2023年江苏南京江浦高级中学数学高二下期末联考模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在4次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率小于其恰好发生2次的概率，则事件在一次试验中发生概率的取值范围是（）A． B． C． D．2．已知复平面内的圆：，若为纯虚数，则与复数对应的点（）A．必在圆外 B．必在上 C．必在圆内 D．不能确定3．已知函数，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，设，若对任意的正整数，在区间内存在个数，，…，使得不等式成立，则的最大值为()A．4 B．5 C．6 D．74．已知的边上有一点满足，则可表示为()A． B．C． D．5．学生会为了调查学生对年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关，抽样调查人，得到如下数据：不关注关注总计男生301545女生451055总计7525100根据表中数据，通过计算统计量，并参考以下临界数据：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.828若由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”，则此结论出错的概率不超过（）A． B． C． D．6．已知曲线在处的切线与直线平行，则的值为（）A．-3 B．-1 C．1 D．37．已知是周期为4的偶函数，当时，则（）A．0 B．1 C．2 D．38．某市交通部门为了提高某个十字路口通行效率，在此路口增加禁止调头标识（即车辆只能左转、右转、直行），则该十字路口的行车路线共有（）A．24种 B．16种 C．12种 D．10种9．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数()A． B． C． D．10．学校新入职的5名教师要参加由市教育局组织的暑期3期上岗培训，每人只参加其中1期培训，每期至多派2人，由于时间上的冲突，甲教师不能参加第一期培训，则学校不同的选派方法有()A．种 B．种 C．种 D．种11．设M=a+1a-2(2<a<3),A．M>N B．M=N C．M<N D．不确定12．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成．通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是（）A．30 B．31 C．32 D．34二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数在其极值点处的切线方程为____________.14．已知函数，则__________________.15．如图，顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，母线PA=4，O是底面圆心，B是底面圆内一点，且AB⊥OB，C为PA的中点，OD⊥PB，垂足为D，当三棱锥O-PCD的体积最大时，OB=______．16．从集合{1,2，…，30}中取出五个不同的数组成单调递增的等差数列，则所有符合条件的不同的数列个数是______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（1）当时，求函数图象在点处的切线方程；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）是否存在实数，对任意，且有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.18．（12分）已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上为减函数，求实数的取值范围.19．（12分）已知抛物线：，点为直线上任一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，（1）证明，，三点的纵坐标成等差数列；（2）已知当点坐标为时，，求此时抛物线的方程；（3）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中点满足，若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.20．（12分）已知函数.（I）解不等式：；（II）若函数的最大值为，正实数满足，证明：21．（12分）已知函数，不等式的解集为.（I）求实数m的值；（II）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.22．（10分）椭圆：过点，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）如图，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点，，求的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

设事件发生一次的概率为，根据二项分布求出随机事件恰好发生1次的概率，和恰好发生2次的概率，建立的不等式关系，求解即可.【详解】设事件发生一次的概率为，则事件的概率可以构成二项分布，根据独立重复试验的概率公式可得，所以.又，故.故选:D.【点睛】本题考查独立重复试验、二项分布概率问题，属于基础题.2、A【解析】

设复数,再利用为纯虚数求出对应的点的轨迹方程,再与圆：比较即可.【详解】由题,复平面内圆：对应的圆是以为圆心,1为半径的圆.若为纯虚数,则设,则因为为纯虚数,可设,.故故,因为,故.当有.当时,两式相除有,化简得.故复数对应的点的轨迹是.则所有的点都在为圆心,1为半径的圆外.故选：A【点睛】本题主要考查复数的轨迹问题,根据复数在复平面内的对应的点的关系求解轨迹方程即可.属于中等题型.3、B【解析】设，因，故，由题意过点可得；同理可得，因此是方程的两个根，则，故．由于在上单调递增，且，所以，因此问题转化为对一切正整数恒成立．又，故，则，由于是正整数，所以，即的最大值为，应选答案B．4、D【解析】

由，结合题中条件即可得解.【详解】由题意可知.故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，熟练掌握向量的加减法及数乘运算是解题的关键，属于基础题.5、A【解析】因为,所以若由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”，则此结论出错的概率不超过，故选A.【方法点睛】本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3)查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）6、C【解析】

由导数的几何意义求出曲线在处的切线的斜率，根据两直线平行斜率相等即可得到的值。【详解】因为，所以线在处的切线的斜率为，由于曲线在处的切线与直线平行，故，即，故选C．【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题7、D【解析】

利用函数的周期性，化简所求函数值的自变量为已知函数的定义域中，代入求解即可．【详解】f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时f（x）=，则f（2014）+f（2015）=f（2012+2）+f（2016﹣1）=f（2）+f（﹣1）=log22+1+12=1．故选：D．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的周期性以及函数值的求法，考查计算能力．8、C【解析】

根据每个路口有种行车路线，一个十字路口有个路口，利用分步乘法计数原理即可求解.【详解】每个路口有种行车路线，一个十字路口有个路口，故该十字路口行车路线共有（种）故选：C【点睛】本题考查了分布乘法计数原理，属于基础题.9、A【解析】由，得，故选A.10、B【解析】

由题意可知这是一个分类计数问题.一类是：第一期培训派1人；另一类是第一期培训派2人，分别求出每类的选派方法，最后根据分类计数原理，求出学校不同的选派方法的种数.【详解】解:第一期培训派1人时，有种方法,第一期培训派2人时，有种方法,故学校不同的选派方法有，故选B.【点睛】本题考查了分类计数原理，读懂题意是解题的关键，考查了分类讨论思想.11、A【解析】∵x2+116≥1∴N=log12(x2+又∵M=a+1a-2=a-2+1∴0<a-2<1.∴a-2+1a-2∴a+1a-2∴M>N.答案:A点睛：这个题目考查了比较函数值的大小关系；比较大小的常用方法有：做差，如果数值均为正，还可以考虑做商；还可以构造函数应用单调性比较大小；还可以放缩比较大小，常用的放缩方式有：不等式的应用．12、B【解析】每个图形中火柴棒的根数构成一个等差数列，首项为4，公差为3.其数列依次为4,7,10,13,…,所以第10个图形中火柴棒的根数为.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】，令，此时函数在其极值点处的切线方程为考点：：导数的几何意义.14、【解析】

对函数求导，再令可求出，于是可得出函数的解析式。【详解】对函数求导得，，解得，因此，，故答案为：.【点睛】本题考查导数的计算，在求导数的过程中，注意、均为常数，可通过在函数解析式或导数解析式赋值解得，考查运算求解能力，属于中等题。15、2【解析】

根据图形，说明PC是三棱锥P-OCH的高，△OCH的面积在OD=DC=2时取得最大值，求出OB【详解】AB⊥OB，可得PB⊥AB，即AB⊥面POB，所以面PAB⊥面POB．OD⊥PB，则OD⊥面PAB，OD⊥DC，OD⊥PC，又，PC⊥OC，所以PC⊥面OCD.即PC是三棱锥P-OCD的高.PC=OC=2．而△OCD的面积在OD=DC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)当OD=2时，由PO=22，知∠OPB=故答案为：26【点睛】本题主要考查了圆锥的结构特征，棱锥的体积等知识，考查空间想象能力，属于中档题．16、2【解析】

根据题意，设满足条件的一个等差数列首项为a1，公差为d，d∈N*.确定d的可能取值为1，2，3，【详解】根据题意，设满足条件的一个等差数列首项为a1，公差为d，必有d∈则a5=a则d的可能取值为1，2，3，…，1．对于给定的d，a1=a5-4d≤30-4d，当a1分别取1，2，3，(如：d=1时，a1≤26，当a1分别取1，2，3，可得递增等差数列26个：1，2，3，4，5；2，3，…，6；…；26，21，…，30，其它同理)．当d取1，2，3，…，1时，可得符合要求的等差数列的个数为：12故答案为：2．【点睛】本题主要考查了合情推理，涉及等差数列的性质，关键是确定d的取值范围，属于难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）①当，在上单调递增；②当，时，在，上单调递增，在上单调递减；③当时，在，上单调递增，在上单调递减；（3）．【解析】

分析：（1）求出函数在的导数即可得切线方程；（2），就分类讨论即可；（3）不妨设，则原不等式可以化为，故利用为增函数可得的取值范围．详解：（1）当时，，，所以所求的切线方程为，即．（2），①当，即时，，在上单调递增．②当，即时，因为或时，；当时，，在和上单调递增，在上单调递减；③当，即时，因为或时，；当时，，在，上单调递增，在上单调递减．（3）假设存在这样的实数，满足条件，不妨设，由知，令，则函数在上单调递增．所以，即在上恒成立，所以，故存在这样的实，满足题意，其取值范围为．点睛：（1）对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标；（2）一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．18、（1）在和上为增函数，在上为减函数；（2）【解析】

（1）将代入，求出，令，解不等式可得增区间，令，解不等式可得减区间.（2）根据题意可得在上恒成立，分离参数可得，只需即可.【详解】（1）当时，，，令，可得或；令，.所以在和上为增函数；在上为减函数.（2）由于在上为减函数，在上恒成立，即，令，可设，于是所以，的取值范围是.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，解题的关键是求出导函数，属于中档题.19、(1)证明见解析；(2)；(3)存在一点满足题意.【解析】

(1)设,对求导,则可求出在,处的切线方程,再联立切线方程分析即可.

(2)根据(1)中的切线方程,代入则可得到直线的方程,再联立抛物线求弦长列式求解即可.(3)分情况,当的纵坐标与两种情况,求出点的坐标表达式,再利用与垂直进行求解分析是否存在即可.【详解】(1)设,对求导有,故在处的切线方程为,即,又,故同理在处的切线方程为,联立切线方程有,化简得,即的纵坐标为,因为，故,,三点的纵坐标成等差数列.

(2)同(1)有在处的切线方程为,因为,所以,即,又切线过,则,同理,故均满足直线方程,即故直线,联立,则,即,解得,故抛物线：.(3)设,由题意得,则中点,又直线斜率,故设.又的中点在直线上,且中点也在直线上,代入得.又在抛物线上,则.所以或.即点或(1)当时,则,此时点满足(2)当时,对,此时,则.又.,所以,不成立,对,因为,此时直线平行于轴,又因为,故直线与直线不垂直,与题设矛盾,故时,不存在符合题意的点.综上所述,仅存在一点满足题意.【点睛】本题考查了抛物线的双切线问题,需要求出在抛物线上的点的切线方程,再根据抛物线双切线的性质进行计算,同时要灵活运用抛物线的方程,属于难题.20、（I）（2，6）；（II）详见解析.【解析】

（I）按零点分类讨论，去掉绝对值，分别求解不等式，即可得绝对值不等式的解集；（II）由函数，求得其最大值，得到，再利用基本不等式，即可求解.【详解】（I）当时，，解得，；当时，，解得，；当时，，解得，无解.综上所述，原不等式的解集为（2，6）.（II）证明：=，即（当且仅当时，等号成立）.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的证明问题，其中解答中合理分类讨论