，轻绳的拉力的和重力（A/+m）g,构成闭合三角形，由正弦定理得

(A/+Mg_F

T(1)

sin(300+e)sin。

再以小球为研究对象，受三个力：重力加g，轻绳的拉力片和斜面支持力外，构成矢量三

角形，底角为30°,得的=哂21ng（2）

r2cos30°3

把（2）式代入（1）式得cot6=Z^土%仆，而6=1211-〃，=k=鬲

m6M+3m

问题一长£、质量均匀为〃的链条套在一表面光滑，顶角为a的圆锥匕当链条在

圆锥面上静止时，链条中的张力是多少？

27r

解：取链条微元来研究，它所对的圆心角△夕0,微元受到的力有：

n

重力△〃*=鹿；两边链条的张力斗，它们大小相等，方向各沿。力点切线，合力为

n

AnAnAn

F圆锥面支持力K，。因为A6很小，sin——«——，F=2F•——，链条平衡，有

22T2

rAa\eMaMga

F=Awecot—,2FT-----=—cot—,F=——cot—

2r2〃2T'2%2

三巧解汇交力系平衡

问题光滑半球壳直径为。，与一光滑竖直墙面相切，一根均匀直棒AB与水平成60°角

靠墙静止，求棒长。

解：棒受三个力：重力G,墙面支持力乃，球壳支持力弓，三力互成角度，作用点不

同。但使杆静止，相当于共点力。三力交于一点D。设/作用线与水平夹角为，，

A/2，sin61

在ASC。中运用正弦定理得一空—=Q,=tan-273

sin(90°—6)sin(，—60°)

口A-cos600-a/2L1、

又cos"---------------------=——1,£=(l+-?=)a

allaV13

问题在墙角处有根质量为根的均匀绳，一端悬于天花板上的A点，另一端悬于竖直墙壁

上的B点，平衡后最低点为C,测得绳长ZC=2C8，且绳B点附近的切线与竖直成

a角，则绳在最低点C处的张力和在A处的张力各多大？

个力：重力；AC段拉力乙，方向水平向左(因为C点为最低点)；B端受到的拉力吊,

方向与竖直成a角。三力汇交，合力为零，由矢量三角形得E=^tana

3

取AC段为研究对象，受三个力：重力；C端拉力耳，A端拉力死。由力三角行得

质点运动学

运动的合成与分解

当物体实际发生的运动较复杂时，可将其等效为同时参与几个简单的运动，前者称为合运动,

后者称为物体实际运动的分运动。遵循如下原理：

独立性原理构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、互不相干的，物体的任意一个分运

动，都按其自身规律进行，不会因有其它分运动的存在而发生变化。

等时性原理合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个分运动的结果，对同一物体同时

参与几个运动进行合成才有意义。

矢量性原理描述运动状态的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，对运动进行合成与分

解时应按矢量法则即平行四边形法则作相应物理量的运算。

抛体运动

平抛运动一质点只在重力作用下，且具有水平方向的初速度的运动

位移：水平方向X=%/竖直方向y=

合位移s=方向a=arctan畀（a为位移与水平•方向夹知

速度：水平方向匕=%竖直方向匕,=g/

合速度v=方向，=arctan出（夕为位移与水平•方向夹角）

%

加速度直角坐标系。，=0,ay=g

2

自然坐标系a=gcosa=-fg'。，%=gsina=/8

轨迹y^-^-x2

2片

斜抛运动一质点只在重力作用下，且初速度与水平方向成一定夹角的运动

1,

位移：水平方向x-v0cosat竖直方向y^vosinat--gt

速度：水平方向Vx=%cosa竖直方向vv=v0sin<z-g/

加速度直角坐标系4=0，a-g轨迹y--xtana---泮一—x2

2v0cos'a

几个特征量

r,一…2vsina小士,,v：sin2a〃*sin2a

t行时间/=-n-----射高”=」------射程H=二------

g2g2g

圆周运动一轨迹是圆的运动

匀速圆周运动一在任何相等时间内通过的圆弧长度都相等的圆周运动

各量之间关系

2

s2兀rO17Tv2八

v=—=——=LTcrj,co--=—=；an=—=CDr,4r=0

非匀速圆周运动一线速度的大小在不断改变的圆周运动，其角速度方向不变，大小在不断改

2

*___v..Av

变。4=。"+%，%=—，%=2吗

r4foA/

刚体绕定轴的转动

刚体一在外力作用下，大小、形状等都保持不变的物体；或组成物体的所有质点之间的距离

始终保持不变。

刚体的平动一刚体内所作的任一直线始终保持和自身平行。特点是：任意两点A和B其轨

迹相似，且^=为，氏=/，刚体的平动可用刚体内任一质点的运动来代替。

刚体绕定轴的转动一刚体绕某一固定轴的转动。特点是：刚体上的各点都在与转轴垂直的平

面内做圆周运动，但半径可不相等，各点角速度都相同，因而某一时刻刚体上所有各点的角

度夕，角速度。，角加速度尸都相同o=lim包，=—

A/-+0ZA/->0△/

匀加速转动，夕为常量

co-co0+j3t,0=%+例/+；伙2,#一犹=2/7（夕一夕0）

4为初始角速度，%为初始角度。

22

绕定轴转动的刚体上某点有v=a）R，4=0R,an=cor=v/r

R是点到轴的距离。

问题在离水平面高度为力的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人收绳的速率恒为%,试求

船在离岸边s距离处时的速度与加速度的大小各为多少？

解：沿绳方向“收短”的分速度匕和垂直于绳方向的转动分速度4合成实际速度v，

由几何关系易得匕,=%，4=%cot(9=4%,而v==-h+sM

ssin6*s

在加时间内，船头从A点移动到H点，绳绕滑轮转过•小角度AdfO,速度增量

------------"Z,AZ)

Av=v(----------------)Az=CQS>----=-------tan0

°ftsin(6-A6)sin。

vt%cos6

加速度

Av=vn(----------------),

「Avsin(6-A。)sin6r片cosBsin6-sin(e-A。)

=lim——=hm-------7:八------------=lim-.....

A

A/->OZA®->O6[ang^°htan0△8•sin(6-A6)•sin0

%cos。

GA

片cos，c°s('。7、>.smE

lim

“一>o

"tan。^.sin(^-A6>).sin^—百

问题质点从O点由静止开始沿半径为R的圆周作速率均为增大的运动，到达A点时质点

的加速度与速度方向夹角为a，质点通过的弧s所对的圆心角为夕，试确定。与，的关系。

分析：质点作变速圆周运动，加速度分为切向加速度勾和法向加速度。“，前者反映质点

速率变化快慢，后者反映质点速度方向变化快慢。

解：在A点时a,=-^,an^—,而v；=（卬了，s=R,其中/是质点运动到A点

的时间，联立有%=%,工=萧=爷=2£,而4=tana所以tana=2£

曲线运动的轨迹是曲线，在数学上，曲率描述曲线（连续曲线）弯曲程度，曲线上某

点的曲率定义为长=lim—,Aa为弧长As两端切线方向变化角度。圆上各点曲率相同:

加HX

K=-^=-,对曲线上各点，对应地有半径火=!的圆，叫曲率圆，曲率圆圆心

R-baRK

叫曲率中心。圆是曲率中心处处相同的曲线，一般曲线各点曲率不尽相同。

问题用运动分解方法求平抛物线上某点的曲率半径。

解：设质点做平抛运动，则

位移：水平方向x=voz竖直方向y=

速度：水平方向匕=%竖直方向vy=gt

合速度v=M+2gy

设平抛轨迹上任意一点P速度为v,与水平成。角，曲率半径为夕，则向心加速度为

gcosO-V2/p,而cosd=%/6。2到

则有0=（说+2gy）/g.%

M+2gy

问题从倾角为6的斜坡顶端以初速度为水平抛出一小球，不及空气阻力，若斜坡足够长,

则小球抛出后离开斜坡的最大距离是多少？

解：以小球抛出点为原点，沿斜坡向下为x轴，垂直斜坡向上为N轴建立坐标系，则小球沿

y轴方向的分运动是初速度为匕,=%sin0，加速度为ay=-gcos0的匀变速直线运动，小

球匀减速地沿y轴远离斜面，当速度减为零时，与斜面距离最大，而后又匀加速地返回斜面,

小球与斜面的距离只需考察垂直于斜面方向的分运动。

离开斜面上升过程的最大位移”=

2gcos

jr

若小球初速度为%,方向与水平成a角（-6<a<e），则小球沿斜面方向的分运动是初

速度为匕=%cos（。士a）、加速度为a、.=gsin。的匀加速度运动；对于确定的速度，小球

落回斜面的时间/=2•上丹幽主的，取决于初速度；而在斜面上的落点与抛出点的距离即

geos。

小球在f时间内的位移应为s=九cos,【=t=2%COS，S吧”'a),与%的平方成正比。

cos。geos'0

总结：研究斜面上的抛体运动问题，合理分解运动，正确判断运动性质和列出方程；

注意由斜面倾角制约着的分运动与合运动间的几何关系。

物体的平衡及其平衡种类

力学中几种常见力

重力：由于地球的吸引而使物体收到的力。大小：G=mg；方向：竖直向下。

111

弹力：弹簧弹力F=kx弹簧的串联—------1---------•••

khk2

弹簧的并联k=kM+…

摩擦力：动摩擦因素〃与静摩擦因素从摩擦角tan①

判断物体不发生滑动的条件：全反力F'与N的夹角a=arctan2W①

N

静摩擦力方向与相对运动趋势方向相反，滑动摩擦力方向与相对运动方向相反。

物体的平衡

共点力作用下物体的平衡

£工=0

和外力为零＜若是三力平衡问题，此三力不平行必共点且必共面。

有固定转轴物体的平衡一力矩的代数和为零。

一般物体的平衡

Fo

V-

-

4-o

和外力为零，以过某点的轴为转动轴的合力矩也为零。u-

MO

注意：所有外力对某一点的力矩的代数和为零时，则对任一点的力矩的代数和都等于零。

平衡的种类

不稳定平衡一物体在平衡位置受到扰动偏离平衡位置后不再回到平衡位置

稳定平衡一物体在平衡位置受到扰动偏离平衡位置后会回到平衡位置

随遇平衡-物体在平衡位置受到扰动偏离平衡位置后，如果和外力仍为零，而能继续保

持平衡状态。

稳度一物体稳定的程度。破坏一个平衡需要的能量越多，稳度越高。一般与重心高度

和支持面大小有关，重心越低，支持面越大越稳定。

保守体系平衡位置稳定性的拉格朗日定理：如果在某一位置，保守体系的势能有严格

的极小值，则此位置是体系的稳定平衡位置。

dvd2V

自由度为1时，史-=0,*>0

dqdq

dVdV

自山度为2时,Q

闻加d2Vqd2Vd2V八

--------)------r—r<0

的瓯的1两

如果势能在平衡位置取极大值，则是不稳定平衡；势能是常数则是随遇平衡

问题杆长/=a+6,质心在C点，杆的A、B两端分别支于互相垂直的两个光滑斜

面上而处于平衡。试问在图示位置此杆是什么平衡？试证明之。

解：杆AB受三个不共点力作用下平衡，三力的作用点相交与0点，0点与杆AB的质心

C的连线是竖直的。在A5OC中有----=------o'。，ntan%=--------

sinasin(%+90-a)osina

此偏心杆是不稳定平衡。

证明质心C的位置以y表示，则

y=(Q+6)cos(p-sma-bsin(a-(p)-acos夕•sina+力cosasin(p

/-22-asina6cosa

=\a2sina+bcosa・r[/cos(pH--/=sin(p\

yja2sin2a^b1cos2ay/a2sin2a+h2cos2a

I~2~~22z-i6cosa、

=7a~sin~a+cos'acos(。-tan-------)

asina

即y=JXsin?a+/?2cos2acos(夕一外)，显见，当e=0o时，杆质心C的高度有最大值

y=^a2sin2a+b2cos2a,杆的位置稍有偏离，质心高度就降低，故属于不稳定平衡。

飞檐问题：建造屋顶边缘时，用长度为L的长方形砖块，…块压着下面一块并伸出砖

长的,，如果不用水泥粘紧，则最多可以堆几层同样的砖刚好不翻到？这样的几层砖最多可

8

使屋缘“飞”出多长？

Q

解：一块砖的重心在上j处，叠放一块砖后，由于伸出j上，两砖总长共同重心在

288

总长一半。设有〃块相同的砖叠放，每块均伸出工，则总长为/,+(〃-1)白，而总重心在总

88

长度的中间。平衡条件：〃块砖所受总重力作用线不能超出最底下那块砖与壁的支持面，即

1j7

-[L+(n-\)-]<-L,得〃47

2oo

最上面第1块砖要平衡，其重力作用线不能超出其下第2块砖的边缘，故第1块砖伸

出的最大长度为上；第1、2两块砖合起来总长度为重心在中间，即第2块砖伸出士。

224

设第3块砖的伸出量为x,由力矩平衡知，2G*=3-2一幻，=>x=-

26

第〃块砖伸出量的通项公式：x=—

n2n

“七级飞檐”最多能飞出的长度：

s=a+L-1)L363,

丽A1.29643Z,

234567~2

例子静止的圆锥体竖直放置，顶角为a,质量为加且分布均匀的链条环水平地放置在圆锥

体上，忽略链条与圆锥体之间的摩察力。求链条之间的张力。

解：猜一猜：张力可能与什么量有关？(链条的重量和圆锥体顶角)任取连环中一小段△/为

研究对象，受力：重力加wg向下，支持力N垂直圆锥面，张力T与链条环相切

CL

在竖直方向A/MgMNsin^(1)

在水平面内设△/对连环中心的张角为八夕，则有2Tsin^=Ncos4,而sin包=独

2222

一田TAxra/八HAmNlm\(pAmm,8口3—八〜、,八

故的7A°=Ncos—(2)而A/w=----=-----,=>---=——(质量均匀分布)(3)

224R2)\(p2)

联立(1)、(2)和(3)得T=-----0——

2itan(a/2)

140

120

100

80

60

40

20

从图可以看出，张力随圆锥顶角减小。时，圆锥面变成平面，张力为零。

例子均匀杆AB长/,重飞,A端与粗造的竖直墙接触，B端用不可伸长的绳悬挂于竖

直墙的C点，杆呈水平状态，绳与杆的夹角为。

试问：(1)为了使杆达到静力平衡，杆A端与竖直墙之间的摩察系数应满足什么条件？

(2)若在杆上悬挂另一重量为卬=也的重物，为了使杆仍维持平衡，所需摩察系数

2

的最小值与悬点的位置有何关系？

解：受力情况如图示

()竖直方向/+Tsin。-％=0,水平方向N-Teos。=0

对B点的合力矩为零7—=0

1.8

1.6

1.4

1.2

0.20.4

0.8

0.6

由上述三式求得/=?，7V=yCOt6?静摩擦力/必须满足

故摩擦系数应满足〃>tan。

(2)设在离A点d处悬挂重物卬=也，则仍平衡时有

2

竖直方向f+7sin^-(vv0+w)=0,水平方向N-Tcos6=0

对B点的合力矩为零力=；//+(/—d)卬

解出/=3+以1—3),N=(?+?w)cote

静摩擦力/必须满足/4〃N,即

—+w(l--)<//(—+—w)cot^

21—d

求之得

I+d

21-d

摩擦系数的最小值与悬点的位置关系〃min=4^4tan。

/+d

上式表明，悬点在A点时，d=。，Amin=2tan；悬点在中点时，d=1/2,

%=(3/5)tan。；悬点在B点时,d=l,//min=(1/2)tan(9,

例子五根质量分布均匀、质量和长度完全相同的细杆,用光滑较链互相联结并悬挂起来。

试求平衡时由细杆组成的五边形的五个顶点。

45小3

5Mg2Mg

—

2

1TT

4J"mg&_/mg

T3T1

J-^gJ2Mg

解：因左右两侧对称，只需求出口和仍，五边形的五个顶角就都知道了，即上顶角为2%，

两个侧顶角为［1800+(%一%)］，两个下顶角为(90°-%)

设每根杆的质量为根，长度为/。杆1和杆2受力情况如图示。每根杆水平和竖直方向合力

都为零,合力矩也应为零,有

I3

对杆1,取上端为参考点77cos0=wg—sin^,+—mgls\n(p{

77cos%=mg.gstn%+sin%

对杆2,取上端为参考点

杆1和杆2关联的几何条件/sin0+/sin(p

22

J_

上述三式得tan%=2tan(p和sin(p+sin(p

xx22

222

tan/=2tan(p{=>sin^>2(1+3sin(p^)=4sin(px

sin(p\+sin尹2=；nsin夕？=；(1-sin例)

222

联立得(1-4sin(P\+4sin(p})(1+3sin(p})=16sin(px

☆x=sin%,上述方程变为/(x)=12x4-12x3-9x2-4x+1=0

多项式/(x)=12x4—12x3-9/一4刀+1的图像为

用数值解，的到四个解,

X,=-0.378175-/0.404664,x2=-0.378175+/0.404664

x3=0.171391,x4=1.58496

在［0,1］范围内的解为演=0171391,"=9.9°,02=19.2°

上顶角为2例=19.8°

两个侧顶角为［180°+@一0)］=189.3°

两个下顶角为(90°-和)=70.8°

例子半径为火的圆柱体在水平面上固定不动，厚度为7的均匀木板水平地放置在圆柱体

±,其长度方向与圆柱体的轴垂直，并处于平衡状态。试问厚度f取何值时属于稳定平衡。

解：设木板偏离平衡位置后，与圆柱体的接触点从P