转角汇流条电阻的仿真计算

转角汇流条电阻的计算【题目：转角汇流条电阻的计算】转角汇流条几何参数如下：a=1m；d=1m；c=0.5m；b=0.5m；e=10mm按二维电流场考虑。1、 设注入电流的两个端面的电压为1V；2、 采用有限差分方法，编写程序，计算汇流条电流分布，绘制电流线和等电位线；说明如何验证程序的正确性和提高计算准确度的方案；3、 如不采用数值计算方法，请估算该汇流条电阻，比较估算方法结果和有限差分方法的结果，说明两种结果差异的原因。估算方法可参考附件中文章，或者自行提出估算方法。aa【解答】1、边值问题分析：1）、三维问题转换为二维问题：可建立如下坐标系。由于题中所给数据为：a=1m；d=1m；c=0.5m；b=0.5m；e=10mm。a、b、c、d均至少为e的50倍，因此可忽略电势在导体厚度方面的变化，即可将此题放在图中黄色区域（x-y平面）的二维平面上求解。S1S1S5S5Y=8X106S/mS2steelplate-AIsteelplateS4S3d2）边界条件的分析:本题求解的是恒定电流场，考虑到导体本身的特性以及题中所给的电流流向，易得边界条件如下:血=0 （S2、S3、S5、S6上）;dn3）场域内部方程:求解区域是导体内部的区域，无自由电荷分布，故易得求解方程为:V2甲=0（导体内部区域）2、有限差分法求解:在用matlab求解该题中的电阻时，可以采用拉普拉斯方程的5点差分法格式进行有限差分求解。将上述的L型区域划分成网格，列写满足上述边值条件的差分方程即可求解。各种情况下的差分方程如下:1）在导体内部的情况:TOC\o"1-5"\h\z40 2，如上所示为导体内部的情况，此时，采用差分法进行计算，有:1/ 、甲o=4（甲】+甲2+甲3+甲4）2）在边界上的情况：10 2n如上所示为在导体的边界上的情况，因为这样的点都是满足第二类边界条件的点，即位于平面S2、S3、S5、S6上的点，此时，采用有限差分法进行计算，有：1/ .、q七的+2p+9）

041 2 33）在拐角处的情况:如上图所示即为在拐角处的情况，即图中L形导体的“凸点”，“凸点”的两条边都是边界，由于边界处的法向导数都为0,可知边界两侧的电势分布相同，则其5点差分方程为:1 -、1, 、甲o=4（2%+2*）=2*+%）3、利用matlab进行有限差分法求解:（1）直接使用矩阵求解:使用matlab来进行以上描述的有限差分法求解，我们可以使用如下的矩阵进行求解:白］

:中白］

:中L7^nJ(A+I)•:+Bn: =-A-1B其中，满足第一类边界条件时，设置A+I矩阵中相应的行向量为0,B矩阵为该对应点的电位值，易知这样的甲满足第一类条件；满足第二类边界条件时，（A+I）矩阵中对应的行向量应按照以上描述对应的设置为1/4和1/2,B矩阵对应的向量均为0；在导体内部的点，只需将（A+I）矩阵中将各行向量按以上描述设置为1/4，将B矩阵的行向量全设为0即可。这样，设置好A、B矩阵后，即可按照以上公式直接求出各点的甲。这样求解并做出电流的分布如下图:

等位线与场强图像10.90.80.70.60.60.40.30.20.1等位线与场强图像10.90.80.70.60.60.40.30.20.10壬.±T+二:l_Lmt「FT二-^4ibr仁二一二rr一二二 一『m—4—L七二一产二r二Tttt二r-trE二_一E二二TT4+-Prr5—c二一二_|lr二UE一-,r二二4T\x/\.Kxx.m¥A二二二1:/二二匚t-;r'::』--t„|1——十—rJb-\、lb-、-<、々Kx/、j I\VA\、flrF二二二v_\_Y、.Y、>-k\x\、>•■;、'/.<■、FF一一-Ji、i-\y-\\y\A^x\X^Ffr，二广--X\f二二「T+tXFF二二二二二二-三二二二一二TTT4-H-4■+十

tr0 0.2 0.4 0.6 0.8查看上端面的电场强度Ey,基本位于0.7948和0.8124之间，取各点的算术平均值，得Ey=0.7819V/mo降本题中所给的参数y=8x106S/m2,h=10mm代入，可得：I=E■（y,h■L）=—3.128XlOM（流入）UIVR=-= ~~77r-r=3.197x10-sfl=31.970I3.128x104>l（2）使用迭代的方法求解：迭代的方程正是在第2点“有限差分法求解”中所阐述的各种情况下的差分方程。根据电位点的位置使用相应的差分方程，进行迭代计算。计算时，取上边界点的电位初值为IV,其它各点电位初值为0。每迭代一次，求出各点的两次计算结果之差，取其中最大的值作为误差值，当误差值小于所设误差值上限时，认为精度已达要求，迭代结束。电阻的求法与矩阵求解中的相同，不再详述。下面为不同网格大小情况下的电流线和等电位线图，误差上限取为10-6,如图所示:

网格大小为0.033x0.033m2，即划分为30x30网格:等位线与场强图像0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.6 0.7 0..8 0.9 1求得电阻值为32.985Q网格大小为0.02X0.02^2，即划分为50X50网格:求得电阻值为32.521Q网格大小为0.014X0.014m2，即划分为70X70网格:

rlooT-王二1-1trL-TXI.匚全x'<一>x\\、、VrlooT-王二1-1trL-TXI.匚全x'<一>x\\、、V刊vs/s二•_-』二一一-_1一一一二-pi-L」-3二一一一_1l一。一一一-11iLIZL」jj二--TT~rt1*滓-'-导壬苍名Az£24w<事、二Z二zH匚-『『1■>wfx、?一£1必u-二-tTrrV■■-<、如我、>、漓■_•?£『二>£二二f:…%士、z二『占二rh-tb七J--iMrd:.fxr、Ar『I■.二r-二I■二『rr蛆匕.，2v\\-x/y、％<%2JWFT-f.jJ『『『,.£MS^rE?“「r±厂卜工J-十--+^^了+-.fvvv』3vxf\.T^^->,-L-S\v^:r-，Lr.■-、■*■■*■fzF■>■.,.■..'-f二二「二I L—■Tl・lrJL・！r-Bi_r"・JI-\.^\>L-r.,-.r.■■■wxs%fKrXJ■一>.-『二『rrLn-FH-ln-^lLLIhL-L?1il«sl>■■1■I—1.1^stXXhl-.■V、'>:一...■■■■.!,、、•J*二--lsF」『「「 …、冬」：.<■?*十•->aejst1ULSSI■■11—1>\X\M:;1.七**\\■>『F**>'4fz二“L:-1|-1.|.4---\十\--亏-|-、--Jl>v、、\.飞.■"■||、7、女、\.\\-<'-\-<.，『%-..、^『二)z.-inrhII—I!■1■I!la—LI1—^"?—l!ii...^T■.1..»■■■■■.nLX.hX\.».■.».■-.M-I*l"Jf『+--!_!1LIIs・•Jj-rJUr气％>>.『Im-*-、^■.、■■■.■■■.气，>《r?-rIII-I ■-・-!•-，--{%.I-、-.-■¥■、.■•L、wx--\xX&J>%2二rL-hlIIL,iL-L-!—————I)-■,〜-;-、wxw二-'{艺7r』JJII11-4!十—T-I-T-—I-I—11II—11_rw-VH%%，『"j*—IIJI——J-I1I— -,_r-F4十L.LLI .，"Q 』 T.;r.—AIII! I 1 丁」！；！-+-I-十:一I-~I-111—LIb\kbnJ"J"气*J^LIIIH——ltFLiII^!-+--+-*一IIIII!—^!—I—»——u—J!1^.—1—、％、\x!I-lir!4!Iii-l-;J!jsm!Ii"i、li.~*"™**L!-f，,、&•■0 0.1 0.2 0.3 D.4 D.5 0.6 0.7 0.0 0.9 1求得电阻值为32.267。对比以上各图可以看出，随着网格越来越小，划分的格点越来越多，等电位线越来越光滑，而且边界处等电位线垂直于边界的情况越来越好，实际上计算结果越来越接近于实际情况。而电阻值在逐渐减小，为了判断其趋势及最终的收敛情况，也如矩阵方法中进一步减小网格面积，增大网格数进行求解，结果如下：网格数30X3050X5070X70100X100200X200300X300电阻值32.985。32.521。32.267。31.969。30.876。结果发现，在一定的范围内，电阻的计算值不收敛。分析有两个可能的原因，首先是网格的划分仍然不够细，但是迭代法计算较慢，在网格数为300X300时计算了半个小时才得到结果，因此没有继续增大网格数，因此未能找到收敛值；另一个原因可能是迭代法本身的算法存在一定的误差，虽然可以控制误差的上限，但并不能完全消除误差，特别是当划分网格数较多时，计算结果较精确，此时误差的影响反而越来越大，因此在计算电阻值时造成了最终的结果不能收敛于某个固定值。为此取网格数为中间值的四种情况：50X50，70X70，100X100，200X200，计算其电阻的均值作为迭代法的电阻值，为31.91。。4、结果分析：（1）首先进行等电位线与电流线的分析，根据所给出的电流场情况，电流线及等电位线应关于y=x直线对称，从矩阵求解与迭代求解结果可以看出，二者均满足这一点。同时在边界点，等电位线垂直于边界，这一点在划分点数较多，精度较高时，也是满足的。使用PDEtool进行求解，得到结果如下图所示。对比矩阵求解、迭代求解与PDEtool求解结果，可以看到三者等位线分布情况基本相同，对比几个重要位置的电场线（电流线）方向，也基本一致。因此可以验证差分方法得到的结果是正确的。当然，由于差分方法本身是以差分代替微分进行求解，必然存在一定的误差。而在迭代方法中，由于电位是从某一初值逐步迭代计算得到，也不可能得到准确结果。为了减小计算误差，首先应当减小网格面积，增大划分网格数，这样差分可以更加接近于微分从而得到更加精确的结果。另一方面，对于迭代法来说，可以减小迭代的误差上限，增大迭代次数，从而保证结果的精度。

(2)下面分析电阻值的计算。参考文献中给出了一种对宽度相等的L型薄导体的区域二阶划分方式，可以用于电阻阻值估算，即将-L(2)下面分析电阻值的计算。0.U0.2Z0.6Z0.1ZR=三+二o3ye2yeln2R0.U0.2Z0.6Z0.1ZR=三+二o3ye2yeln2R=18+兀ye2eln2d36兀R=——+ ye2yeln2八14兀R=T 3〃e 2yeln—3oR=2.53334041 nA=&0//A1//A2//A3=32.19|iQR=4.78334042R=2.13444053方法估算法矩阵法迭代法均值阻值32.19pQ31.98pQ31.91国32.03|1Q与均值的相对误差0.510%0.146%0.346%0从上表可以看出，三者之间存在一定的误差，但误差很小，与均值的误差都在1%以内，说明计算结果比较准确。估算法在边缘处认为电流均匀分布，在拐角处以圆弧形近似梯形进行计算，造成了误差。而差分法的两种方法都是以差分代替微分进行计算，造成了误差。这两者计算都不是完全准确的，因此结果不同也是合理的，但计算结果差距不大。【小结】这一次的仿真作业花了比较多的时间，主要在于从理论到程序的转换过程和程序的编写。这是第一次用MATLAB编写较长的较复杂的程序，对我来说有一定的挑战性。

在这次的仿真中，应用了两种不同的方法，一种是直接利用矩阵求解，这种方法运算速度较快，但是程序编写起来较为困难，如何列出系数矩阵是一个难点；而迭代法思路较为简单，程序编写比较容易，但运算速度很慢，一旦划分点数较大或者误差要求较高，就需要长时间的运行，极大的影响效率。因此在运算时要合理的设置误差限制和划分点数。附录：迭代法程序clearall;N1=201;%N1=201;%划分后的点数N2=(N1+1)/2;dx=1/(N1-1);N2=(N1+1)/2;dx=1/(N1-1);dy=dx;%每小格宽度v=zeros(N1,N1);v(N1,1:N2)=1;%迭代初值delta=1;limit=1edelta=1;limit=1e-6;%误差限whiledelta>limitdelta=0;fOri=1:(N1-1)fOrj=1:(N1-1)%第二类边界条件%第二类边界条件v1(i,j)=0.25*(v(i-1,j)+v(i+1,j)+2*v(i,j+1));elseif(i==1&&j>1&&j<N1)v1(i,j)=0.25*(v(i,j-1)+v(i,j+1)+2*v(i+1,j));elseif(i>N2&&i<N1&&j==N2)v1(i,j)=0.25*(v(i-1,j)+v(i+1,j)+2*v(i,j-1));elseif(i==N2&&j>N2&&j<N1)v1(i,j)=0.25*(v(i,j-1)+