间断随机变数及其常用的机率分配课件

6間斷隨機變數及其常用的機率分配學習目的1-1本章結構IntroductiontoProbabilityDistributionsRandomVariableRepresentsapossiblenumericalvaluefromanuncertaineventRandomVariablesDiscreteRandomVariableContinuousRandomVariableCh.6Ch.7ProbabilityDistributionsContinuous

ProbabilityDistributionsBinomialHypergeometricPoissonProbabilityDistributionsDiscrete

ProbabilityDistributionsNormalUniformExponentialCh.6Ch.7隨機變數的意義與種類DiscreteRandomVariablesCanonlyassumeacountablenumberofvaluesExamples:Rolladietwice LetXbethenumberoftimes4comesup (thenXcouldbe0,1,or2times)Tossacoin5times. LetXbethenumberofheads(thenX=0,1,2,3,4,or5)隨機變數間斷隨機變數Experiment:Toss2Coins.LetX=#heads.TTDiscreteProbabilityDistribution4possibleoutcomesTTHHHHProbabilityDistribution012XXValue

Probability01/4=0.2512/4=0.5021/4=0.250.500.25

Probability

連續隨機變數單一間斷隨機變數的機率分配傳真機故障的機率銅板出現正面的次數與相對次數銅板的機率分配信用卡持有數信用卡持有數量的機率分配信用卡持卡數的機率分配全國大學生擁有電子郵件帳號個數，其機率分配如下：大學生每人擁有電子郵件帳號個數x(隨機變量)f(x)(隨機函數)F(x)(累加函數)10.04680.046820.17070.217530.23640.453940.28310.73750.17880.915860.04290.95877個以上0.04131期望值=3.6703變異數=1.9538離散機率分配例子單一間斷隨機變數的機率分配DiscreteRandomVariable

SummaryMeasures

ExpectedValue(ormean)ofadiscretedistribution(WeightedAverage)

Example:Toss2coins, X=#ofheads, computeexpectedvalueofX:

E(X)=(0x0.25)+(1x0.50)+(2x0.25)=1.0XP(X)00.2510.5020.25VarianceofadiscreterandomvariableStandardDeviationofadiscreterandomvariable where:

E(X)=ExpectedvalueofthediscreterandomvariableX Xi=theithoutcomeofX

P(Xi)=ProbabilityoftheithoccurrenceofXDiscreteRandomVariable

SummaryMeasuresExample:Toss2coins,X=#heads, computestandarddeviation(recallE(X)=1)DiscreteRandomVariable

SummaryMeasuresPossiblenumberofheads=0,1,or2信用卡持有數的以下累加機率分配表信用卡的機率分配單一間斷隨機變數的機率分配標準化隨機變數表標準化對話方塊單一間斷隨機變數函數的期望值與變異數單一間斷隨機變數函數的期望值與變異數單一間斷隨機變數函數的期望值與變異數離散分配二項分配卜瓦松分配超幾何分配二項分配(BinomialDistribution)重複執行n次獨立的實驗實驗的可能結果只有兩種﹕成功和失敗已知每次實驗成功的機率固定為p隨機變數x表示n次實驗中成功的次數即稱x為二項隨機變數BinomialProbabilityDistributionAfixednumberofobservations,ne.g.,15tossesofacoin;tenlightbulbstakenfromawarehouseTwomutuallyexclusiveandcollectivelyexhaustivecategoriese.g.,headortailineachtossofacoin;defectiveornotdefectivelightbulbGenerallycalled“success”and“failure”Probabilityofsuccessisp,probabilityoffailureis1–pBinomialProbabilityDistributionConstantprobabilityforeachobservatione.g.,ProbabilityofgettingatailisthesameeachtimewetossthecoinObservationsareindependentTheoutcomeofoneobservationdoesnotaffecttheoutcomeoftheotherTwosamplingmethodsInfinitepopulationwithoutreplacementFinitepopulationwithreplacementPossibleBinomialDistributionSettingsAmanufacturingplantlabelsitemsaseitherdefectiveoracceptableAfirmbiddingforcontractswilleithergetacontractornotAmarketingresearchfirmreceivessurveyresponsesof“yes,Iwillbuy”or“no,Iwillnot”Newjobapplicantseitheraccepttheofferorrejectit二項機率分配RuleofCombinationsThenumberofcombinationsofselectingXobjectsoutofnobjectsis

where: n!=(n)(n-1)(n-2)...(2)(1) X!=(X)(X-1)(X-2)...(2)(1) 0!=1(bydefinition)P(X)=probabilityofXsuccessesinntrials, withprobabilityofsuccessponeachtrialX=numberof‘successes’insample,(X=0,1,2,...,n)n =samplesize(numberoftrials orobservations)p =probabilityof“success”P(X)nX!nXp(1-p)XnX!()!=--Example:Flipacoinfourtimes,letx=#heads:n=4p=0.51-p=(1-0.5)=0.5X=0,1,2,3,4BinomialDistributionFormula二項隨機實驗的樹枝圖賞鯨活動並不能向遊客保證每一次出海都能看的到鯨魚，根據經驗豐富的船長表示，能夠看到鯨魚(成功)的機率是0.1,只看得到海豚或其他魚類(失敗)的機率為0.9，如果此船某年要出船300趟。由於每次出海賞鯨成功與否並不會影響下一次出海結果，因此這些試驗相互獨立。試驗次數n=300，成功機率p=0.1，所以可以算出在一年船期中，預期這艘賞鯨船可以成功看到鯨魚的次數為E(X)=300×0.1=30次，變異數為Var(X)=300×0.1×0.9=27二項分配明新有40﹪的畢業生會踏入社會工作，假設畢業生可被重複的抽選。今從中隨機選出15個畢業生，則恰有10個是社會新鮮人的機率為何？至多有10個執政黨員的機率？已知n=15，p=0.4，1-p=0.6，x~b(15，0.4)(1)求個別機率：(2)求累積機率：二項分配拜訪3個顧客2個會購買的機率二項分配二項機率分配圖Example:

CalculatingaBinomialProbabilityWhatistheprobabilityofonesuccessinfiveobservationsiftheprobabilityofsuccessis0.1? X=1,n=5,andp=0.1n=5p=0.1n=5p=0.5Mean0.2.4.6012345XP(X).2.4.6012345XP(X)0BinomialDistributionTheshapeofthebinomialdistributiondependsonthevaluesofpandnHere,n=5andp=0.1Here,n=5andp=0.5BinomialDistributionCharacteristicsMeanVarianceandStandardDeviationWhere n=samplesize p=probabilityofsuccess (1–p)=probabilityoffailureUsingBinomialTablesn=10x…p=.20p=.25p=.30p=.35p=.40p=.45p=.50012345678910……………………………0.10740.26840.30200.20130.08810.02640.00550.00080.00010.00000.00000.05630.18770.28160.25030.14600.05840.01620.00310.00040.00000.00000.02820.12110.23350.26680.20010.10290.03680.00900.00140.00010.00000.01350.07250.17570.25220.23770.15360.06890.02120.00430.00050.00000.00600.04030.12090.21500.25080.20070.11150.04250.01060.00160.00010.00250.02070.07630.16650.23840.23400.15960.07460.02290.00420.00030.00100.00980.04390.11720.20510.24610.20510.11720.04390.00980.0010109876543210…p=.80p=.75p=.70p=.65p=.60p=.55p=.50xExamples:n=10,p=0.35,x=3:P(x=3|n=10,p=0.35)=0.2522n=10,p=0.75,x=2:P(x=2|n=10,p=0.75)=0.0004應用二項機率分配來辨別某些人言論的真假

有位小姐宣布，她可以判別奶茶中的牛奶、紅茶哪一樣東西先倒進茶杯中。這位小姐的宣稱，並不表示她能夠百分之百的加以判斷而只是錯的時候少，對的時候多，換句話說，她的判斷並非完全出於猜測。應用二項機率分配來辨別某些人言論的真假為了試驗這位小姐是否吹牛，就準備了ｎ組茶杯，每組茶杯有一杯是茶先倒進去，而另一杯是牛奶先倒進去，且設ｎ組茶杯的安排無任何關連。則依二項機率分配知，這位小姐正確地分辨出其中x組的機率為

其中p表這位小姐能正確分辨每組的哪一杯是哪一樣先倒入的機率。應用二項機率分配來辨別某些人言論的真假假若這位小姐能在10組奶茶中至少判別8組，是否可認為她所言不虛？事實還很難判定！若這位小姐很老練，譬如假設p=0.85，則P(X≧8)=0.82，也就是說，這位小姐證實自己所言的機會很大；若這位小姐僅靠運氣、猜測，即p=0.5，則P(X≧8)=0.055，換句話說，這位小姐能證實自己所言的機會很小。哪一位運氣不好在日常生活中常常會遇到某些大家都不願做的事情，但是又不得不去做，因此我們會想出某些奇特的方法，來決定哪一位運氣不好的必須去做例如大家同時丟銅板，若其中有一人的結果與其他人的結果都不相同，則此人即為算輸的人，必須去做大家不願做的事，譬如出錢請大家吃飯！哪一位運氣不好設N個人同時丟同樣的銅板，且設彼此間不互相影響。若每個銅板出現正面的機率是p，試求輸的人出局的機率為何？解：N的銅板中若有(N-1)個出現正面或(N-1)個出現背面，輸的人出局的遊戲就結束。

哪一位運氣不好4個人玩“輸的人出局”的丟銅板遊戲，如前p=1/2，試求在第n次結束遊戲的機率為何？且設每次的遊戲不互相影響。解:每次遊戲中只有兩種可能的結果出現，即結束遊戲與繼續遊戲，結束遊戲的機率為1/8，而繼續遊戲的機率為7/8，所謂在第n次結束遊戲，也就是最先的(n-1)次都失敗，一直到第n次才成功，因此第n次結束“輸的人出局”的遊戲的機率為超幾何實驗TheHypergeometricDistribution“n”trialsinasampletakenfromafinitepopulationofsizeNSampletakenwithoutreplacementOutcomesoftrialsaredependentConcernedwithfindingtheprobabilityof“x”successesinthesamplewherethereare“K”successesinthepopulation超幾何分配從52張紙牌中抽出10張而包含4張黑桃的機率為何？超幾何分配Usingthe

HypergeometricDistribution3differentcomputersarecheckedfrom10inthedepartment.4ofthe10computershaveillegalsoftwareloaded.Whatistheprobabilitythat2ofthe3selectedcomputershaveillegalsoftwareloaded?

Theprobabilitythat2ofthe3selectedcomputershaveillegalsoftwareloadedis0.30,or30%.Poisson分配在任何兩個等長的區間內，事件發生的機率相同在任何區間內事件的發生與否，與其他任何區間內事件始否發生無關，相互獨立。實例：某段時間內，高速公路上的車禍；實例：書本一面之內的錯字個數，都屬Poisson分配。Poisson,Simeon-Denis生於西元1781年於法國的皮蒂維埃卒於西元1840年於法國-巴黎Poisson是一位數學家，力學家和物理學家，在科學上的著作量很大，內容包含數學、物理與天文Poisson分配的用途Poisson分配是品質管制的利器，它可以幫助我們決定生產過程是否出了毛病。Poisson分配還有種種的用途：放射性物質的蛻變、細胞間因受x光照射而引起的染色體交換次數、細菌和血球的計數、交通事故數及死亡率等等莫不遵行Poisson分配。其實，無論在自然科學、在工業、在農業、在商業、在醫藥、在交通、在社會或在軍事上無不可找到Poisson分配的應用。ApplythePoissonDistributionwhen:YouwishtocountthenumberoftimesaneventoccursinagivenareaofopportunityTheprobabilitythataneventoccursinoneareaofopportunityisthesameforallareasofopportunity

ThenumberofeventsthatoccurinoneareaofopportunityisindependentofthenumberofeventsthatoccurintheotherareasofopportunityTheprobabilitythattwoormoreeventsoccurinanareaofopportunityapproacheszeroastheareaofopportunitybecomessmallerTheaveragenumberofeventsperunitis(lambda)Poisson(泊松)分配PoissonDistributionFormulawhere: X=numberofeventsinanareaofopportunity

=expectednumberofevents e=baseofthenaturallogarithmsystem(2.71828...)

PoissonDistributionCharacteristicsMeanVarianceandStandardDeviationwhere=expectednumberofevents一到假日便人潮擁擠的捷運動物園站，為了提供乘客更好的服務，想了解捷運票卡刷卡故障的情形作為日後改進參考。在尖峰時間故障事件平均每小時會出現2件，試問某星期日早上9:00~11:00的尖峰期，發生4件以上票卡刷卡故障的機率多少？沒有票卡故障的機率又是多少？沒有票卡故障：發生四件以上：Poisson(泊松)分配某航空公司每5年會發生一起飛安意外，那麼10年內都沒有掉過一架飛機的機率是多少？又10年內發生三起以上不幸的機率是多少？(1)沒掉飛機

(2)三起以上1-F(2)=1-0.677=0.323Poisson(泊松)分配UsingPoissonTablesX0.100.200.300.400.500.600.700.800.90012345670.90480.09050.00450.00020.00000.00000.00000.00000.81870.16370.01640.00110.00010.00000.00000.00000.74080.22220.03330.00330.00030.00000.00000.00000.67030.26810.05360.00720.00070.00010.00000.00000.60650.30330.07580.01260.00160.00020.00000.00000.54880.32930.09880.01980.00300.00040.00000.00000.49660.34760.12170.02840.00500.00070.00010.00000.44930.35950.14380.03830.00770.00120.00020.00000.40660.36590.16470.04940.01110.00200.00030.0000Example:FindP(X=2)if=0.50GraphofPoissonProbabilitiesX=0.50012345670.60650.30330.07580.01260.00160.00020.00000.0000P(X=2)=0.0758

Graphically:=0.50PoissonDistributionShapeTheshapeofthePoissonDistributiondependsontheparameter:=0.50=3.00二項分配與泊松分配二項分配 泊松分配

二項分配與泊松分配事件機率1-1二元間斷隨機變數一般化的聯合機率分配表ExpectedValueTheCovarianceThecovariancemeasuresthestrengthofthelinearrelationshipbetweentwovariablesThecovariance:where: X=discretevariableX Xi=theithoutcomeofX Y=discretevariableY Yi=theithoutcomeofY

P(XiYi)=probabilityofoccurrenceofthe

ithoutcomeofXandtheithoutcomeofYComputingtheMeanforInvestmentReturnsReturnper$1,000fortwotypesofinvestmentsP(XiYi) Economiccondition PassiveFundXAggressiveFundY0.2 Recession -$25 -$2000.5 StableEconomy +50 +600.3 ExpandingEconomy +100 +350 InvestmentE(X)=μX=(-25)(0.2)+(50)(0.5)+(100)(0.3)=50E(Y)=μY=(-200)(0.2)+(60)(0.5)+(350)(0.3)=95ComputingtheStandardDeviationforInvestmentReturnsP(XiYi) Economiccondition PassiveFundXAggressiveFundY

0.2 Recession -$25 -$2000.5 StableEconomy +50 +600.3 ExpandingEconomy +100 +350

InvestmentComputingtheCovarianceforInvestmentReturnsP(XiYi) Economiccondition Passi