高等数学定积分定积分的性质课件

§4定积分的性质本节将讨论定积分的性质,包括定积分的线性性质、关于积分区间的可加性、积分不等式与积分中值定理,这些性质为定积分研究和计算提供了新的工具定积分的性质积分中值定理一、定积分的性质性质1若∫在[a,b1上可积,k为常数,则kf在ab上也可积,且kf(x)dx=kf(x)dx证记J=f(x)dx.由∫在[a,b上可积故v>0,38>0,当T<时,对一切5∈x1,x∑f(5)△xk+1从而前页)后页】∑kf(与x一MJ=|k2f(5x2-Ji=1<|k<E1因此在a可积且x)dx=k(xdr性质2若f,g在[a,b上可积,则∫±g在{a,b]上可积,且(f(x)±g(x)dx=f(x)dx±g(x)dx.证记J1=「f(x)dx,J2=「g(x)dx.于是v>036>0,当r<6时,Ⅴ∈[x,x,=1,2…,前2从而∑[f(4)±g(5)△x1-(1±J2s∑f5Mx-J1+∑x)Ax1-J2×cE因此,f±g在[a,b]上可积,且前CU(x)+g(x)dr=f()dx+g(x)du性质3若f,g在[a,b上可积,则∫g在{a,b上也可积证因f,g在[,b上可积,故在[a,b]上都有界,即彐M>0,Vx∈[a,b,f(x)|≤M,g(x)|≤MvE>0,存在分割T,使∑o{Ar1<;又存在分割T",使∑oAxr<2M前令T=T'+T”(T表示把T与T”的所有分割点合并而成的新分割),则a=sup{(x)g(x)-f()g(x)x,x∈△}≤sp{g(x)|f(x)-f(x)+f(x")|(x)-g(x"川x,x"∈A}<Mo+Mo于是∑o4Ar;≤M∑a△r+M∑a△r≤M∑aAx+M∑aAx前页)后页】M+E2M2M因此fg在[a,b上可积性质4f在[a,b上可积的充要条件是:vc∈(a,b),f在[a,c]与lc,b上都可积.此时且有f(x)dx=f(r)dx+f(x)dx证(充分性)若∫在[a,c]与[,b]上可积,则VE>0,彐a,cl与[c,b上分割T与T"”,使得前∑a△:<2∑a△r"令T=T+T”,它是[a,b的一个分割,∑a△r1=∑a△r+∑o△r"<E因此,∫在[a,b]上可积(必要性)已知f在[a,b]上可积则vE>0,3T,使∑Ax;<6在T上加入分点c得到新的分割T由§3习题第1题,知道前LoAr≤∑0Ax1<E.分割T在{a,c]和[c,b]上的部分,分别构成对[a,C]和[c,b]的分割,记为r”和T",则∑Axs∑A<,∑ar"s∑oAr:<6因此,f在[a,c与[c,b上都可积若∫在[a,b]上可积,由必要性证明,若分割T使点c为其中一个分点则T在[a,c]的部分T”构成对[a,c的分割在[c,b]的部分T"构成对[e,b]的前分割,且∑∫(5)x1=∑f()r+∑f(5)Ar令T→0,则→>0,7→>0,即得f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx注若规定a>b时f(x)dx=J,f(xd,a=b时f(x)dx=0,则对a,b,c的任何大小顺序,恒有f(r)dx=