第1讲-暑期数学建模-回归模型课件

第1讲回归分析1.1问题的提出1.2一元回归分析1.3多元回归分析1.4EViews简介数学建模培训2023/7/27第1讲回归分析若变量（指标）Y和X1、X2、X3…相关联，我们可能需要了解以下问题：

1.Xi变动一个单位，会使Y变动多少个单位？比如政府购买支出增加1元钱，GDP会增加多少元？

2.Xi变动1%，会使Y变动百分之几？比如物价水平上涨1%，居民收入会下降百分之几？

3.能否根据以往Y的数据推测未来Y的情况？下一个月CPI会是多少？1.1问题的提出

2023/7/27第1讲回归分析

凯恩斯的绝对收入假定认为居民消费支出Y与国内生产总值X具有如下关系:

Y=b0+b1X

该宏观经济学模型是确定的函数模型.

为更详尽的探讨问题，我们看下面的数据。

1.2.1引例---宏观经济学中消费与收入的关系1.2一元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析

1.2.1引例1.2一元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析由上表可知，2019年居民消费支出Y占国内生产总值X的0.377；2019年占0.362；从长期看Y与X的关系如何？为了探讨居民消费支出和国内生产总值的关系，下面我们用字母表示表1中的数据。

1.2.1引例---宏观经济学中消费与收入的关系1.2一元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析9Y9X9

1.2.1引例t1234567YtY1Y2Y3Y4Y5Y6Y7XtX1X2X3X4X5X6X78Y8X81.2一元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析

Y1=b01+b11X1

Y2=b02+b12X2

Y3=b03+b13X3

Y4=b04+b14X4

Y5=b05+b15X5

Y6=b06+b16X6

Y7=b07+b17X7

Y8=b08+b18X8

Y9=b09+b19X9

1.2.1引例2000年2019年2019年2019年2019年2019年2019年2019年2019年1.2一元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析可以简单记作：

Yt=b0t+b1tXt,t=1,2,…,9问题是这样表达人均国内生产总值和人均居民消费的关系符合实际吗？一方面，影响国内生产总值和居民消费的因素很多，且每年都有变化，因此将它们理解成随机变量更合理。另一方面，除了国内生产总值以外影响居民消费因素的还有很多。我们将这些额外的因素总和假设为一随机变量t。则上述模型可进一步表示为：

1.2.1引例1.2一元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析

Yt=b0t+b1tXt+mt,t=1,2,…,9假设在这期间经济结构没有发生变化，即0t和1t不随着t的变化而变化，则上述模型由可以写成：Yt=b0+b1Xt+mt,t=1,2,…,9和确定性经济理论模型不同，它是随机模型。由于b0，b1是待估计的参数，上述模型称为计量经济学模型。同时，从模型的形式可以看出，模型是线性的。模型右端的“0+1Xt”称为回归函数，模型通常称为回归模型。

1.2.1引例1.2一元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析我们将Yt称为被解释变量(或左变量)，Xt称为解释变量(或右变量、回归量)，0与1为待估参数，t称为随机干扰项(或误差项)。

1.2.1引例1.2一元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析

设一元线性回归模型为Yt=0+1Xt+mt

，t=1,2,…,n(1.1)对于给定的样本(Yt,Xt)值，0和1的真实值未知，设其估计值为0^和1^，则Yt=0^+1^Xt+et

，t=1,2,…,n其中，

et为mt的实现值，称为残差。令Yt^=0^+1^Xt是对Yt的估计值，也称拟合值。则

et=Yt-Yt^

1.2.2参数估计的方法----普通最小二乘估计1.2一元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析自然希望et其绝对值越小越好，但通常要使得参数能够满足et都达到最小是难以做到的。

1.2.2参数估计的方法----普通最小二乘估计普通最小二乘法是使得它们的平方和达到最小，即达到最小。所以Q取最小值时的参数值，是一种理想的参数估计值。Q取极值的一阶条件为：1.2一元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析解得：

1.2.2参数估计的方法----普通最小二乘估计(1.2)

(*)称为正规方程组。当n∑Xt2-(∑Xt)2≠0时，可以解得参数的估计量为：(1.3)1.2一元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析

1.2.2参数估计的方法----普通最小二乘估计1.2一元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析将参数估计值带入回归模型，并忽略残差，得

Yt^=b0^+b1^Xt(1.4)Yt^是利用参数估计值与解释变量的样本值估计到的被解释变量Yt的估计值。

1.2.3模型的检验方法1.2一元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析我们得到的参数估计值可靠吗？自然要问用Yt^来估计Yt的精度如何？这需要我们对模型进行一系列的检验。为什么要进行各种检验呢？首先，模型应该具有经济意义，即估计得到的参数值应与经济理论要求的参数的大小、符号、条件相一致。这需要检验；其次，参数的估计值和真实值是有区别的，这就需要进行假设检验，检验真实值的大小。

1.2.3模型的检验方法1.2一元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析

为了进行假设检验我们对一元回归模型进行如下假设：

假定(误差项无偏性假定)1

E(mt)=0,t=1,2,…,n(1.5)

假定(无序列相关性假定)2

Cov(mt,ms)=0,t≠s

,

t,s=1,2,…,n(1.6)

假定(同方差假定)3

Var(mt)=s2>0,

t=1,2,…,n(1.7)

1.2.3模型的检验方法1.2一元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析假定(解释变量与误差项不相关假定)4

Cov(Xt

,ms)=0,t≠s,i,j=1,2,…,n(1.8)

假定(正态误差假定)5mt~N(0,s2),

t=1,2,…,n(1.9)

假定(无多重共线性假定)6

任何解释变量之间不存在严格的线性相关。对基本假设的进一步说明1.假定1的含义是解释变量几乎完全能够解释被解释变量，不可预知的因素对被解释变量的影响的总体平均水平为0。

1.2.3模型的检验方法1.2一元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析

2.假定1~3能够保证普通最小二乘估计量是无偏的、有效性的估计量。3.假设6能够保证最小二乘估计量解的存在性。

4.假设5用于对参数估计量的检验

5.假设2和假设5，进一步说明误差项前后期是相互独立的（服从正态分布的两个随机变量，独立和不相关是等价的）

1.2.3模型的检验方法1.2一元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析（1）单个参数的t检验统计量命题1在模型满足假定1～6的条件下，原假设H0:i=i*成立时，

1.2.3模型的检验方法其中，n为样本容量。1.2一元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析t0●●要拒绝原假设H0:i=i*成立时，则^i-i*应足够大，换句话说Prob(-|t|<t(n-2)<|t|)=1-p应足够大。因此得到p值检验法：第一步：根据i的假设值计算t统计量的值；

1.2.3模型的检验方法1.2一元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析

第二步：计算p=2Prob(t(n-2)>|t|)；第三步：比较判别，如果p>就接受H0，即认为i=i*，否则拒绝H0，接受H1，即认为i≠i*。通常b0*=0，b1*=0，a=0.05。即检验参数真实值是否为0。若p>，我们说对应的解释变量对被解释变量没有显著性影响。若p<，我们说对应的解释变量对被解释变量有显著性影响。

1.2.3模型的检验方法1.2一元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析（2）决定系数R2为了反映回归拟合的程度，我们将总偏差进行分解其中Y-=∑Yt/n.即被解释变量的总偏差Yt-Y-可分解为可解释偏差Yt^-Y-和残差Yt-Yt^.总离差平方和为了反映模型总的拟合程度，我们定义回归平方和剩余平方和1.2一元回归分析

1.2.3模型的检验方法2023/7/27第1讲回归分析XXtOY●●●1.2一元回归分析

1.2.3模型的检验方法2023/7/27第1讲回归分析

1.2.3模型的检验方法可以证明：TSS=RSS+ESS。显然ESS在TSS中占的比重越大残差平方和越小，模型的拟合优度越高.定义可决系数R2：显然，0≤R2≤1，R2越接近于1，模型的拟合优度越高.

1.2一元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析k为解释变量的数目，n称为样本容量.称模型右边部分1X1i+2X2i+…+kXki为回归函数或回归.系数j亦称为回归系数.多元线性回归模型的检验方法与一元回归模型的检验方法类似，这里不再赘述。其中，Yi称为被解释变量；Xji称为解释变量，是非随机变量，i是无法观测的回归量无法解释的满足一定限制条件的随机误差项，j为未知待估参数.

多元线性回归模型的一般形式为：(1.10)1.3多元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析回归分析常用的几类常用的样本数据：

1）时间序列数据如1978年至2000年全国城镇居民年人均可支配收入数据即为时间序列数据.

2）截面数据如2000年全国32个省直辖市城镇居民年人均可支配收入数据即为截面数据.3）虚拟变量数据虚拟变量数据以来描述定性变量，取值为0或1.

1.3多元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析4）面板数据如1978年至2000年全国32个省直辖市城镇居民年人均可支配收入数据即为面板数据.回归分析对数据质量的要求：

1）完整性-----模型中的变量的样本容量要一致，且没有缺失数据；

2）准确性-----样本要尽可能地反映总体；3）可比性-----由于统计方法的变更，数据的统计的范围口径与价格口径会发生变化，使数据缺乏可比性，应用时应对数据进行修正；1.3多元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析回归模型的应用

（1）经济预测利用计量经济学模型可以对某些经济现象做出预测.

（2）政策评价利用计量经济学模型可以验证政策评价的效果和正确性.

（3）理论检验计量经济学模型提供了一种检验经济理论的好方法.对理论假设的检验可以发现和发展理论.如宏观经济模型：货币、福利、就业等其他领域.1.3多元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析

（4）结构分析结构分析用来研究经济现象中变量之间的相互关系.

1、弹性分析.设消费Yt和收入Xt满足如下模型：lnYt=a0+a1lnXt模型(1.5)两端对Xt求导可得

a1=(dYt/dXt)·(Yt/Xt)即a1为消费的收入弹性。因此通过估计模型lnYt=a0+a1lnXt+mt可以研究消费的收入弹性。1.3多元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析

2、生产函数.如利用Cobb-Dauglas生产函数研究资本存量和劳动供给量对经济的贡献..

3、消费函数1.3多元回归分析

2023/7/27第1讲回归分析

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