2023年山东省济南市章丘四中高二数学第二学期期末检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，若方程在上有3个实根，则的取值范围为（）A． B． C． D．2．过点且与直线垂直的直线方程是（）A． B．C． D．3．设有一个回归方程为y=2-2.5x,则变量x增加一个单位时（）A．y平均增加2.5个单位 B．y平均增加2个单位C．y平均减少2.5个单位 D．y平均减少2个单位4．曲线与直线围成的封闭图形的面积为()A． B． C． D．5．圆与圆的位置关系是（）A．相交 B．内切 C．外切 D．相离6．已知命题p：，.则为().A．， B．，C．， D．，7．设函数在定义域内可导，的图像如图所示，则导函数的图像可能为()A． B．C． D．8．复数在复平面内对应的点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．已知函数的图象如图所示，则函数的对称中心坐标为（）A． B．C． D．10．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．记函数的定义域为，函数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．12．设x，y满足约束条件y+2⩾0，x-2⩽0，2x-y+1⩾0，A．-2 B．-32 C．-1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设随机变量，随机变量，若，则_________.14．如图，是正方体的棱上的一点，且平面，则异面直线与所成角的余弦值为______．15．设椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，且，，则该椭圆的离心率为．16．已知的展开式中项的系数是-35，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知圆心为的圆经过原点．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线与圆交于，两点．若，求的值．18．（12分）已知函数,．（Ⅰ）求函数的单调减区间；（Ⅱ）证明:；（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的值.19．（12分）已知正项数列中，且（1）分别计算出的值，然后猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.20．（12分）已知函数．（1）若，求函数的最大值；（2）令，讨论函数的单调区间；（3）若，正实数满足，证明.21．（12分）1，4，9，16……这些数可以用图1中的点阵表示，古希腊毕达哥拉斯学派将其称为正方形数，记第个数为.在图2的杨辉三角中，第行是展开式的二项式系数，，…，，记杨辉三角的前行所有数之和为.（1）求和的通项公式；（2）当时，比较与的大小，并加以证明.22．（10分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，梯形面积为.（1）当，时，求梯形的周长(精确到)；（2）记，求面积以为自变量的函数解析式，并写出其定义域.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值和最值，利用数形结合进行求解即可．【详解】当时，，则不成立，即方程没有零解.当时，，即，则设则由，得，此时函数单调递增；由，得，此时函数单调递减，所以当时，函数取得极小值；当时，；当时，；当时，，即，则.设则由得（舍去）或，此时函数单调递增；由得，此时单调递减，所以当时，函数取得极大值；当时，当时，作出函数和的图象，可知要使方程在上有三个实根，则.故选：B.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．2、B【解析】

先求出所求直线的斜率，再写出直线的点斜式方程化简整理即得解.【详解】由题得直线的斜率为所以直线的方程为，即：故选B【点睛】本题主要考查相互垂直的直线的斜率关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3、C【解析】试题分析：根据题意，对于回归方程为，当增加一个单位时，则的平均变化为，故可知平均减少个单位，故选C.考点：线性回归方程的应用.4、B【解析】由，直线，令,可得或，曲线与直线交于点或，因此围成的封闭图形的面积，故选B.5、C【解析】

据题意可知两个圆的圆心分别为，；半径分别为1和4；圆心距离为5，再由半径长度与圆心距可判断两圆位置关系.【详解】设两个圆的半径分别为和，因为圆的方程为与圆所以圆心坐标为，圆心距离为5，由，可知两圆外切，故选C.【点睛】本题考查两圆的位置关系，属于基础题.6、C【解析】

因为特称命题的否定是全称命题，即改变量词又否定结论，所以p：，的否定:.故选C.7、D【解析】

通过原函数的单调性可确定导函数的正负，结合图象即可选出答案.【详解】由函数的图象可知，当时，单调递减，所以时，，符合条件的只有D选项，故选D.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题.8、B【解析】因，故复数对应的点在第二象限，应选答案B．9、D【解析】

试题分析：由图象可知又，又，.，又，所以，由，得，则的对称中心坐标为.考点：1.三角函数的性质；2.三角函数图像的性质.【方法点睛】根据，的图象求解析式的步骤：1．首先确定振幅和周期，从而得到与；2．求的值时最好选用最值点求，峰点：，；谷点：，，也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点，升零点(图象上升时与轴的交点)：，；降零点(图象下降时与轴的交点)：，．10、A【解析】，所以，选A.11、C【解析】

列不等式求出集合，设，可得既是奇函数又是增函数，故原题等价于，结合奇偶性和单调性以及分离参数思想可得在上恒成立，根据的范围即可得结果.【详解】由得，即设，，即函数在上为奇函数，又∵和为增函数，∴既是奇函数又是增函数由得，则，∴即在上恒成立，∵，∴，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的应用，恒成立问题，构造函数是解题的关键，属于中档题.12、A【解析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线z=x+y，观察直线在x轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出z最大值和最小值，于此可得出答案。【详解】如图，作出约束条件表示的可行域.由图可知，当直线z=x+y经过点A(2，5)时.当直线z=x+y经过点B(-32,-2)时，z取得最小值.故z【点睛】本题考查简单的线性规划问题，一般利用平移直线利用直线在坐标轴上的截距得出最优解，考查计算能力，属于中等题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、6【解析】因，故，即，则，又随机变量，所以，，应填答案。14、【解析】不妨设正方体的棱长为，如图，当为中点时，平面，则为直线与所成的角，在中，，故答案为.【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.15、【解析】试题分析：在中，，，设，则.考点：椭圆的定义.【易错点晴】本题的考点是椭圆定义的考查，即的等式关系和几何意义.由给定的条件可知三角形不仅是直角三角形，也可以得到其中一个锐角，由此可用来表示直角三角形的三个边，再根据椭圆的定义便可建立等式关系，求得椭圆的离心率.椭圆中研究的关系不仅选择填空会考有时解答题也会出，它是研究椭圆基础.16、1【解析】

试题分析：∵，∴．又展开式中的系数是－35，可得，∴m=1．∴．在①，令x=1，m=1时，由①可得，即考点：二项式系数的性质三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）由两点间距离公式求出圆C的半径，由此能求出圆C的方程；（Ⅱ）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，从在则|AD|＝|AB|＝4，由勾股定理求出CD，由点到直线的距离公式求出CD，由此能求出m试题解析：（Ⅰ）解：圆的半径，从而圆的方程为．（Ⅱ）解：作于，则平分线段，所以．在直角三角形中，．由点到直线的距离公式，得，所以，解得．考点：圆的标准方程；直线与圆相交的性质18、(1)f(x)的单调递减区间是.(2)证明见解析.(3).【解析】

(Ⅰ)求导，由，即可得到函数的单调减区间；(Ⅱ)记h(x)＝f(x)g(x),设法证明，即可证明.(Ⅲ)由题即，易证,当时取到等号，由得,由此可求的值.【详解】(Ⅰ)因为由，得所以f(x)的单调递减区间是.(Ⅱ)记h(x)＝f(x)g(x)＝,,所以在R上为减函数因为所以存在唯一，使即，,当时，；当时，.所以所以.(Ⅲ)因为,所以,易证,当时取到等号，由得,,所以即.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明与恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.19、（1）；；（2）见解析.【解析】

（1）逐个计算计算出的值，再通过观察可猜。（2）先检验n=1满足，再假设时（*）式成立，即，下证即可证明。【详解】（1）令得化简得，解得或.令得化简得，解得或令得化简得，解得或猜想（*）.①当时，，（*）式成立；②假设时（*）式成立，即，那么当时，化简得所以当时，（*）式也成立.综上：由①②得当时，【点睛】本题考查归纳-猜想-证明，这一常见思维方式，而与自然数相关的结论证明我们常用数学归纳法。20、（1）f（x）的最大值为f（1）=1．（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）代入求出值，利用导数求出函数的极值，进而判断最值；（Ⅱ）求出，求出导函数，分别对参数分类讨论，确定导函数的正负，得出函数的单调性；（Ⅲ）整理方程，观察题的特点，变形得，故只需求解右式的范围即可，利用构造函数，求导的方法求出右式的最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以a=-2，此时f（x）=lnx-x2+x，f'（x）=-2x+1，由f'（x）=1，得x=1，∴f（x）在（1，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故当x=1时函数有极大值，也是最大值，所以f（x）的最大值为f（1）=1．

（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax2-ax+1，∴g（x）=lnx-ax2-ax+x+1，当a=1时，g'（x）＞1，g（x）单调递增；当a＞1时，x∈（1，）时，g'（x）＞1，g（x）单调递增；x∈（，+∞）时，g'（x）＜1，g（x）单调递减；当a＜1时，g'（x）＞1，g（x）单调递增；（Ⅲ）当a=2时，f（x）=lnx+x2+x，x＞1，．由f（x1）+f（x2）+x1x2=1，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x2x1=1．从而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2-ln（x1x2），．令t=x2x1，则由φ（t）=t-lnt得，φ'（t）=．可知，φ（t）在区间（1，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，正实数x1，x2，∴．21、（Ⅰ），（Ⅱ），证明见解析【解析】

（Ⅰ）由正方形数的特点知，由二项式定理的性质，求出杨辉三角形第行个数的和，由此能求出和的通项公式；（Ⅱ）由时，，时，，证明：时，时，可以逐个验证；证明时，时，可以用数学归纳法证明．【详解】（Ⅰ）由正方形数的特点可知；由二项式定理的性质，杨辉三角第行个数的和为，所以.（Ⅱ），，所以；，，所以；，，所以；，，所以；，所以；猜想：当时，；当时，.证明如下：证法1：当时，已证.下面用数学归纳法证明：当时，.①当时，已证：②假设时，猜想成立，即，所以；那么，，所以，当时，猜想也成立．根据①②，可知当时，.【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求法，以及数学归纳法不等式的证明，其中解