2021年中考数学13 图形的相似（解析版）(一)

五年真题一年模拟（解析版）

专题13图形的相似

一、挑选题

1.（2021临安）如图，在aABC中，DE//BC,QE分别与A8,AC订交于点。，E,若

AD=4,DB=2,则DE:BC的值为（）

【答案解析】4

2.（2021杭州）如图，在ZSABC中，D、E分别在A8边和AC边上，DEHBC,M

为BC边上一点（不与B、。重合），连结AM交DE于点N,则（）

ADANBD_MNDN_NEDN_NE

AAF-AEHN~~CE

【答案解析】C

3.（2021杭州）如图，己知直线a〃6〃c,直线，〃交直线a,b,c于点4,B,C,直

线n交直线a,b,c于点D,噜贝悟，）

42EF

13c2

A.-B.-C.一D.1

243

【答案解析】B

4.（2021杭州）如图，在△ABC中,点2E分别在边AB,AC上，DE//BC,若

BD=2AD,则（）

AD1AE1AD1DE1

A.---=-B.-----=—C.---——D.——

AB2EC2EC2BC2

【答案解析】B

5.（2021湖州）如图,已知在RtAABC中,NC=90。，AC=BC,AB=6,点P

是RtAABC的重心,则点P到AB所在直线的间隔等于（）

3

A.1B.V2C..D.2

2

B

(第6e)

【答案解析】A

6.（2021湖州）如图1,在等腰三角形ABC中，AB=AC=4,BC=7.如图2,在底边BC

上取一点Q,连结A2使得ND4C=NACD如图3,将△AC。沿着A。所在直线折

叠，使得点C落在点E处，连结8E,得至U四边形A8ED.则BE的长是（）

A.4B.-yC.372D.275

【答案解析】用来

【试题解答】

试题解析：只要证明得..=黑，只要求出8M、8。即可解决问题.

BE

'：AB=AC,：.ZABC=ZC,VZDAC=ZACD,：.ZDAC=ZABC,'：ZC=ZC,

：.l\C\DsXCBA、

.CA_CD，CZ)=¥，BD=BC-CD=^-,

••丽一正巧II

:NDAM=NDAC=/DBA,ZADM=ZADB,

11DM

•AD_DM„7一笔

：./XADM^^BDA,n一,MB=BD-DM=

BDDA33斗33X7

T7

332-16(

7X33

ZABM=ZC=ZMED,；.A、B、E、。四点共圆，:./ADB=NBEM,

ZEBM=ZEAD=NABD,

22

33~16331?

•AB=BD

"BM-BE"AB7X337=­­

4

考点:（1）、翻折变换（折叠问题）；（2）、四点共圆；（3）、等腰三角形的性质；（4）、

相似三角形的判断与性质.

7.（2021温州）如图，在矩形ABC3中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG,边

EF交CD于点、H,在边8E上取点M使BM=8C,作MN〃8G交CO于点L,交FG于

点M欧儿里得在《几何原本》中操纵该图说明了（0+8）（。—。）=〃一。2.现以点尸

为圆心，FE为半径作圆弧交线段。”于点P,连结EP,记的面积为Si,图中

阴影部分的面积为S2.若点A,L,G在同一向线上，则升的值为（）

A近R丘cV2DV2

2346

【答案解析】C

【试题解答】

【考点解析】

毗邻AG,由△AOLs/\GCL列出比例式一=—,整理可得然后分别用含b

CGCL

的式子示意出S2即可解决问题.

【详解】

解：毗邻4G,点A,L,G在同一向线上，

PF-a,AD-a-b,DL=a+b,CL-a-b,CG-b,

'CAD//CG,：.AADL^AGCL,

.ADDLa-ba+b

..----=——,即an--------------,

CGCLba-b

整理可得:a=3b,

PH=y/PF2-FH2=J(3b)2_『=26b，

Si=gxPHxEH=gx26bx(a-b)=2也b?,

222

S2=a—b=8b,

.S|_2®2_O

"s7-Sb2~~4~,

故选C.

8.（2021杭州）如图是一张矩形纸片，点E在48边上，把ABCE沿直线CE对折，使

点8落在对角线AC上的点尸处，毗邻。凡若点E,F,。在同一条直线上,AE=

2,则DF=,BE=

【答案解析】2V5-1

【试题解答】

【考点解析】

先根据矩形的性质得到NAOC=NB=NZME=90。，再根据折叠的性

质得到C产=5C,NCFE=NB=90。,EF=BE,然后根据全等三角形的性质得

到DW=AE=2；末了根据相似三角形的性质即可得8E的值.

【详解】

:四边形A8CD是矩形

AAD=BC,ZADC=ZB=ZDAE=90°

把ABCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点尸处

:.CF=BC,NCFE=ZB=90。,EF=BE

：■CF=AD,NCFD=90°

•••ZADE+NCDF=ZFCD+/CDF=90°

:•ZADE=/FCD

ZADE=ZFCD

在.ADE和&FCD中，,A。=FC

ZDAE=NCFD=90°

/.AADEWAFCTXASA）

DF=AE=2

,:ZAFE=NCFD=90。

ZAFE=ZDAE=90°

ZAEF^ZDEA

•••AAEF-ADEA

.AEEFAEEF

••--=----,即an---------------

DEAEDF+EFAE

•2EF

-2+EF-万

解得后产=6一1或£：尸=一百—1<0（不符题意，舍去）

则BE=EF=我-1

故答案为：2,V5-1-

【点睛】

本题考查了矩形的性质、折叠的性质、三角形全等的判断定理与性质、相似三角形的

判断与性质等常识点，根据矩形与折叠的性质，正确找出两个相似三角形是解题关键

三、解答题

1.（2021杭州）如图，在△ABC中，点£>,E,尸分别在AB,BC,AC边上，

DE//AC,EF//AB.

(1)求证：△BOES^EFC.

FC

①若BC=12,求线段BE的长；

②若△EFC的面积是20,求AA8C的面积.

aE,

【答案解析】(1)见解析；(2)①BE=4；②45

【试题解答】

【考点解析】

(1)由平行线的性质得出/。E8=NFCE,NDBE=NFEC,即可得出结论;

RFAp1

(2)①由平行线的性质得出会=1；=5，即可得出成果；

ECFC2

FC2

②先求出一K=易证△EFCSABAC,由相似三角形的面积比等于相似比的平方即

可得出成果.

【详解】

(1)证明：.；OE〃4C,

NDEB=NFCE,

,JEF//AB,

/.NDBE=ZFEC,

.,.△BDESDEFC；

(2)^.：@'：EF//AB,

,BE_AF_\

,,而一百一5'

;EC=BC-BE=12-BE,

・BE-1

"12-BE~2，

解得:BE=4；

.FC_2

••——.

AC3

'：EF//AB,

:.XEFCsXBAC,

...沁=(生)2=(2)2/

S44BCAC39

SAABC——5AEFC——x20=45.

44

2..(2021杭州)如图，在△ABC中，点、D,笈分别在.边AB,AC上，乙4EZXNB,

Anr)p

射线4G分别交线段OE,BC于点F,G,且一=——.

ACCG

An1AT

(1)求证:△AOFSA4CG；(2)若一=-,求——的值.

AC2FG

【答案解析】（1）、证明过程见解析;⑵、1.

【试题解答】

试题分析：⑴、欲证明△ADFSACG,由稔若可知，只要证明/由NC即可；⑵、利用相似手形

的性质得到，苫，由此即可证明.

AD

试题解析：⑴、，4诙/DAE,.-.ZAD^ZC,：.•.△ADF<^AACG.

G••AAne八八A”,AD_AFp・.AD_1•"尸=_1,..黑=1

⑵',△ADFS&CG,,.有q又•/Z-7d2

考点：相似三角形的判断与性质

3.（2021杭州）如图，在锐角三角形A8C中，点£>,E分别在边4C,A8上，AGLBC

于点G,AF_LDE于点F,ZEAF=ZGAC.

(1)求证：△AOEs^ABC；

⑵若40=3,AB=5,求二^的值.

AG

3

【答案解析】（1）证明见解析（2）

5

【试题解答】

试题解析：（1）因为AGLBC,AFLDE,所以NAFE=/AGC=90。，从而可证明

ZAED=ZACB,进而可证明△ADE^^ABC；

ADAEAFAE

(2)△ADE^/\ABC,——=——,又易证△E4FS/\C4G,所以——=——，从而

ABACAGAC

可求解.

试题解析：（1）'：AG±BC,AF±DE,

N”E=NAGC=90°,

,/NEAF=NGAC,

：.NAED=NACB,

,/NEAD=NBAC,

：.△AOEs/\ABC,

（2）由（1）可知：△AQESAABC,

.ADAE3

"AB-AC~5

由（1）可知：/APE=/AGC=90。，

ZEAF=ZGAC,

：./\EAF^/\CAG,

.AFAE

"AG-AC'

空3

AG=-

5

考点：相似三角形的判断

4.（2021台州）如图，在△ABC中，NACB=90。，将△ABC沿直线AB翻折得至以A8D,

毗邻CQ交AB于点M.E是线段CM上的点，毗邻BE.F是△BDE的外接圆与A。

的另一个交点，毗邻EF,BF,

（1）求证:^BEF是直角三角形；

（2）求证：△BEFsABCA；

（3）当A8=6,8C=,〃时，在线段CM正存在点E,使得EF和AB彼此平分，求加的

值.

【答案解析】(1)见解析；(2)见解析；(3)2小

【试题解答】

【考点解析】

(1)想方式证明NBEF=90。即可解决问题(也可以操纵圆内接四边形的性质直接证明).

(2)根据两角对应相等两三角形相似证明.

(3)证明四边形AF8E是平行四边形，推出内=工8。=!叫EF=m,由△ABCsaCBM,

22

ACBC

可得8M=n"?2_,由推出一=——，由此构建方程求解即可.

6EFBE

【详解】

(1)证明：由折叠可知，ZADB=ZACB=90Q

・.•NEFB=NEDB,NEBF=/EDF,

：./EFB+/EBF=NEDB+/EDF=NADB=9。。,

：.NBEF=90。,

•••△BEF是直角三角形.

(2)证明：°;BC=BD,

：.NBDC=NBCD,

・.•NEFB=NEDB,

：.ZEFB=ZBCD,

\'AC=AD,BC=BD,

：.AB±CD,

：.NAMG90。，

ZBCD+AACD=ZACD+ZCAB=90°,

：./BCD二/CAB,

：.ZBFE=ZCAB,

NACB=/FEB=90。,

：./\BEF^ABCA,

(3)设交AB于J.毗邻AE,如下图所示:

・・・EF与AB彼此平分，

・•・四边形AbBE是平行四边形，

・•・ZEM=ZFEB=90°,即EFA.AD,

BDLAD,

:・EF〃BD,

・.・AJ=J8,

:・AF=DF,

1ccm

：.FJ=-BD=—

22

.・・EF=m

,：AABCS/\CBM

：.BC:MB=AB:BC

tn2

・・.BM=——，

6

,/△BEJSABME,

：.BE:BM=BJ:BE

nt

8E=正’

△BEFSABCA,

•AC_BC

"~EF~~BE

yj36-m2_m

即mm

&

解得加=26（负根舍去）・

故答案为：25

【点睛】

本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判断和性质平行四边形的判断和

性质等常识，解题的关键是学会操纵参数构建方程解决问题，属于中考压轴题・

模拟题

1.如图，一张矩形纸片A8C。的长AB=a,宽BC=b.将纸片对折，折痕为所得

矩形AFE。与矩形ABCC相似，则（）

4.2:1B.41-.1C.3:V3D.3:2

答案8

2.如图，平行四边形ABCZ）中，AB=9,AD=6,点、E,尸分别在AO,AB上，若DE=3,

△BCFS^DCE,

则BF=()

A.1B.2C.4D.5

答案B

3.下列前提不能判断△ADBsAABC的是（）

D

A.ZABD=ZACBB.NADB=NABCC.AB2=AD'ACD.——=——

ACBC

答案。

4.如图，在。ABC。中，点E是边AO的中点，EC交对角线8。于点F,则EF：FC

等于（）

A.3：28.3：1C.1：1D.1：2

答案。

5.如图，AB是半圆的直径，。是圆心,C是半圆外一点，CA、分别交半圆于£＞、

E,AB=\,则cos/C等于（）

A.DEB.ACC.CED.BC

答案A

6.如图，点G是AABC的重心，连结AG并耽误交BC于点。，过点G作E尸〃AB交BC

于瓦交AC于F,若EF=8,那么48=.

答案12

7.如图，AC与80交于点E,F是8c上的点.且AB〃CO〃EF,若AB=10,8=15,

则EF的长为.

答案6

8.如图，在直角坐标平面xoy中，点A坐标为（3