随机分析补充知识

随机分析补充知识第1页，课件共42页，创作于2023年2月第一节二阶矩过程一、定义则称为二阶矩过程。Home第2页，课件共42页，创作于2023年2月解由于和V都服从正态分布，所以也具有正态分布，例1其中和V是相互独立且都服从正态分布N（0，1）的随机变量，且Home第3页，课件共42页，创作于2023年2月二、性质二阶矩过程的协方差函数一定存在证由许瓦兹不等式得故即二阶矩过程的协方差函数存在注Home第4页，课件共42页，创作于2023年2月说明在讨论二阶矩过程中，常假定均值为零，这样相关函数的形式和协方差函数的形式相同。返回Home第5页，课件共42页，创作于2023年2月第二节均方极限一、均方收敛定义1设随机变量序列{，n=1,2,…}和随机变量X都存在二阶矩，如果则称{}均方收敛于X，或称X是{}的均方极限记作或简记为Home第6页，课件共42页，创作于2023年2月二、均方收敛准则定理1柯西准则则均方收敛的充要条件为证只证必要性因为均方收敛于X，所以有Home第7页，课件共42页，创作于2023年2月又由所以故Home第8页，课件共42页，创作于2023年2月注等价存在其说明随机变量序列均方收敛的充要条件是它的相关函数列按普通极限意义收敛。三、均方收敛性质性质1若则证由许瓦兹不等式得因故得证注当均方收敛于X时，的期望收敛于X的期望Home第9页，课件共42页，创作于2023年2月性质2若则证由许瓦兹不等式得因故得证Home第10页，课件共42页，创作于2023年2月性质3若则对任意常数a、b都有证因为故得证Home第11页，课件共42页，创作于2023年2月性质4若则注因=证于是即Home均方极限的唯一性第12页，课件共42页，创作于2023年2月解由Cauchy准则，在级数收敛的条件下，可得均方收敛。例2Home第13页，课件共42页，创作于2023年2月第三节均方连续性均方收敛定义1即则称在点t均方连续。一、均方连续称在时均方收敛于Home第14页，课件共42页，创作于2023年2月二、均方连续准则定理1则证充分性则所以Home第15页，课件共42页，创作于2023年2月再证必要性又由均方收敛性质2得定理2证由定理1知，Home第16页，课件共42页，创作于2023年2月再由均方收敛性质2，得即Home第17页，课件共42页，创作于2023年2月定理3则证由均方连续定义从而说明在均方连续的条件下，均值运算与极限运算的次序可以互换。但要注意，上式左边为普通函数的极限，而右边表示均方收敛意义下的极限。Home第18页，课件共42页，创作于2023年2月第四节均方导数一、均方导数的定义定义1如果均方极限存在则称在t处均方可微，并将此极限记作即有或Home第19页，课件共42页，创作于2023年2月二次均方可微二阶均方导数定义2广义二次可微存在Home第20页，课件共42页，创作于2023年2月二、均方可微准则定理1证由均方收敛准则知的充要条件是存在而存在Home第21页，课件共42页，创作于2023年2月三、均方导数的性质性质1性质2Home第22页，课件共42页，创作于2023年2月性质3性质4证1设在t处均方可微，则在t处均方连续。第23页，课件共42页，创作于2023年2月其它类似可证性质5Home第24页，课件共42页，创作于2023年2月四、1．证注均方导数的均值等于均值函数的导数。而为普通意义下的确定性函数，故可用分析的方法求导。Home第25页，课件共42页，创作于2023年2月2.证Home第26页，课件共42页，创作于2023年2月注求偏导数得到。3．证明Home第27页，课件共42页，创作于2023年2月即同理可得又因故Home第28页，课件共42页，创作于2023年2月注随机过程的相关函数求两次混合偏导数。例1证明返回Home第29页，课件共42页，创作于2023年2月第五节均方积分一、均方黎曼可积定义1分割作和式如果则称并称记作即Home第30页，课件共42页，创作于2023年2月二、均方可积准则定理1即黎曼积分存在证由均方收敛准则可知，即存在Home第31页，课件共42页，创作于2023年2月如果上式极限存在，其极限值就是黎曼积分Home第32页，课件共42页，创作于2023年2月定理2证明由定理1知，三、均方积分的性质性质1Home第33页，课件共42页，创作于2023年2月性质2其中性质3Home第34页，课件共42页，创作于2023年2月性质4性质5（均方可积的唯一性）四、均方积分的数字特征1．随机过程积分的期望Home第35页，课件共42页，创作于2023年2月证注1注2Home第36页，课件共42页，创作于2023年2月2．均方积分的方差及协方差函数则证Home第37页，课件共42页，创作于2023年2月注同样可以证明3．均方积分的自相关函数及互相关函数则Home第38页，课件共42页，创作于2023年2月证只证明其他类似可证Home第39页，课件共42页，创作于2023年2月例解在定义中可取则所以