第二章递归与分治策略

第2章递归与分治策略学习要点:理解递归的概念。掌握设计有效算法的分治策略。通过下面的范例学习分治策略设计技巧。（1）二分搜索技术；（2）大整数乘法；（3）棋盘覆盖；（4）线性时间选择；将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题。算法总体思想nT(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n)=

对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。算苹法邻总掠体渗思僚想对害这雷k恒个绣子盘问则题阔分戴别箱求谎解盯。累如敞果美子羊问茶题陆的课规副模掘仍倡然键不迟够查小滋，哨则彩再俱划总分态为扛k也个阿子糕问仇题迫，移如鹿此职递璃归皇的灶进船行警下职去错，领直回到傲问洞题蜘规茅模门足虏够肆小欺，载很号容寒易巩求孟出坏其查解倾为脊止却。nT厦(租n兼)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)将责求勺出沫的汽小辣规借模身的夹问肃题括的课解布合埋并相为敬一宾个乎更家大卫规吓模吸的垫问予题砌的馅解残，敬自律底佩向怎上摸逐阀步峰求叨出杆原武来贿问内题眯的余解汉。算粒法谅总鸣体购思扇想将若求荐出懂的雅小驳规信模番的片问狱题萌的阔解辩合置并积为危一怕个快更亏大睬规彩模牌的碑问头题忽的壶解停，拥自梳底秆向纪上凶逐福步锯求红出廉原至来舍问登题这的煮解歌。nT衰(菌n顾)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)算乓法受总挑体榴思五想将沙求连出杨的黑小牙规胜模也的苏问虹题卷的部解陵合勒并泊为爸一扰个撇更刺大雨规绿模吼的糟问照题欺的修解削，磁自宅底双向捆上攻逐绝步芦求狸出等原滨来茂问健题砌的鸽解此。nT(n)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)分驴治鞠法幻玉的茂设张计王思冒想屑是淹，销将趁一柴个享难逼以票直删接下解示决冻的倦大馒问禁题暑，分剩割仁成闲一进些巷规许模剧较矮小煮的兔相岗同虑问销题景，辈以健便蔑各昨个索击纸破颠，分趋而题治养之县。具厨体合步趁骤油：1疲、寨将泰源芬问歪题据分联解过为勿有活限触的温若国干仿个顽子尸问尺题2卖、锁解迎决盖子饿问暖题3解、趣复抛合补过索程2星.树1递酸归沿的杏概僻念直远接谋或舱间断接席地鞠调粮用胃自禾身调的糖算纹法电称困为递民归财算行法。别用涂函驳数豪自抹身膛给肿出徐定稍义突的桐函湖数换称陶为递政归雪函摘数。由恨分摧治煮法必产城生绳的帖子遭问或题漆往唐往速是违原货问绪题江的维较评小列模融式佣，弯这澡就捕为好使丘用缝递氧归雪技指术壶提生供愿了甚方患便划。桃在铲这闪种绢情卧况颤下世，桌反酬复世应主用萍分疫治絮手绸段耳，药可罚以削使五子膊问纪题嫌与贤原填问惨题抛类廉型帖一姻致被而婚其诸规徒模晕却乌不寻断柱缩饿小返，挥最肢终雀使有子螺问抓题仔缩肆小捧到荣很逢容型易膨直培接远求金出铸其情解腊。速这联自名然丽导驴致卷递刺归匹过新程串的甜产疑生壤。分埋治尼与骨递爱归玩像悼一闯对惯孪昆生亡兄榆弟槽，扔经钩常哲同李时饱应唯用害在姐算钳法愁设塑计冈之举中踪蝶，臂并新由呆此圆产咐生印许视多筋高梢效悦算促法化。下寄面棉来志看振几迁个古实驰例奏。2拼.孙1递沾归电的因概狭念例战1著阶育乘抓函霸数阶雀乘徒函仍数艘可铺递骆归翠地捷定伤义浮为漆：边爽界碧条旺件递殊归浮方心程边想界枕条紧件洗与誓递临归名方眯程丈是购递浓归内函呀数揪的锁二忠个陪要虽素尚，裹递追归忌函睬数菊只勿有专具服备钢了必这缺两驴个亚要础素忆，月才已能票在馅有喊限誓次慢计柄算屈后咏得引出候结剩果拥。算俯法虑如垫下赏：i捧n己t帮f凳a宪c险t帅o摇r弃i坚a吴l碍(梅i搁n钳t盗n讲){i级f箩(刑n明=混=冻0障)港r淹e冷t帽u们r祖n翁1叹;r馒e嗽t已u歼r局n福n遵*搬f足a肥c迈t卵o访r蛮i霜a哲l趴(长n睬-酸1绝)格;}2仅.斩1递胁归亮的局概惰念例卸2竿F炒i赴b衰o并n丛a怪c撇c赠i歪数里列无抬穷愤数扑列粘1余，蓝1筝，幅2割，忍3丛，泪5肉，贵8宪，愧1桌3池，碌2尖1某，爪3飞4犬，骂5贺5董，触…补…绸，叶称注为扬F翠i桃b邪o府n追a第c趣c茶i伏数庸列痕。迅它泰可左以杨递劝归肝地电定供义塞为蛮：边态界却条洽件递付归付方摸程第臭n弄个亦F羽i副b铸o亲n延a军c拘c惹i肉数煎可椅递茎归封地血计余算繁如苦下识：i预n船tf柏i铃b耍o蚕n贩a烈c州c闪i(思i作n跌t庆n斑){i超f(拨n睛<绝=雕1肯)r徐e百t均u双r政n1公;r惊e绣t蛇u须r劳nf济i激b苦o福n像a哗c榴c都i(寒n栋-闸1韵)幻玉+f弦i煮b奥o木n纺a掀c省c恋i(魄n及-蛮2凡)伤;}2循.休1递蛮归武的像概锻念例洋3A竞c夺k师e宽r抱m眯a裁n函每数当巴一倦个者函妨数种及贤它晴的舍一雾个菠变各量杆是唤由前函售数尿自俊身裕定占义惜时派，沿称浪这衫个材函藏数夫是双胆递直归肺函纠数。A省c葱k悟e芦r滑m歇a色n函相数A膛(膏n响，端m另)定瞧义宝如些下近：2箱.惑1递舌归司的岭概梢念例岔3A系c谱k亚e脸r稠m趁a略n函萝数前燥2疯例嫩中戴的场函讨数招都把可棚以技找避到浆相智应皇的懒非理递熟归呜方膀式撑定等义凶：本托例诱中骗的有A密c刘k缩慧e怨r挺m问a籍n启函绍数巾却支无物法酿找缺到蔽非衔递紫归忙的报定猎义术。2膏.垃1递畜归甚的顿概吩念例宾3A谨c蛾k躲e纯r岔m向a腥n督函雹数A宾(嘉n络，吧m邀)帐的没自启变替量绑m沉的糖每渐一歌个须值刑都因定拘义市了攀一闲个淋单列变总量来函改数哪：M桑=趋0披时旋，远A有(咽n蚀,舍0职)祖=锈n麦+孟2M鼻=壳1揪时胞，艇A缩慧(贫n麦,主1挎)爽=佣A限(潮A笛(愉n兼-最1披,伍1农)股,孙0弱)危=视A禽(谢n石-填1浊,迫1败)洞+况2红，硬和消A满(拳1励,准1迷)反=废2新故韵A宝(起n捕,义1火)霜=厅2叹*穿nM胶=泄2始时豪，绒A挥(踩n枕,岩2验)炒=休A报(火A晋(子n买-疗1姿,据2投)霞,舒1拉)另=更2蔑A斗(忌n碑-每1租,程2驼)龄，歇和蛇A尘(城1贺,琴2悠)休=刺A密(回A错(蚁0闪,墓2倍)棋,凯1五)公=阅A桂(穴1絮,招1洁)誉=手2重，屈故殖A欧(暂n问,眼2鸡)幻玉=慌2僻^蜻n俘。M厕=懒3骗时雁，坊类歪似升的猪可兼以染推膜出M乓=猪4寇时虑，问A锦(挨n跌,哲4气)塑的驳增兔长烦速司度斑非悔常师快致，组以藏至怨于爸没鼓有诵适毫当往的扛数蛛学绵式坑子刻来准表查示锣这亏一廉函熄数情。2木.红1递催归张的夜概陷念例愉4主排主列塘问并题设意计许一竿个炼递查归睬算焰法他生忌成射n掏个捧元献素匹{嚷r1,千r2,蒜…足,咸rn}绩的情全讲排搁列建。设英R剂=昏{押r1,弱r2,杠…阵,潜rn}殿是详要血进滚行揭排习列埋的梳n敞个盏元音素拥，客Ri=叛R删-唱{批ri}岁。集桶合袜X蹦中昂元廊素志的闸全汪排从列容记还为挣p园e皱r坏m某(筝X厕)乎。(气ri)伏p柜e婆r误m桐(道X浅)浸表拐示倘在旋全跃排冲列野p啊e枪r彻m族(亩X滥)荡的吧每补一锹个携排颈列玩前丑加您上隙前谨缀傅得誓到缩慧的博排条列购。山R元的避全裙排截列薯可询归晋纳困定扮义使如析下埋：当百n胸=舟1虾时由，应p恭e航r惑m丽(运R狮)赔=题(东r主)组，察其度中童r骄是绞集惹合朵R掏中伏唯柔一盆的袋元既素置；当描n税>富1少时钓，距p柴e翠r职m侦(怨R陵)洋由独(前r1)盐p事e倾r收m事(拘R1)厌，盒(居r2)仅p惜e女r意m口(简R2)隐，宵…雹，毁(改rn)莲p忙e絮r赵m其(盏Rn)脚构杜成城。v练o结i麻d吉P孟e陵r粘m欠(固T佣y对p壳e您l胃i条s悄t而[闻]推,要i倒n土t扰k锹,茄i劫n烤t芝m待){i蜂f铜(铺k浇=毕=砖m哑){f策o汗r阶(侦i准n糠t宿i盈=娱0盖;茶i喊<鬼=质m棉;尸i唐+屠+胖)爆c泳o膏u腰t跃<魔<叔l麻i龄s忌t信[馋i崖]追;c宣o踢u耽t剂<盏<密e势n富d闯l涂;}e暴l抵s笑ef烤o访r饿(叙i柏n氧t画i继=勒k夕;秧i释<朵=融m等;垫i塞+继+凝){S纷w设a刘p师(仙l质i阻s豪t浊[竭k卡]烤,零l拿i号s偏t冠[姻i孕]咽)谢;P什e意r笨m颜(确l肢i膝s代t比,爱k赴+假1丘,灾m租)浸;S关w蚕a诱p刻(敏l侄i敬s齿t唉[锤k币]揉,恼l倍i败s横t茂[凶i筒]扭)椒;}}2察.送1递踩归垫的届概叔念例架5其整处数情划必分赴问转题将尸正凳整呢数被n豆表叠示构成止一岁系谷列足正逝整译数勤之归和额：蔬n闻=五n1+壶n2+址…高+播nk，其滔中场n1≥达n2≥截…缝≥割nk≥娃1单，芹k伞≥依1勇。正潮整阴数捧n菜的沟这倚种借表膝示触称拔为徒正远整捷数聋n切的炮划阔分鉴。王求狐正烫整难数明n季的砌不同证划寒分纹个苏数均。例废如糊正贼整医数朝6南有异如母下故1证1牢种远不柄同紧的积划材分芒：6莲；5壁+秀1营；4勇+液2造，宁4王+固1肾+乔1矮；3宇+句3响，胞3治+逐2纹+双1己，穿3展+挺1辅+君1胃+叶1乖；2骆+损2江+刃2熔，腐2裂+赞2间+扭1旧+景1柳，境2申+绘1励+顶1享+看1闹+途1誓；1掘+虫1岩+宣1辣+家1雹+足1乞+滚1森。(瓶2其)散q鸡(酒n埋,探m董)废=伏q犬(汽n锋,棕n掘)阔,别mn概;最答大撞加读数拣n1实喜际鸭上浮不责能刮大盈于挣n耀。片因放此舰，谱q绸(岔1眉,摘m汪)芦=若1钱。(1)q(n,1)=1,n1;当最大加数n1不大于1时，任何正整数n只有一种划分形式，即(冷4强)习q锯(茅n仪,丸m离)斤=肾q颠(念n胖,区m违-孟1顺)莲+森q兼(护n痕-羽m爱,晓m弱)佣,组n斧>彼m扔>社1饲;正披整恐数例n且的惨最誉大长加昨数碍n1不畏大断于厨m退的壳划将分观由弦n1=份m政的豆划雁分仗和n1≤考m护-果1悦的汇划众分屡组针成惠。(伙3捡)掀q订(疯n遍,雕n离)薪=夫1犁+遵q拆(肿n追,煎n踢-数1阀)常;正富整机数哀n骡的马划枪分拜由扰n1=窗n载的边划新分授和市n1≤椅n寺-惰1理的翻划默分粗组积成雅。2誉.带1递辞归龙的棉概攀念例公5转整详数冈划闲分籍问液题前氏面东的流几隶个夺例宁子鸽中吃，扒问养题右本坟身唐都恨具乖有炉比特较春明远显锯的守递总归垃关刮系联，副因协而圾容斯易可用字递胆归锐函茶数被直砍接备求锹解汽。在增本竞例鬼中攻，足如日果吸设圈p穴(闲n絮)影为震正哈整教数角n错的袍划何分南数容，筑则添难恼以已找还到只递陶归冈关制系嫩，汤因杂此勿考居虑味增渣加齿一行个伏自悉变寻量嫁：将龄最则大伍加形数帐n1不绒大盒于逃m虫的假划箱分白个怪数参记省作艘q悼(搂n跨,蚕m爸)。门可罚以完建孤立逮q准(爷n起,符m王)霉的括如权下兴递籍归团关皆系科。2配.描1递谷归艳的秧概云念例爽5阿整嘴数艺划狗分塌问逗题前碍面崖的惕几舌个物例剂子挎中去，抄问妄题借本御身订都终具棵有燃比边较惨明圣显君的枪递犁归鸟关英系勾，懂因苹而宣容她易招用茫递窃归吹函鸽数匠直用接撞求刚解钻。在矛本顽例兼中沙，脊如戏果燃设骂p炸(氏n技)骆为为正酸整钟数勿n吨的考划低分僵数间，六则量难害以插找谷到镜递程归良关注系淋，刃因嚷此直考惨虑抵增田加确一瘦个臣自拣变扰量叙：蔽将辣最锹大证加翁数搏n1不栏大坝于亮m微的近划调分废个跨数批记爷作蚂q跌(社n剥,娱m骂)秩。鄙可闭以倍建劳立信q风(自n龟,澡m炭)炊的催如肚下银递英归茫关静系春。正戏整珠数导n估的柱划派分辈数逃p叠(那n冶)戏=马q则(胃n课,牌n仍)诵。I两n婶t色q选(碧i贷n丢t弃n华,捐i暑n俘t警m是){i坝f腾(炉(聋n育<御1冰)紧|爷|床(巴m长<窝1域)闲)附r牢e畜t验u虾r揭n互0梯;i州f飞(炉(波n米=阳=冷1头)如|牲|圆(嫁m纷=桨=衫1临)棍)猴r间e未t横u茫r诞n暴1烤;i凑f眠(甚(绳n想<元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