物理下学期电磁感应自感和互感

7.5

自

感一、自感现象的实验RL˜S2˜S1KKS˜L二、自感现象的规律*自感现象：根据法拉第电磁感应定律可知，当线圈中流过变化的电流时，线圈磁通量随之变化，线圈自身出现了感生电动势，这就是自感现象。y

=

Nf

IIL

=

y**自感系数LB

Iy

=

LI式中比例系数L称为该线圈的自感系数，简称自感，又称电感.说明：1.L是标量，单位为亨利（用H表示）

2.它是由线圈的形状、匝数及线圈中的磁介质的种类决定的。对于给定的线圈它是一个常数。**

*自感电动势eL由线圈自身电流的变化而在该线圈中产生的感生电动势，叫做自感电动势，根据电磁感应定律，可得：dt

dtLe

=

-

dY

=

-L

dI三、自感的计算方法B

=

mH

=

mnIy

=

NΦ

=

NBSISlN=

Nm求其自感

L

.

（忽略边缘效应）例1

如图的长直密绕螺线管,已知

l

,

S

,

N

,

m

,lSm解先设电流I根据安培环路定理求得

H

Bn

=

N

lΦL

.lSmly

=

Nm

N

ISn

=

N

lV

=

lS\

L

=

mn2VSN

2lyI=

mL

=四、自感的应用稳流

,

LC

谐振电路,

滤波电路,

感应圈等

.R1I例

2

有两个同轴圆筒形导体

,

其半径分别为R1和

R2

,

通过它们的电流均为

I

,但电流的流向相反.设在两圆筒间充满磁导率为m

的均匀磁介质,求其自感

L

.解两圆筒之间2πrB

=

mI

如图在两圆筒间取一长为l

的面PQRS

,并将其分成许多小面元.则

dΦ

=

B

dSldr2π

rR1Φ

=

dΦ

=

R

2=

Bl

drmIPRQR

2lIrSd

r2π

rR1Φ

=

dΦ

=

R

2

mI

ldr即mIl

ln

R2

2π

R1Φ

=由自感定义可求出ln

2

I

2π

R1Φ

ml

RL

=

=单位长度的自感为

m

ln

R22π

R1R1IPRQR

2lIrSd

r7.6

互

感一、互感现象的实验二、互感现象的规律*互感现象：若空间存在多个回路时，其中一个线圈（回路）的电流变化会引起其它线圈中的磁通发生变化，将在其上产生感生电动势。这种电磁感应现象，叫做互感现象，由此产生的感生电动势，称为互感电动势。**互感系数M12I

2B12I

2Y

12

=

N1f1212

212Y

=

M

I212IM=

Y

12I1B21I1Y

21

=

N

2f21Y

21

=

M

21

I1121IM=

Y

21M12

=

M

21

=

M两个线圈之间的互感就等于穿过一个线圈而由另一个线圈中单位电流所引起的磁通量。说明：M是标量，单位为亨利（用H表示）两个线圈的互感仅取决于两个线圈的形状、几何尺

寸、磁介质及二者的相对位置。对于给定的线圈它是一个常数。***互感电动势dtdt2112=

-M

dI

1e

=

-

dY

21e

=

-

dY

12

=

-M

dI

2dt

dt问：下列几种情况互感是否变化？线框平行直导线移动；线框垂直于直导线移动；线框绕OC

轴转动；直导线中电流变化.OC．练习题1、一无铁芯的长直螺线管，在保持其半径和总匝数不变的情况下，把螺线管拉长一些，则它的自感系数将

路的两个输入端．则整个线圈的自感系数为

_减小2、一自感线圈中，电流强度在0.002s内均匀地由10

A增加到12

A，此过程中线圈内自感电动势为400

V，则线圈的自感系数为L=

0.400

H

．3、如图，两根彼此紧靠的绝缘的导线绕成一个线圈，其

A端用焊锡将二根导线焊在一起，另一端B处作为连接外电04、有一根无限长直导线绝缘地紧贴在矩形线圈的中心轴OO′上，则直导线与矩形线圈间的互感系数为

0

．A焊点BOO′通以电流

I

求出另一线圈的磁通量ΦM设半径为

r1

的线圈中通有电流

I

1

,

则0

1

11101lNI

=

m

n

IB

=

m三、互感系数的计算例1

两同轴长直密绕螺线管的互感有两个长度均为l,半径分别为r1和r2（

r1<r2

）,匝数分别为N1和N2的同轴长直密绕螺线管.求它们的互感M.解

先设某一线圈中1

0

1

11lNI

=

m

n

IB1

=

m0=

n

lB

(πr

2

)2

1

112

21=

m

n

n l

(π

r

2

)

I0

1

2

1y

=

N

Φ代入

B1

计算得则112IM=

m

n

n l

(π

r

2

)0

1

2

1=

N

2Φ212

21=

N B

(π

r

2

)2

1

1y

=

N

Φ则穿过半径为r2

的线圈的磁通匝数为两个线圈的自感和互感的值分别为：L1=μ0n1２V

，L2=μ0n2２V，M=μ0n1n2V（两线圈完全一样）即有：M

２=L1

L2这个结果是利用了这样一个假定，即其中一个线圈所产生的磁通量全部穿过另一个线圈的每一匝。实际情况并非完全如此，所以实际上互感的平方总是小于自感之积为此互感与自感之间的关系可以写成：M

=

k

L1

L2式中k

叫做耦合系数，它介于0与1之间。它的大小，取决于两线圈或回路之间磁耦合的紧密程度。blIxo2π

xmIB

=ld

x2π

xmI

=d

Φ

=

B

d

sd

+bdΦ

=ld

x2π

xmI解

设长直导线通电流

Idxdx的互感系数.例2

在磁导率为m

的均匀无限大的磁介质中,一无限长直导线与一宽长分别为b

和l

的矩形线圈共面,直导线与矩形线圈的一侧平行,且相距为d

.求二者d

+bdΦ

=2π

xmI

ldx=

mIl

ln(

b

+

d

)2π

dlIb

2

b

2M

=

Φ

=

ml

ln(b

+

d

)I

2π

d若导线如左图放置,

根据对称性可知

Φ

=

0bdlx

dxIxoM

=

0得7.7

磁场的能量在R-L电路中，电源供给的能量分两个部分，一部分转换成热能；另一部分转换成线圈中磁场的能量。回路接通后，设在t到t+dt

时刻内，回路中的电流由I增到I+dI，则电流随时间的变化率为dI/dt，考虑自感电动势-LdI/dt，由欧姆定律可知在此时间段内有：ε-LdI/dt=IR即：εIdt

-LIdI=I2Rdt若在0→t0时间内，

电流由0→I0，则有：000000tItI

2

RdtLIdI

+eIdt

=上式可描述为：电源由0→t0时间内所做的功=电源反抗自感电动势所做的功+电流在电阻R上消耗的焦耳热。显然，在建立磁场的过程中电源反抗自感电动势所做的功，转换成了磁场的能量，该能量的大小为2021LII00LIdI

=也就是说，在载有电流I的自感线圈L中所储存的磁能为2mW

=

1

LI

2为简单起见，现以一个长直螺线管为例进行研究。设管内充满磁导率为μ的均匀磁介质，管中的磁场可近似看作均匀，且全部集中在管内。设通过螺线管的电流为I，则螺线管内的B=μn

I，即I=B/μn，其自感系数为L=μn２V，代入Wm=LI2/2，有：m2B

2

B

221

112m

2

n

2mn

V=

V

=

BHV

=

mH

V2m

2

2W

=而磁场的能量密度，即单位体积中的磁场能量为21

1B

2VWmw

m

=

=

2m

=

2

BH

=

2

mH若磁场是不均匀的，则可把磁场划分为无数体积元

dV，计算出这些体积元内的磁场能量密度。在dV的体积元内的磁场能量为：VmBHdV2W

=

1VBHdV21

LI

2

=

1这又提供了一种计算自感系数的方法。对整个磁场不为零的空间积分，则磁场的总能量为m

m2dW

=

w

dV

=

1

BHdV可知：2

2另外：Wm1

2=

LI例1、如图所示，一根很长的同轴电缆，由半径为R１的中心圆柱壳和半径为R２的同心柱壳所组成。电缆上均匀的载有稳恒电流I，外层的导体壳作为电流返回的路径。试计算：长为l

的一段电缆的自感。R

1rdrR

2解1：利用自感的定义计算2110r

>

R2R

<

r

<

RI0

r

<

RH

(r

)

=

2pr设在电缆上通有电流I，以圆柱轴线为圆心，以r为半径取积分回路。由安培环路定理易得：rIH(r)ISd

r任取一长为l

的横截面S如图，通过此面积的磁通量为：F

=2RR1B(r

)ldr200ln2R1R1R12p2pm

Il

R2prR

m

I\

L

=

m0

l

ln

R2=

LIldr

=F

=解2：通过磁场能量的计算设在电缆上通有电流I，以圆柱轴线为圆心，以r为半径取积分回路。同样由安培环路定理易得：21100r

>

R2R

<

r

<

RIr

<

RH

(r

)

=

2pr空间磁场能量密度为：22

2200121r

>

R2R

<

r

<

Rr

<

R1m/

8p

r0BH

=

m

Iw

=R

1rdrR

2磁场的能量集中在两圆柱壳之间，在电缆中取由内外半径为r与r+dr、长为l的圆柱层组成的体积元dV，此体积元中包含的磁能为

：dWm

=

w

m

dV

=

w

m

2prldr长为l

的一段同轴电缆所储存的总磁能为：2012ln21LIR1RRmm2p

R14p