中考数学复习课件-中考专题巧突破-专题5-圆的证明与计算

专题5圆的证明与计算考法示例考法透析12考法示例圆的证明与计算是内江中考数学试题的解答题型重要组成部分，主要考查圆与直线的位置关系较多，大都考查切线的性质与判定，利用图形全等、相似、勾股定理或解直角三角形的知识综合解答图形中有关计算问题．主要考查的知识点有切线的判定、垂径定理、等边三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等.2021年中考解答题的复习应重点结合以上知识点加强对此类解答题的训练．考法透析类型1与切线判定有关的证明与计算☞示例1

(2015·内江)如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．(1)试说明CE是⊙O的切线；(2)若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．[分析]

(1)连接OC，如图1，要证CE是⊙O的切线，只需证明∠OCE＝90°即可；(2)过点C作CM⊥AB于M，如图1，在Rt△OMC中运用三角函数即可解决问题；(3)作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图2，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF＝DO，过点D作DH⊥OC于H，易得DH＝DC，从而有CD＋OD＝DH＋FD.根据垂线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH＋FD(即CD＋OD)最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．[解答]解：(1)连接OC，如图1.∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠CAE＝60°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线．(2)过点C作CM⊥AB于M，如图1.由题可得CM＝h.在Rt△OMC中，CM＝OC·sin∠COM，∴h＝OC·sin60°＝OC，∴OC＝

，∴AB＝2OC＝

(3)作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图2，则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝(180°－60°)＝60°.∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO.过点D作DH⊥OC于H.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝CD·sin∠DCH＝CD·sin30°＝CD，∴CD＋OD＝DH＋FD.根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH＋FD(即CD＋OD)最小，此时FH＝OF·sin∠FOH＝OF＝6，则OF＝

，AB＝2OF＝

∴当CD＋OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为.[点评]本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、垂线段最短等知识，把CD＋OD转化为DH＋FD是解决第(3)小题的关键．变式训练1．(2020·铜仁)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD＝8，

，求CD的长．(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB＋∠ABC＝∠ABC＋∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB.∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO＋∠BCO＝∠BCD＋∠BCO＝90°，∴∠DCO＝90°，即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切线．(2)解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA＝

∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠A，∴△CBD∽△ACD，∴

∵AD＝8，∴CD＝4.2．(2020·黔西南)古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点(不与点A，B重合)，连接CD，PE，PC.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)小明在研究的过程中发现

是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．(1)证明：连接OD、DB.∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，∴DE垂直平分OB，∴DB＝DO.∵在⊙O中，DO＝OB，∴DB＝DO＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝60°.∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO.∵∠DBO＝60°，∴∠BDC＝30°，∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°，即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线．(2)解：结论：这个确定的值是

证明：连接OP.由已知可得：OP＝OB＝BC＝2OE，∴

又∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴

3.(2018·内江)如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE.(1)判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；(2)求证：2DE²＝CD·OE；(3)若

，求AD的长．(1)解：DE是⊙O的切线．理由：连接OD，BD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.∵OE∥AC，OA＝OB，∴BE＝CE，∴DE＝BE＝CE，∴∠DBE＝∠BDE.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODE＝∠OBE＝90°.又点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线．(2)证明：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB，∴

，∴BC2＝CD·AC.由(1)知DE＝BE＝CE＝BC，∴4DE2＝CD·AC.由(1)知，OE是△ABC是中位线，∴AC＝2OE，∴4DE2＝CD·2OE，∴2DE2＝CD·OE.(3)解：∵DE＝

，∴BC＝5.在Rt△BCD中，tanC＝

设CD＝3x，BD＝4x，根据勾股定理，得(3x)2＋(4x)2＝25，解得x＝－1(舍去)或x＝1，∴BD＝4，CD＝3.由(2)知，BC2＝CD·AC，∴

∴

类型2与切线性质有关的证明与计算☞示例2

(2019·内江)如图，AB与⊙O相切于点A，直线l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB＝5，OB与⊙O交于点P，AP的延长线交直线l于点C.(1)求证：AB＝BC；(2)若⊙O的半径为3，求线段AP的长；(3)若在⊙O上存在点G，使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．[分析]

(1)连接OA，根据切线的性质得到∠OAB＝90°，根据等腰三角形的性质、对顶角相等得到∠BAC＝∠BCA，根据等腰三角形的判定定理证明结论；(2)连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，根据勾股定理求出BC，PC，证明△DAP∽△CPB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；(3)作BC的垂直平分线MN，作OE⊥MN于E，根据勾股定理用r表示出AB，得到OE的长，根据题意计算，得到答案．[解答]

(1)证明：连接OA.∵AB与⊙O相切，∴∠OAB＝90°，∴∠OAP＋∠BAC＝90°.∵OB⊥l，∴∠BCA＋∠BPC＝90°.∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝∠BPC，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC.(2)解：延长AO交⊙O于D，连接PD，则∠APD＝90°.∵OB＝5，OP＝3，∴PB＝2，∴BC＝AB＝

＝4.在Rt△PBC中，PC＝

∵∠DAP＝∠CPB，∠APD＝∠PBC＝90°，∴△DAP∽△CPB，∴

即

(3)解：作BC的垂直平分线MN，作OE⊥MN于E，则OE＝

由题意，得⊙O与MN有交点，∴OE≤r，即≤r，解得r≥.∵直线l与⊙O相离，∴r＜5，则⊙O的半径r的取值范围为≤r＜5.[点评]本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．变式训练4.（2020·武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E.（1）求证：AD平分∠BAE；（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值.（1）证明：连接OD，如图.∵DE为切线，∴OD⊥DE.∵DE⊥AE，∴OD∥AE，∴∠1＝∠ODA.∵OA＝OD，∴∠2＝∠ODA，∴∠1＝∠2，∴AD平分∠BAE.（2）解：连接BD，如图.∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.∵∠2＋∠ABD＝90°，∠3＋∠ABD＝90°.∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.而DE＝CD，∴AD＝BC，设CD＝x，BC＝AD＝y.∵∠DCB＝∠BCA，∠3＝∠2，∴△CDB∽△CBA，∴CD∶CB＝CB∶CA，即x∶y＝y∶（x＋y），整理，得x2＋xy－y2＝0，5．(2017·内江)如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE＝CE.(1)求证：AC²＝AE·AB；(2)过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；(3)设⊙O半径为4，N点OC为中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．(1)证明：连接BC.∵AE＝CE，∴∠A＝∠ACE.∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴

，即∠A＝∠CBA，∴∠ACE＝∠CBA，∴△ACE∽△ABC.∴，∴AC2＝AE·AB.(2)解：PB＝PE.理由：连接BO.∵PB与⊙O相切，∴∠PBO＝90°，∴∠PBE＋∠OBN＝90°.∵∠COB＋∠OBN＝90°，∴∠PBE＝∠COB.又∠PEB＝∠A＋∠ACE＝2∠A，∠COB＝2∠A，∴∠PEB＝∠PBE，∴PB＝PE.(3)解：连接PO，交圆于点Q，此时PQ最小．∵N是CO中点，∴ON＝OC＝OB，则在Rt△OBN中，∠OBN＝30°，∴∠COB＝60°，∴∠PBE＝60°.又OB＝OC，PB＝PE，∴△COB和△PBE均为等边三角形，∴BC＝OB＝4.又∠A＝∠COB＝30°，∴∠ABC＝30°，∴∠PBC＝∠CBE＝30°，∴BC⊥PE.在Rt△PBC中，PB＝

6．(2020·自贡)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一点，且PA＝PC＝AB，连接PO交AC于点D，延长PO交⊙O于点F.(1)证明：

；(2)若tan∠ABC＝2，证明：PA是⊙O的切线；(3)在(2)条件下，连接PB交⊙O于点E，连接DE，若BC＝2，求DE的长．(1)证明：连接OC.∵PC＝PA，OC＝OA，∴OP垂直平分线段AC，∴

(2)证明：设BC＝a.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∵tan∠ABC＝