2021年高考数学考点47双曲线必刷题文【含答案】

考点47双曲线

22y="

1.双曲线叫/--=1的一个顶点在抛物线的2的准线上，则该双曲线的离心率为

A.依B.2衽C.20D.平

A

【解析】

•••抛物线的方程为y=*

「•抛物线的准线方程为〉，=-：

•••双曲线m尸一犬=1的一个顶点在抛物线的.Y=彳K的准线上

..•双曲线的顶点坐标为(0「与

.'.a=7

又•"=1

.T，则双曲线的离心率为(=、5

故选A

x2y2

E:———=l(a>Ofb>0)

2.双曲线a2b2的渐近线方程为丁=±々¥,则E的离心率为

2^/14

A.2B.7C.2/D.28

C

x2y2,

------------=1(Q>0,b>0)

由题意，双曲线。27---------------------的渐近线方程为旷=±、9芭

22

bcla+bIb2有

-=J7e=Z=।—2一一=：1+(匚)=2隹

即Q,所以双曲线的离心率为Q"Qqa,故选C.

xy,

--------=1（Q>b>0）

3.已知双曲线方程为b2,它的一条渐近线与圆（x-2）2+y2=2相切，则双曲线的离心率

为（）

A.A/2B.2C.平D,2"

A

【解析】

方法一：双曲线的渐近线方程为y=±y,贝此x±-=0,圆的方程2）:+产=2,同心为（2.0））=在,

所以心=也,化简可得a=b,则离心率e=、，2

va-4-o-

方法二：因为焦点鸟（-口。）到渐近线的必±。），=0距离为弧则有平行线的对应成比例可得知三二，即

C=四瓦则窝心率为e=但选A.

x2y2

--------=1

4.双曲线43的渐近线为（）

十2邪33

y=+—Xy=+xy=±-xy=±-x

A.2B.3C.5D.4

A

2273

L_L=c1V=+—X

方法一、令双曲线方程右侧为零，即双曲线43,整理得渐近线方程为-2.

=+g

则渐近线方程为一一

方法二、由题可知双曲线焦点在啾，。2,b=邓,21

故选A.

尤:?y2

-4----=1

5.中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线。与椭圆94有相同的焦距，一条渐近线方程为

x-2y=0,则双曲线C的方程为（）

X2X2V2支2

-----V29=1V92=1X29-----=1y2--=l

A.4或4B.4或4

X2X2

-----V2=1V2-----=1

C.4'D.4

A

【解析】

椭圆？+?=1中，c=v19-4=、亏

二焦距比后I=2c=2v15

・••双曲线C与椭圆9+£=1有相同的焦距，一条渐近线方程为犬-2），=0,

设双曲线方程为:一），==山=0）,化为标准方程为捺-?=1

当幺＞0时＞c=v-A-4A=v'5,解得2=1

则双曲线方程为9-尸=1

当人＜0时,c=4一入-4%=、:5,解得为=-1

则双曲线方程为尸-?=1

综上，则双曲线方程为?一尸=1或），二一三=1

故选A

r2

~i~y2=I（Q＞°）

6.已知双曲线公的右焦点在直线％+2丫-3=0上，则实数。的值为（）

A.1B.嫄C.2D.2也

D

因为直线x+2y-3=0与斓］的交点为（3,0）,

x2

~^~y2=1（。＞。）2?

所以在双曲线a中有c2=a?+l=9,

故。2=8,即a=2也，

故选D

x2y2

——-=l（a＞0,b＞0）

7.已知双曲线a?b2,的左焦点为F,离心率为々，若经过尸和P（0,4）两点的直线平行于双

曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()

x2y2_x2y2x2y

A.x2-y2=lB.22-1C.44

D.万一石

I)

【解析】

设双曲线的左焦点F(-c,0),离心率e=^=、％c=v2a,

则双曲线为等轴双曲线，即2旬，

双曲线的渐近线方程为y/x=ix,

则经过F和P(0,4)两点的直线的斜率k呼=：,

0-CC

则乂,c=4,则a=b=2、％

二.双曲线的标准方程：?一手=L

故选：D.

8.中心在原点，焦点在工轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为()

■\/5-\/6

A.A/6B.A/5C.2D.2

C

【解析】

.・.渐近线的方程是y/x,根据对称性，图象也过(4.2)

.,.2=-,4,组=,a=2b,

aa2

即它的离心率为

故选：C.

9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，

还提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.设Q、G分别是双曲

22

L_L=i

线a?b2(a>0,b>0)的左、右焦点，P是该双曲线右支上的一点,若仍尸11，氏01分别是^必尸产々的

“勾”“股”，且吐1|.仍22|=4而，则双曲线的离心率为()

A.企B.A/3C.2D.也

D

由双曲线的定义得吠11-仍41=2a,所以(仍"|-|P/I)2=4/,

2222

Bp|PF1|+|PF2|-2|PF1|.|PF2|=4a(由题意得PF「P”所以1。C产+伊4『=吗&y=4c,又

e=-=/5

\PFx\\PF2\=4ab所以4c2-8ab=4a2,解得b=2a,从而离心率a'

故选D.

22

L_2L=i

10.已知Q>0,则双曲线a2a的离心率等于()

A.*B.GC.2D.3

B

e工迎=§

根据离心率公式am'二

故选B.

11.若F(c,0)是双曲线。2-后=1(a>b>o)的右焦点，过F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近

12a2

线交于A,B两点，0为坐标原点，AOAB的面积为〒，则该双曲线的离心率e=()

5458

A.3B.3C.4D.5

C

如图所示：设zAOF=antana=-=tan2a=令-=芸，所以Bd=年白xOB=三去，所以』。胃8的

aOBa--o-OBa--o-a^-o-

面积为；xOBxAB=^=±x^xa^12(小一炉)=7ab,解得色=:,所以该双曲线的离心率e=；。

二7za*-o-a44

故选c

xy.

---------=1(Q>0,b>0)

12.已知双曲线,I：a2b2的一个焦点F与抛物线02：y2=2px(p>0)的焦点相同，它们交

于4B两点，且直线4B过点F,则双曲线g的离心率为(

A.*B.&C.避+1D.2

C

【解析】设双曲线U的左焦点坐标为F'(-C，O),由题意可得：F(c,O),c=匕则:

4（2,p）.B（2,-p）,即月（C.2C）,F（C,-2C）,

又:\AF'\-\AF\=2a,gF'l=J|F7T+="2。二+（2c）：=2、％,

据此有：2、3-2c=2a,即（在—l）c=a,

则双曲线的离心率：e=£=£=、，2+L

本题选择c选项一

xy

—......=1(Q>O,b>0)

13.已知双曲线/b2的右焦点为匕点人在双曲线的渐近线上,△04F是边长为2的等边

三角形（°为原点），则双曲线的方程为（）

x22

--/=1*2_匕=1

A.3B.3

2222

Xy%y一

C.412D.124

B

X2d=l（a>0,b>0）

双曲线b2的右焦点为f,点4在双曲线的渐近线上，A。47是边长为2的等边三角形(

。为原点),

b「b2c2-a2

„一=y3—=3-3

可得c=2,a,即a?

解得a=l，b=#

x2_/=1

双曲线的焦点坐标在球11,所得双曲线的方程为3

故选E

x2y2

——-=1(Q>0,b>0)

14.已知双曲线Qb2的左、右焦点分别为尸1/2,以线段尸1尸2为直径的圆与双曲线渐近线

的一个交点为(3,4),则双曲线的方程为

x2y2x2y2x2y2x2y2

---------=1---------=1---------=1----------=1

A.169B.34C.43D.916

A

b3b

—7?.y=-x4=—・•・a=4,b=3

由题意得c=(32+42=5r,因为交点(3,4)在渐近线。上，所以a，双曲线的方程为

22

土-匕=1

169，选A.

22

£_L=i

15.已知双曲线b2(a>0,b>0)的离心率为3,则其渐近线的方程为

A.2&y±x=0B.2Mx±y=0C.8x±y=0D.x±8y=0

B

【解析】

即

e=£a=3,r=3a

&-=c--a-=8a-

所以？=原=2也

即),=±(K=±2v2x

所以选B

16.已知双曲线由/-叮2=151>0,“>0)的离心率为2,则椭圆m/+ny2=i的离心率为()

-2丁」1

A.3B.3C.3D.3

A

【解析】

双曲线?nx:-ny:=lg[l为壬-4-=1,

mu

耳

可得离心率十=2

化简可得巾=3n,

则椭圆mx：+ny:=唧为空+，=1,

可得离心率为二/=J-,=11一：故选A.

22

XV

-------+——=1

17.方程m-2m+3表示双曲线,则实数m的取值范围是

A.-3〈加〈2B.-1</»<3

C.-3VZ4I).-3v加V0

A

x2y2

--------1-----------1

•.•方程m-2m+3表示双曲线,

.♦.(m-2)(m+3)<0,

解得_3</n<2,

.♦•实数皿的取值范围是(-3,2).

故选A.

xy

E:--------=1(。力>0)

18.过双曲线a2店的右焦点，且斜率为2的直线与E的右支有两个不同的公共点，则双曲

线离心率的取值范围是.

(14)

-<2/.b2<4a2/-a2<4a2e2<5ve>11<e<J5.

由题意得Q

x2y2

--------=l(a>0,b>0)

19.已知双曲线a?b2,其左右焦点分别为%,F2,若M是该双曲线右支上一点，满足

|明|

----\二3

,则离心率e的取值范围是.

(10

【解析】

设M点的横坐标为x：•需=3,M在双曲线右支上(x>n)

根据双曲线的第二定义，可得3e(x-^)=e4+?).-.ex=2n7X>a

ex>ea・•・2a>eat•-e<2ve>1A1<e<2

故答案为(L2L

x2y2

C:---=l(a>0,b>0)

20.直线切=2(久-巡)过双曲线a2b2的右焦点F且与双曲线C只有一个公共点，则

C的离心率为.

2

过双曲线C：«/=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±ax,

x2y2

2

因为过双曲线C：Q2b=1(a>0,b>0)的右焦点F的直线1：y=2(x-\⑤与c只有一个公共点，

b

所以a=2,0=2(c-J5),

又因为a2+b2=c2,

解得C=7'5,a=l,

c

所以e二吐45,

故非

x2y2,

------=l(b>Q>0)

21.设匕尸2分别是双曲线Q2b2左右焦点，P是双曲线上一点，APF/2内切圆被双曲线渐近

线所截得弦长不大于实半轴，且与涮相切，则双曲线离心率取值范围是

eE[2-y/3+2-^/5,+8）

【解析】根据题意，不妨设P在第一象限，分别为」二内切圆与dPAF：三边的切点，如图所示:

V2a=\PF1\-\PF:\=(\PM\+IMF)-(|P,V|+\NFZ\)=|Affi-\NFZ\=M&IT伍I

..M在双曲线上，故4「总巴内切圆圆心为(小1),半径为a

•・・圆心到渐近线以•一ay=0的距离是d=察=用

、o-+a-c

二弦长BC=2v'fl=-d-==2ali-三一

\c*~Yc-

依题得2a乒铲<a,即蜉必

.\b-a>-c

：.bz>(yc+a)

\ub2=c2-a-

.\c2—4yf5ac—8a2>0,同时除以a'得e'-4\Ge—8>0

：.e>2V5+2V5

故答案为「6[2、仔+2、石+8)

22

L_2L=i

22.双曲线916的一个焦点到一条渐近线的距离为

由题意，双曲线的一个焦点坐标为（°，5）,一条渐近线的方程为3x-4y=0,

|3x0-4x5|

由点到直线的距离公式得732+42

即双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为4.

V277

—=1（Q>0力>0）一

23.已知双曲线。b2的左焦点为尸,若过点F且倾斜角为3的直线与双曲线的左支有且只

有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为.

[2,+oo）

27r

因为过点F且倾斜角为行的直线与双曲线的左支有且只有一个交点，

--<tan—・,・—>J3.•・b2>3a2,c2-a2>3a2,e2>4,e>2.

所以Q3Q'