专训分式运算八种技巧

阶段方法技巧训练（一）专训2

分式运算的八种技巧习题课分式的加减运算中起关键作用的就是通

分．但对某些较复杂或具有特定结构的题目，使用一般方法有时计算量太大，容易出错，有时甚至算不出来，若能结合题目结构特征，灵活运用相关性质、方法、解题技巧，选择恰当的运算方法与技能，常常能达到事半功倍、化繁为简的效果．1技巧约分计算法a

(a＋3)(a＋3)2a2＋6a

a2

-

91．计算：

-

.a2＋3a

a2＋6a＋9解：原式=

a

(a＋6)-

(a＋3)(a

-

3).=

a＋6

-

a

-

3

=

9a＋3

a＋3

a＋3在分式的加减运算中，若分式的分子、分母是多项式，则首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分，然后再计算，这样可使计算过程简化．2技巧顺次相加法1

1

2

x

4

x32．计算：

＋

＋

＋

.x

-

1

x＋1

x2＋1

x4＋1x＋1

x

-

1 2

x

4

x3解：原式

=

＋

＋

＋x2

-

1

x2

-

1

x2＋1

x4＋12

x

2

x

4

x3=

＋

＋x2

-

1

x2＋1

x4＋1=4

x3＋x4＋12

x

(x2＋1)＋2

x

(x2

-

1)(x2

-

1)(x2＋1)4

x3

4

x3=

＋x4

-

1

x4＋1=4

x3

(x4＋1)＋4

x3

(x4

-

1)(x4

-

1)(x4＋1)8

x7=

.x8

-

1此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解

题时既要看到局部特征，又要全局考虑．3技巧整体通分法3．化简：a－b－.(a＋b)2a

-

b解：原式=(a＋b)2(a

-

b)2-a

-

b

a

-

b=(a

-

b)2

-

(a＋b)2a

-

b4ab

.=

-a

-

b本题将a－b看成一个整体进行通分，使解题简捷．4技巧换元通分法－(3m－2n)2＋(3m

-

2n)34．计算：(3m－2n)

＋

3m

-

2n＋1解：设3m－2n＝x，则原式＝2x3xx＋

-

x

-x＋1x

-

1.2n

-

3m3m

-

2n

-

1=x

(x2

-

1)＋x3

(x

-

1)-

x2

(x2

-

1)-

x

(x＋1)(x＋1)(x

-

1)==.2(2n

-

3m)-

2

x(x＋1)(x

-

1) (3m

-

2n＋1)(3m

-

2n

-

1)4技巧5．计算：1

1＋＋a

(a＋1)1(a＋2)(a＋3)11

1÷=

-÷n

n＋1÷骣裂项相消法ç即ç

n(n＋1)桫(a＋1)(a＋2)1.(a＋99)(a＋100)＋ggg＋解：原式＝1111＋—＋—1

－

1a

a＋1

a＋1

a＋2

a＋2

a＋311—＋ggg＋a＋99

a＋1001=

1

－a

a＋100.100a

(a＋100)=对于分子是1，分母是相差为1的两个整式的积的分式相加减，常用进行裂项，然后相加减，这样可以抵消一些项．1

1

1n(n＋1)=

n

-

n＋16技巧整体代入法1

1

1

1

1

1

1

1

16．已知

＋

=

,

＋

=

,

＋

=

,求的值．ab＋bc＋aca

b

6

b

c

9

a

c

15abc1

1

1

1

1

1

1

1

1解：

＋

=

,

＋

=

,

＋

=

,a

b

6

b

c

9

a

c

15将上面各式两边分别相加，得,1

＋

1

＋

16

9

15b

c1

1÷ç＋

＋

÷?

2骣1ç桫a31.1801＋1＋1abc所以

=31=abcab＋bc＋ac1

＋

1

＋

1c

a

b1

=

180

.易知abc≠0，所以7技巧倒数求值法7．已知xx2－3

x＋1=

－1,x2求 的值．x4－9

x2＋1解：由xx2－3

x＋1=

－1,知x?

0，所以x2－3

x＋1x=

－1,所以x－3＋

1

=

－1,即x＋

1

=

2.221因为xx4－9

x2＋1x2xx=

x

－9＋1x2所以

=

－

.x4－9

x2＋1

7x=

-71

2=

x

+8技巧消元法8．已知4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且xyz≠0，求的值．2

x2－3

y2－10z25

x2＋2

y2－z2解：以x，y为主元，将已知的两个等式化为4x－3y＝6z，x＋2y＝7z.所以x＝3z，y＝2z(z